Este documento presenta ejercicios sobre análisis de variable compleja. Se analizan dominios en el plano xy, incluyendo el cálculo de sumas, diferencias y distancias entre puntos complejos, así como la representación gráfica de conjuntos determinados por condiciones sobre la distancia o valor absoluto de puntos complejos. Finalmente, se estudian propiedades de dominios, fronteras y conjuntos acotados.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ANÁLISIS DE VARIABLE COMPLEJA
TRABAJO PRÁCTICO N° 1 - Dominios en el Plano 𝒙𝒚
La estructura algebraica de ℝ 𝟐
1. Sean 𝑧 = (2, −2), 𝜁 = (−1, 5). Calcular:
a. 𝑧 + 𝜁
b. 𝜁 − 𝑧
c. 2𝑧 − 𝜁
d. 𝑧 + 4𝜁
2. Dados 𝑧, 𝜁 como en el Ejercicio 1, resolver lo siguiente para 𝑤 = (𝑢, 𝑣):
a. 𝑧 + 2𝜁 + 3𝑤 = 0
b. 2𝑧 + 𝑤 = −𝜁
La estructura distancia en ℝ2
1. Sean 𝑧 = (−1, 4), 𝑧0 = (2, 2). Calcular:
a. |𝑧|
b. |𝑧0|
c. |𝑧 − 𝑧0|
d. |𝑧0 − 𝑧|
2. Calcular la distancia de 𝑧0 a 𝑧, con 𝑧, 𝑧0 como en el Ejercicio 1.
3. Bosquejar en el plano los conjuntos de puntos 𝑧 determinados por cada una de las
siguientes condiciones. Aquí 𝑧0 = (1, 1).
a. |𝑧| = 1
b. |𝑧| < 1
c. |𝑧 − 𝑧0| = 1
d. |𝑧 − 𝑧0| ≥ 1
4. Establecer las siguientes desigualdades útiles. Bosquejar!
a. |𝑧 + 𝜁| ≤ |𝑧| + |𝜁| (Desigualdad triangular)
b. |𝑥| ≤ |𝑧|, |𝑦| ≤ |𝑧| donde 𝑧 = (𝑥, 𝑦)

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Dominios en ℝ 𝟐
1.
a. Bosquejar el conjunto 𝑆 de puntos 𝑧 = (𝑥, 𝑦) que satisfacen 𝑥 ≥ 0.
b. Verificar que el subconjunto de puntos interiores de 𝑆 está determinado por la
condición 𝑥 > 0.
c. ¿Es el subconjunto en (b) un dominio?
2.
a. Bosquejar el “anillo” Ω = { 𝑧 ∶ 1 < |𝑧| < 2} .
b. Existe un agujero en Ω. ¿Es Ω conexo?
c. Verificar que Ω es un dominio.
3. En lugar de designar uno de los dominios estándar por una letra mayúscula, a menudo
hablamos del “disco unitario |𝑧| < 1”, “el disco punteado 0 < |𝑧| < 1”, y así
siguiendo. dibujar los conjuntos determinados por cada una de las siguientes
condiciones y decidir cuáles son dominios. Aquí 𝑧0 es un punto arbitrario pero fijo.
a. |𝑧| > 1
b. 1 ≤ |𝑧| ≤ 2
c. |𝑧 − 𝑧0| < 1
d. |𝑧 − 𝑧0| ≤ 2
4. Sea Ω un dominio y sea 𝑆 un subconjunto no vacío de Ω que satisface (i) 𝑆 es abierto,
(ii) su complemento Ω − 𝑆 es abierto (a veces se dice que 𝑆 es cerrado en Ω).
Demostrar que 𝑆 = Ω; es decir, Ω − 𝑆 es vacío.
Fronteras y acotados
1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son acotados?
a. |𝑧| ≥ 1
b. Un subconjunto de un conjunto acotado.
c. 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 1.
d. El grafo de 𝑦 = sen 𝑥
2. Determinar las fronteras de los siguientes conjuntos. Como es usual, 𝑧 = (𝑥, 𝑦).
a. 𝑥 > 0, 𝑦 > 0
b. |𝑧 − 𝑧0| ≤ 2
c. 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 2
d. 0 < 𝑥 < 1, 𝑦 arbitrario