Este documento introduce conceptos básicos de topología, incluyendo espacios métricos, métricas, entornos, puntos de acumulación, puntos interiores, conjuntos abiertos y cerrados. Define estas nociones matemáticas y presenta ejemplos ilustrativos. Además, establece propiedades fundamentales como que toda vecindad es un conjunto abierto y que el conjunto derivado de un conjunto es cerrado.

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Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero ESPOL – FCNM-ICM
Nociones de Topologí a
I) Espacios Me tricos
Sea X un conjunto no vacío
Sea la función 푑: 푋×푋 → ℝ (푝,푞)↦푑(푝,푞) (E1)
∀푝,푞,푟∈푋 (C1) i) 푝≠푞,푑(푝,푞)>0 푝=푞,푑(푝,푞)=0 ii) Conmutatividad 푑(푝,푞)=푑(푞,푝) iii) “Desigualdad triangular” 푑(푝,푞)≤푑(푞,푟)+푑(푟,푞)
Def 1) La función “d” que satisface i, ii, iii, la llamamos métrica.
Def 2) La estructura (푿,풅) la llamaremos Espacio métrico.
Es decir, un espacio métrico es cualquier conjunto no vacío en el cual se puede definir una métrica.
Propiedades
P1) ∀푝,푞∈푋, se verifica (푝,푞)≥0
Demostración 푑(푝,푝)≤푑(푝,푞)+푑(푞,푝),∀푝,푞∈푋 0≤2푑(푝,푞) ∴∀푝,푞∈푋,푑(푝,푞)≥0 (DP1)
P2) Si 푑(푝,푞)=0 ⇒푝=푞 Demostración “Por reducción al absurdo” Sea 푝≠푞 ∧ 푑(푝,푞)=0 pero 푝≠푞⇒푑(푝,푞)>0 esto contradice 푑(푝,푞)=0 ∴ P2 es verdadero (DP2)
Ejemplos de métricas:

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Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero ESPOL – FCNM-ICM
1) 푋=ℝ,푑(푝,푞)=|푝−푞|
2) 푋=ℝ2,푑(( 푎1 푎2),( 푏1 푏2))=√(푎1−푏1)2+(푎2−푏2)2
3) 푋=ℝ2,푑(( 푎1 푎2),( 푏1 푏2))=Max{|푎1−푏1|,|푎2−푏2|} Actividad en clase Determinar que 1,2,3 son métricas.
Tarea 1
T 1.1) 푋=ℝ, 푑(푝,푞)=[|푝−푞|]
a) (푋,푑) es un espacio métrico?
b) ¿Qué propiedad sí cumple y qué propiedad no cumple?
II) Elementos de los Espacios Me tricos.
Def 2.1) Entorno.- Sea (푋,푑) espacio métrico, Se dice entorno, vecindad o bola al conjunto 푁푟(푝)={ 푞∈푋, 푑(푝,푞)<푟}, al punto "푝" le llamamos centro y a "푟" lo llamamos radio.
Caso particular. 푁푟(푝)={푞∈푋, |푝−푞|<푟}
Ejemplo
Ej. 2.1) 푁2(3)={푞∈ℝ, |푞−3|<2}
Ej. 2.2) 푁−1(0)={푞∈ℝ, |푞−(0)|<−1} 푁−1(0)=∅
Observamos que el radio debe ser positivo.
Observación: Otra notación puede ser: 퐵(푃,훿)=푁훿(푝)

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Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero ESPOL – FCNM-ICM
Entorno "No Incluido".
Def 2.1.1). 푁표 푟 (푝)={ 푞∈푋, 0<푑(푝,푞)<푟}
A este conjunto lo llamamos entorno "No Incluido" por cuanto
푁푟(푝)=푁푟(푝)−{푝} es decir no incluye el punto centro.
Ejemplo:
Ej.2.3)
En adelante con frecuencia tomaremos la métrica euclidiana, es decir 푑(푥,푦)=|푥−푦|
Def 2.2) Punto de acumulación o Punto Límite.
Sea 퐸⊂푋, 푝∈푋 , no necesariamente 푝∈퐸, se dice que 푝 es un punto de acumulación del conjunto 퐸 si y solo si, ∀푟>0
Esto significa que siempre se puede encontrar un punto del conjunto 퐸 tan cercano al punto 푝 como se quiera.
Ejemplo:
Ej. 2.4) 푋=ℝ, 퐸=(13], 푝=1
Se puede verificar ∀푟>0

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Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero ESPOL – FCNM-ICM
que 푝=1∉퐸
Observamos
Def 2.3) Punto Aislado.
Sea 푋=ℝ, 퐸⊂푋, se dice que 푝 es un punto aislado del conjunto 퐸 si y solo si 푝∈퐸 y 푝 no es punto de acumulación de 퐸.
Ej. 2.5) 푋=ℝ, 퐸={1,2,3} 푝=1 푒푠 푝푢푛푡표 푎푖푠푙푎푑표 푑푒 퐸 푝=2 푒푠 푢푛 푝푢푛푡표 푎푖푠푙푎푑표 푑푒 퐸 푝=3 푒푠 푢푛 푝푢푛푡표 푎푖푠푙푎푑표 푑푒 퐸
Def 2.4) Conjunto Cerrado.
Sea, 퐸⊂푋, se dice que 퐸 no es cerrado si y solo si todos sus puntos límites o de acumulación pertenecen a él.
Ej. 2.6) 푋=ℝ, 퐸=(13]
No es cerrado, ya que 1 es el punto de acumulación de 퐸 y 1∉퐸
Ej. 2.7) Si 퐸 no tiene puntos de acumulación entonces 퐸 es cerrado.
Def 2.5) Punto Interior.
Sea 퐸⊂푋 , se dice que 푝 es punto interior de 퐸 si y solo si ∃푟>0, 푁푟(푝)⊂퐸
Observamos que, si 푝 es punto interior de 퐸 entonces 푝∈퐸
Def 2.6) Conjunto Abierto.
Sea 퐸⊂푋, se dice 퐸 es conjunto abierto si y solo si todos sus puntos son puntos interiores.
Observaciones:
Decir "No Cerrado" no implica "Abierto".
Decir "No Abierto" no implica "Cerrado".
Existen conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez.
Proposición 2.1
Toda vecindad es un conjunto abierto. Demostración Sea 푞∈푁푟(푝) , Pide demostrar que: 푞 es punto interior de 푁푟(푝) (DP2.1)

5. _____________________________________________________________________________
Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero ESPOL – FCNM-ICM
Si 푞∈푁푟(푝)⇒푑(푝,푞)<푟 por propiedad de los números reales ∃휀>0, tal que 푑(푝,푞)+휀<푟 ⇒푑(푝,푞)<푟−휀 Ahora construimos 푁휀(푞), tenemos que 푑(푝,푡)≤푑(푝,푞)+푑(푞,푡)<(푟−휀)+휀, Es decir 푑(푝,푡)<푟⇒푡∈푁푟(푝). Por lo tanto ∀푡∈푁휀(푞)⇒푡∈푁푟(푝), esto significa 푁휀(푞)⊂푁푟(푝) A la vez concluimos que 푞 es punto interior de 푁푟(푝), Por lo tanto todos los puntos de 푁푟(푝) son puntos interiores, entonces 푁푟(푝) es abierto.
Proposición 2.2
Si 푝 es un punto límite de un conjunto 퐸, entonces toda vecindad de 푝 contiene infinitos puntos de 퐸.
Demostración:
Por construcción
(Actividad en clase)
Def 2.7) Punto de Adherencia.
Un punto 푝∈푋 es punto de Adherencia del conjunto 퐸⊂푋 si todo 푁휀(푝) es tal que 푁휀(푝)∩퐸≠∅
Se hace evidente que todo punto interior y todo punto límite del conjunto es punto de adherencia, esto incluye a los puntos de frontera.
Def 2.8) Clausura de 푨≡푨 퐴={푝 ∕푝 푒푠 푝푢푛푡표 푑푒 푎푑ℎ푒푟푒푛푐푖푎 푑푒 퐴}
Proposición 2.3
El conjunto 퐴 es conjunto cerrado.
Observación: Se evidencia que: A es cerrado si y solo si 퐴=퐴
Def 2.9) conjunto derivado.
Sea 퐴⊂푋, 퐴′={푝 ∕푝 푝푢푛푡표 푑푒 푎푐푢푚푢푙푎푐푖ó푛 푑푒 퐴}

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Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero ESPOL – FCNM-ICM
Def 2.10) Punto de Frontera.
푞∈푋, 퐸⊂푋 (no necesariamente pertenece a 퐸)
Se dice que: 푞 es punto de frontera de 퐸 si y solo si ∀휀>0, 푁휀(푞)∩퐸≠∅ ∧ 푁휀(푞)∩퐸퐶≠∅
Def 2.11) 흏푬≡ frontera de 푬 휕퐸= {푞 ∕푞 푝푢푛푡표 푑푒 푓푟표푛푡푒푟푎 푑푒 퐸 }
Proposición 2.4
휕퐸 es un conjunto cerrado.
Proposición 2.5
Todo punto aislado de un conjunto es punto de frontera y también es punto de adherencia del conjunto.
푋=ℝ; 퐴⊂ℝ 푨 푨′ 푨 흏푨 Abierto Cerrado
(01)
[01]
[01]
{0,1}
Si
No
(01]
[01]
[01]
{0,1}
No
No
[01]
[01]
[01]
{0,1}
No
Si
(01]∪{2}
[01]
[01]∪{2}
{0,1}
No
No
[01]∪{2}
[01]
[01]∪{2}
{0,1,2}
No
Si
{0,1,2}
∅
{0,1,2}
{0,1,2}
No
Si
{0,12,23,…}
{1}
퐴∪{1}
퐴∪{1}
No
No
{(−1)푛+ 1 푛 ∕푛∈ℕ}
{−1,1}
퐴∪{−1,1}
퐴∪{−1,1}
No
No
Actividad.
Teorema.- Un conjunto 퐸 es abierto si y solo si 퐸퐶 es cerrado.
Sea 푋=ℝ
1) Proposición. ∅ es abierto,
2) Proposición. ∅ es cerrado,
3) Proposición. ℝ es abierto,
4) Proposición. ℝ es cerrado,
5) Proposición. 퐸=퐸∪퐸′
Procedemos a la demostración del teorema

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Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero ESPOL – FCNM-ICM
Demostración: “ 퐸퐶 푒푠 푐푒푟푟푎푑표 ⇒퐸 푒푠 푎푏푖푒푟푡표 ” Tomamos ∀ 푝 ∈퐸 Esto implica que 푝∉퐸푐, además 퐸푐 es cerrado entonces p no puede ser punto de acumulación, esto es: ℸ (∀푟>0,
) Equivalente: ∃푟>0
, además 푝∉퐸푐, entonces (
)∪{푝}=∅, Entonces 푁푟(푝)∩퐸푐=∅ ⇒ 푁푟(푝) ⊂퐸 Esto significa que p es punto interior de E, por lo tanto todos los puntos de E son interiores y en consecuencia E es conjunto Abierto. LQQD. Demostración: “ 퐸 푒푠 푎푏푖푒푟푡표 ⇒퐸퐶 푒푠 푐푒푟푟푎푑표 ” Sea p cualquier punto de acumulación del conjunto 퐸퐶 , entonces tenemos dos posibilidades 1.- 푝∉퐸푐 2.- 푝 ∈퐸푐 Demostraremos que la primera posibilidad no es posible. En efecto si 푝∉퐸푐⇒푝 ∈ 퐸 , pero E es conjunto abierto por consiguiente p es punto interior de E, lo cual significa que: ∃푟>0,푁푟(푝)⊂퐸⇒ 푁푟 표(푝)⊂퐸 ⇒ 푁푟 표(푝)∩퐸푐=∅ Por tanto p no es punto de acumulación de 퐸푐 lo cual es contradictorio, Solo queda la segunda posibilidad: 푝 ∈퐸푐 , Es decir todos los puntos de acumulación del conjunto 퐸푐 pertenecen al conjunto 퐸푐, entonces por definición 퐸푐 es un conjunto cerrado. LQQD.
III. Convergencia en Espacios Me tricos.
Sea (푋,푑) 퐸푠푝푎푐푖표 푀é푡푟푖푐표, 퐸={푝푛}⊂푋,
lim 푛→∞ 푝푛 =푝 si y solo si [∀휀>0 ,∃푁,∀푛≥푁⇒푑(푝푛,푝)<휀]
Para un espacio métrico euclidiano 푑(푥,푦)=|푥−푦|
Si 푝 existe decimos que 푝푛 converge caso contrario diverge.
Límite de Funciones.
Def 2.12.- Sean (푋,푑푥),(푌,푑푦) espacios métricos, sea 퐸⊂푋 y 푓:퐸→푌 y 푝 punto límite de 퐸 , decimos:
lim 푥→푝 푓(푥)=퐿⇔ ∀휀>0,∃훿>0,∀푥∈푁훿(푝)∩퐸⇒푓(푥)∈푁휀(퐿)
Su equivalente en un espacio métrico Euclidiano

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Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero ESPOL – FCNM-ICM
∀휀>0,∃훿>0,∀푥∈퐸,0<|푥−푝|<훿⇒|푓(푥)−퐿|<휀
Observación. La existencia del límite de una función tiene sentido en un punto de acumulación o punto límite, llamado así por cuanto se lo usa especialmente para definir el límite.
Continuidad de funciones.
Def 2-13.- (푋,푑푥),(푌,푑푦) espacios métricos 퐸⊂푋,푝∈퐸 y 푓:퐸→푌
Se dice que 푓 es contínua en 푝 si y solo si ∀휀>0,∃훿>0,∀푥∈퐸,푑푥(푥,푝)<훿⇒푑푦(푓(푥),푓(푝))<휀
Su equivalente en un espacio Euclidiano ∀휀>0,∃훿>0,∀푥∈퐸,|푥−푝|<훿⇒|푓(푥)−퐿|<휀 Observación. * En el límite, 푝 debe ser punto de acumulación del conjunto, no necesariamente debe pertenecer al conjunto. * En el límite, los acercamientos se realizan por todos los lados posibles.
Ej. 푋=ℝ, 퐸=(01) 푓:(01)→ℝ
푥↦푓(푥)= sen√푥 √푥
Calcular: lim 푥→0 푓(푥)=1
En efecto lim 푥→0 푓(푥)=1 no se tiene en cuenta los acercamientos por la izquierda del punto cero, por cuando no son parte del dominio.
Observación: Proposición: Toda función es continua en los puntos aislados de su dominio. Esta proposición se la puede demostrar por la definición de continuidad Proposición Si 푝 es un punto límite o de acumulación entonces 푓 es contínua en 푝 si y solo si: lim 푥→푝 푓(푥)=푓(푝)