El documento presenta los pasos para modelar ecuaciones cuadráticas y resolver inecuaciones cuadráticas. Explica cómo encontrar los puntos críticos de una inecuación cuadrática y usarlos para determinar el conjunto solución. También muestra ejemplos numéricos de cómo modelar problemas y encontrar su solución usando ecuaciones o inecuaciones cuadráticas.

1. Precálculo
Semana 10

2. Modelamiento de ecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Precálculo

3. Para modelar un problema (no sólo de situaciones que nos
lleven a usar ecuaciones de segundo grado sino en general)
se recomienda seguir los siguientes pasos:
1. Leer detenidamente el enunciado del problema para
entenderlo cabalmente.
2. Asignar una variable a lo que se trata de determinar.
3. Tratar de usar la menor cantidad de variables cuando
se relacionan cantidades o en general datos.
4. Formar la ecuación (modelo matemático) que describe
correctamente el texto del problema.
5. Resolver la ecuación y elegir la respuesta adecuada.
3

4. EJEMPLO 1
Una Institución Educativa compra una cierta
cantidad de engrampadores por un importe
total de S/. 375. Si hubiera conseguido cada
engrampador a S/. 10 menos, se hubieran
comprado 10 unidades más por el mismo
monto. ¿Cuántos engrampadores compró la
Institución Educativa?
4

5. Como el importe total es S/.375, el precio de
cada engrampador es
Solución:
Sea x: número de engrampadores que se compra.
x
375
5
10x
375

Si consigo adquirir 10 engrampadores más, serán
en total x + 10, luego el precio de cada uno será:

6. x2 + 10x – 375 = 0 → (x+25)(x-15) = 0
x = -25 v x= 15
La institución educativa compró 15 engrampadores.
6
NO
Del enunciado:
10x,0xluego,10
10x
375
x
375



375 (x+10) – 375x = 10x (x+10)

7. EJEMPLO 2
Carlos, César y Luis hacen juntos una obra en cierto
tiempo. Si cada uno hubiera hecho la tercera parte
de la obra, Carlos hubiera tenido que trabajar igual
número de días, César hubiera tenido que trabajar
el doble del número de días y Luis hubiera
trabajado 16 días menos. ¿En cuántos días hicieron
la obra los tres juntos?
7
Rpta:
Los tres juntos hacen la obra en 48 días.

8. EJEMPLO 3
El precio de venta “p” de un cierto artículo depende
de la cantidad demandada “q” y está dado por p =
600 - 5q. Producir una unidad del artículo cuesta $75
y los costos fijos alcanzan los $ 8 000 mensuales.
a) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse
cada mes para obtener ingresos de $ 18,000?
b) ¿Qué precio de venta deberá fijarse para obtener
una utilidad de $ 5 500?
8
Rpta:
a) 60 unidades.
b) $300 ó $375

9. Modelamiento de ecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Precálculo

10. Inecuaciones cuadráticas
0cbxax
0cbxax
0cbxax
0cbxax
2
2
2
2




, con a ≠ 0
Para su resolución, utilizaremos el método de los
puntos críticos
10

11. 3x2 – 21x + 36 ≥ 0
3(x – 4) (x – 3) ≥ 0
x – 4 = 0  x = 4
3 4
+–+
El signo de la inecuación es ≥ 0, entonces el CS estará
conformado con los intervalos cerrados signados con “+”
CS = ]-∞, 3 ]  [4, +∞ [
Ejemplo 1
11
Sol.
Puntos críticos:
x – 3 = 0  x = 3

12. 12
Encuentre el C.S. de cada inecuación:Ejemplo 2:
1. 02 2
 xx
2. 15132 2
 xx
3. xxx  122
4.   84 xx
5.   61
2
x
 2;0.. SC





2
15
;1..SC
 122;122.. SC
..SC
    ;6161;..SC

13. 13
6.   0114  xx
7.   251033 xx
8.
2
4912 xx 
9.
10. 13 2
 xx







2
1
..SC







3
5
..SC
..SC
  xx 522 2
 ..SC





 

6
131
;
6
131
CS

14. 14
Ejemplo 5:
¿Para qué valor de m, la inecuación x2 + 2mx + m > 3/16
se verifica para todo valor real de x ?
 4
3
4
1
;m





a
b
b
a
SC ,..
Encuentre el C.S. de la inecuación:Ejemplo 3:
abx2 – a2x  b2x – ab ; 0  a  b
Ejemplo 4:
¿Para qué valor de n, la inecuación x2 + 2x + n > 10
se verifica para todo valor real de x ?
  ;11n

15. 15
El precio p de cierto artículo depende de la cantidad demandada q
y está dado por p = 600 – 5q. Producir una unidad cuesta $75 y los
costos fijos alcanzan los $8 000 mensuales.
a) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse cada mes para
obtener ingresos de por lo menos $18 000?
b) ¿Qué precio deberá fijarse para obtener una utilidad de al menos $5
500?
Ejemplo de aplicación:
Sol. qpI .  qqI 5600a)
180006005 2
 qq 036001202
 qq
  060
2
q
Rp. Deben producirse 60 unidades.

16. 16
Ejemplo de aplicación:
Sol. 800075  qC
 8000756005 2
 qqqU
b)
550080005255 2
 qq
027001052
 qq
 60;45q
Rp. El precio fijado debe ser de $300 a $375.
qqI 6005; 2

80005255 2
 qqU
 375;300 p
   06045  qq