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POTENCIAS
 ¿Qué es una Potencia?
1. Potencia de Exponente 0
2. Potencia de Exponente 1
3. Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente
4. Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente
5. División de Potencias de Igual Base y Distintos Exponentes
6. División de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente
7. Potencia de una Potencia
8. Potencia de Exponente Negativo
  Potencias de Bases 2 y 3.
                                 Jorge Alberto Ruiz
                              Profesor de Matemáticas
                                                                    H.L.M.
¿Qué es una Potencia?
Potencia es una expresión que consta
de una BASE y un EXPONENTE.
  ¿Qué es una Base y un Exponente?
               BASE      EXPONENTE
       b
   a
       4
    2
       8
(-5,3)
           4
    4
    5
¿Qué significa una Potencia?
Potencia es una forma abreviada de
escribir una multiplicación recurrente.
      4                             El 2 se multiplica por si mismo las
  2 =2 2 2 2                        veces que indica el exponente 4.
      m
  n       =       n n … n           n se multiplica por si mismo las
                                    veces que indica el exponente m.
                      m veces
              5
 (-5,3) = (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3)
          2
    4                  4        4      Ojo: El Exponente 1 no se
                  =                    escribe. Si la base no tiene
    5                  5        5      exponente se asume que es 1.
Algo importante:
Lectura de una Potencia.
                              2    2
-Exponente 2, Cuadrado. Ej. 6    x3
                              3
-Exponente 3, Cubo. Ej.      6 g
-En General se puede usar la palabra
“ELEVADO A”.
Paréntesis en una Potencia.
                           2            2
  No es lo mismo       3           y   3
                   3           3       3 3
                       9                9
1 - Propiedad:
Potencia de Exponente Cero.
                                            Excepción
    0                   0                       0
  2     =   1       m       =   1           0       No Existe

2 - Propiedad:
Potencia de Exponente Uno.
            1                   1
        2       =   2       n       =   n
3 - Propiedad:
Multiplicación de Potencias de Igual Base
y Distinto Exponente.
                             4
   Sabiendo que:         2       =   2 2 2 2
                                           4 veces
  ¿Cuál será el resultado de?                        En General
           4      2      6           4+2             a    b        a+b
       3        3 =3 = 3                             n n =n
                                                     Escribe o di un
                                                     enunciado que
3 3 3 3 3 3 =3 3 3 3 3 3                               describa la
                                                       Propiedad
 4 veces       2 veces   En Total son
                             6 veces
3 - Propiedad:
 Multiplicación de Potencias de Igual Base
 y Distinto Exponente.
  Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
     5 3       8           5 3      2   2
a) 2 2 2 =            d) 2 7 2 7 =
          3    7            Ordene
b) 4    4    4 =
   5    5    5
                       =
      3    5     -6          7       5
c) 1     1     1
                   =   = 2         7
    2    2     2
                          Resultado Final
4 - Propiedad:
 Multiplicación de Potencias de Distinta
 Base e Igual Exponente.
                               4
    Sabiendo que:          2       =    2 2 2 2
                                             4 veces
  ¿Cuál será el resultado de?
                                                          En General
          2   2                     2         2         a    a             a
      5 3               = (5 3) = 15                   m n = (n • m)
                                                         Escribe o di un
                                                         enunciado que
 5 5          3 3 = (5 3) (5 3)                            describa la
              2 veces
                                                           Propiedad
2 veces                     En Total son
                                   2 veces
4 - Propiedad:
Multiplicación de Potencias de Distinta
Base e Igual Exponente.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
         6           6        6               4        3     4       3
a)   6           2           4       =   d)   8        5    7        6   =

                                 4                 Ordene
         4               4
b) 1             2           1 =
     5           3           4            =

             3       3        3                    4             3
c)   5           2           1            =   56            30
                               =
     3           3           3                Resultado Final
5 - Propiedad:
 División de Potencias de Igual Base y
 Distinto Exponente.
                         4                                           4
 Sabiendo que:       2       =   2 2 2 2                 y               1
                                                                     4
                                       4 veces
 ¿Cuál será el resultado de?                         Lo anterior se
                          4 veces                    puede separar así
                 4
  4   2
        3                 3 3 3 3                    3       3
 3 :3 = ─ =
         2
                         ______________
                                                 =   _       _       3 3
        3                        3 3                 3       3                       2
                             2 veces             =   1       1       3       3 = 3
                 4
                                                                 a       b      a-b
             3
             ─ =3
                     4-2           2
Más Rápido
             2
                             = 3          En General         n : n =n
             3
5 - Propiedad:
División de Potencias de Igual Base y
Distinto Exponente.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
                                     4
     5       3    8          1
a) 2 : 2 :       2=     d)       2
                                     2
                             1
         5                       2
     8
b)                        103 26
     89                 e) 3
                          2 107
c)
   58 124
    3   5 =
   5 12                 f) 915 925
6 - Propiedad:
 División de Potencias de Distintas Bases
 e Igual Exponente.
                               4
                                                                       4
 Sabiendo que:             2       =       2 2 2 2             y           1
                                            4 veces
                                                                       4
 ¿Cuál será el resultado de?                          Lo anterior se puede
                        4 veces                       separar así
                 4
   4   4
         9    9 9 9 9
   : 3 = ─ = ______________ =                         9
                                                      _    9
                                                           _       9
                                                                   _   9
                                                                       _
 9        4
         3     3 3 3 3                                3    3       3   3
                                                                            4
                 4 veces    =                         3    3       3   3 = 3
                 4         4                                                    a
                       9                                   a       a
             9
             ─                                           m : n = (m : n)
                                       4
Más Rápido           =             3        En General
             4
                       3
             3
6 - Propiedad:
División de Potencias de Distintas Bases
e Igual Exponente.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
                                      4
     3       3   3            1
a) 5 : 10 : 2        =   d)       4
                                      4
                              1
         5
                                  2
      6
b)   125                   103 26
                         e) 6 3
                            4 5
c)
   153 2 4
    3    4 =
   5 12                  f) 325 925
7 - Propiedad:
Potencia de una Potencia.
                                           4
       Sabiendo que:                    2 =2 2 2 2
                                                     4 veces
 ¿Cuál será el resultado de?
                2   6                                       2•6      12
           (5 )                                       = 5         = 15
   2   2    2       2      2       2
 5 5 5 5 5                     5       6 veces

                                                            12
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 5
                        12 veces


                                               a b    a•b
                        En General     (m ) = m
7 - Propiedad:
Potencia de una Potencia.
Resuelve usando Propiedad de Potencia
       2       3                    2       4
a)   (3 )              =   e)   (2 )                =


           3       1                3       4
b) (2 )                =   f) (7 )                  =


     2     3       2            1       5       2
c) ( 3 )               =   g) ( 4 )                 =


       9       0                        -4 -3
d)   (4 )              =   h)   (   1       )       =
8 - Propiedad:
Potencia con Exponente Negativo.


Ejemplos
    -4                 - 10
   2             (-7)
                       -2
        -3         4
  0,6
                   5
8 - Propiedad:
Potencia con Exponente Negativo.

¿Qué hace la propiedad?
    -4                   1
                        __                           -4
                                                      4                1
                                                                      ___
   2        =                                 (-5)            =
                             4
                        2
       -3                                            -7
                             1
                            __                 3
                                              __
  0,6           =                                         =
                                  3
                            0,6               2

                                      a              a            a
                        a         1            m              n
  En General        m                     ó
                                  m            n              m
8 - Propiedad:
Potencia con Exponente Negativo.

Así podemos aplicar la propiedad varias
veces sobre un mismo número.
   2  1     2  1
     __ = 7 = __
 7 =    -2       -2
     7         7
  -2  1    -2  1
     __ = 7 = __
 7 =   2        2
     7        7
8 - Propiedad:
Potencia con Exponente Negativo.
Ejercicios: Cambiar el signo del exponente


     6       1                   6   1
 4                       5             6
             4
                 6
                                     5
                             3           3
         3       1       3           2
 1,12                3
             1,12        2           3
Observa lo siguiente
    10                      2                     4   1     1
2        1024           2             4       2         4
                          1                           2     16
2   9
         512            2         2
2   8
         256            2 0
                                  1               5   1     1
                                              2         5
2 7
         128            1         1                   2     32
                    2
2   6                             2
         64                                       6   1     1
                    2       1             1   2
2   5
         32     2             2                       2 6
                                                            64
                            2             4
24       16
                            1             1
                    3
    3
                2             3
2        8                  2             8
Observa lo siguiente
    10                        2                    4    1       1
3        59049               3         9   3              4
    9
                             3 1                        3      81
3        19683                     3
    8                        30
                                   1           5       1        1
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                         3
36
         729
                                   3                   1       1
                                               6
                         2     1 1 3
35       243     3               2                     3   6
                                                               729
 4
                               3   9
3        81
                              1    1
                     3
    3            3             3
3        27                   3 27
Curiosidades
 1) De los números naturales,           2) El número de días del año (365)
 excluidos el 1, son el 8 y el 27 los   es igual a la suma de los cuadrados
 únicos cuyo cubo da exactamente        de tres números naturales
 dígitos que suman 8 y 27,              consecutivos.
 respectivamente.
   3
     8   512                            102 112 122
     5 1 2 8                            100 121 144 350
                                        Y de dos números consecutivos
     273 19683
     1 9 6 8 3 27                       132 142
                                        169 196 350
3)   12 1
     112 121
     1112 12321
         2
     1111 1234321
         2
     11111 123454321
LINKS
   http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=7169

   http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/modulo2/3/mdeleon.pdf

    http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/potenc
    ias_desarrollo.htm

    http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/co
    nmates/unid-5/potencias.htm

     http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/index.htm

    http://platea.pntic.mec.es/anunezca/Potencias/POTENCIAS.htm


     http://lubrin.org/mat/spip.php?rubrique52

http://www.vitanet.cl/busqueda/buscar.php?materia=MATEMATICAS+-+PROBLEMAS,+EJERCICIOS,+ETC
POTENCIAS



    Harold Leiva Miranda
  Harold.leiva@sekmail.com
   Colegio Sek – Pacífico
         Con - Con           H.L.M.

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Presentación2

  • 1. POTENCIAS ¿Qué es una Potencia? 1. Potencia de Exponente 0 2. Potencia de Exponente 1 3. Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente 4. Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente 5. División de Potencias de Igual Base y Distintos Exponentes 6. División de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente 7. Potencia de una Potencia 8. Potencia de Exponente Negativo Potencias de Bases 2 y 3. Jorge Alberto Ruiz Profesor de Matemáticas H.L.M.
  • 2. ¿Qué es una Potencia? Potencia es una expresión que consta de una BASE y un EXPONENTE. ¿Qué es una Base y un Exponente? BASE EXPONENTE b a 4 2 8 (-5,3) 4 4 5
  • 3. ¿Qué significa una Potencia? Potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación recurrente. 4 El 2 se multiplica por si mismo las 2 =2 2 2 2 veces que indica el exponente 4. m n = n n … n n se multiplica por si mismo las veces que indica el exponente m. m veces 5 (-5,3) = (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3) 2 4 4 4 Ojo: El Exponente 1 no se = escribe. Si la base no tiene 5 5 5 exponente se asume que es 1.
  • 4. Algo importante: Lectura de una Potencia. 2 2 -Exponente 2, Cuadrado. Ej. 6 x3 3 -Exponente 3, Cubo. Ej. 6 g -En General se puede usar la palabra “ELEVADO A”. Paréntesis en una Potencia. 2 2 No es lo mismo 3 y 3 3 3 3 3 9 9
  • 5. 1 - Propiedad: Potencia de Exponente Cero. Excepción 0 0 0 2 = 1 m = 1 0 No Existe 2 - Propiedad: Potencia de Exponente Uno. 1 1 2 = 2 n = n
  • 6. 3 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. 4 Sabiendo que: 2 = 2 2 2 2 4 veces ¿Cuál será el resultado de? En General 4 2 6 4+2 a b a+b 3 3 =3 = 3 n n =n Escribe o di un enunciado que 3 3 3 3 3 3 =3 3 3 3 3 3 describa la Propiedad 4 veces 2 veces En Total son 6 veces
  • 7. 3 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 5 3 8 5 3 2 2 a) 2 2 2 = d) 2 7 2 7 = 3 7 Ordene b) 4 4 4 = 5 5 5 = 3 5 -6 7 5 c) 1 1 1 = = 2 7 2 2 2 Resultado Final
  • 8. 4 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente. 4 Sabiendo que: 2 = 2 2 2 2 4 veces ¿Cuál será el resultado de? En General 2 2 2 2 a a a 5 3 = (5 3) = 15 m n = (n • m) Escribe o di un enunciado que 5 5 3 3 = (5 3) (5 3) describa la 2 veces Propiedad 2 veces En Total son 2 veces
  • 9. 4 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 6 6 6 4 3 4 3 a) 6 2 4 = d) 8 5 7 6 = 4 Ordene 4 4 b) 1 2 1 = 5 3 4 = 3 3 3 4 3 c) 5 2 1 = 56 30 = 3 3 3 Resultado Final
  • 10. 5 - Propiedad: División de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. 4 4 Sabiendo que: 2 = 2 2 2 2 y 1 4 4 veces ¿Cuál será el resultado de? Lo anterior se 4 veces puede separar así 4 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 :3 = ─ = 2 ______________ = _ _ 3 3 3 3 3 3 3 2 2 veces = 1 1 3 3 = 3 4 a b a-b 3 ─ =3 4-2 2 Más Rápido 2 = 3 En General n : n =n 3
  • 11. 5 - Propiedad: División de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 4 5 3 8 1 a) 2 : 2 : 2= d) 2 2 1 5 2 8 b) 103 26 89 e) 3 2 107 c) 58 124 3 5 = 5 12 f) 915 925
  • 12. 6 - Propiedad: División de Potencias de Distintas Bases e Igual Exponente. 4 4 Sabiendo que: 2 = 2 2 2 2 y 1 4 veces 4 ¿Cuál será el resultado de? Lo anterior se puede 4 veces separar así 4 4 4 9 9 9 9 9 : 3 = ─ = ______________ = 9 _ 9 _ 9 _ 9 _ 9 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 veces = 3 3 3 3 = 3 4 4 a 9 a a 9 ─ m : n = (m : n) 4 Más Rápido = 3 En General 4 3 3
  • 13. 6 - Propiedad: División de Potencias de Distintas Bases e Igual Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 4 3 3 3 1 a) 5 : 10 : 2 = d) 4 4 1 5 2 6 b) 125 103 26 e) 6 3 4 5 c) 153 2 4 3 4 = 5 12 f) 325 925
  • 14. 7 - Propiedad: Potencia de una Potencia. 4 Sabiendo que: 2 =2 2 2 2 4 veces ¿Cuál será el resultado de? 2 6 2•6 12 (5 ) = 5 = 15 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 6 veces 12 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 5 12 veces a b a•b En General (m ) = m
  • 15. 7 - Propiedad: Potencia de una Potencia. Resuelve usando Propiedad de Potencia 2 3 2 4 a) (3 ) = e) (2 ) = 3 1 3 4 b) (2 ) = f) (7 ) = 2 3 2 1 5 2 c) ( 3 ) = g) ( 4 ) = 9 0 -4 -3 d) (4 ) = h) ( 1 ) =
  • 16. 8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. Ejemplos -4 - 10 2 (-7) -2 -3 4 0,6 5
  • 17. 8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. ¿Qué hace la propiedad? -4 1 __ -4 4 1 ___ 2 = (-5) = 4 2 -3 -7 1 __ 3 __ 0,6 = = 3 0,6 2 a a a a 1 m n En General m ó m n m
  • 18. 8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. Así podemos aplicar la propiedad varias veces sobre un mismo número. 2 1 2 1 __ = 7 = __ 7 = -2 -2 7 7 -2 1 -2 1 __ = 7 = __ 7 = 2 2 7 7
  • 19. 8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. Ejercicios: Cambiar el signo del exponente 6 1 6 1 4 5 6 4 6 5 3 3 3 1 3 2 1,12 3 1,12 2 3
  • 20. Observa lo siguiente 10 2 4 1 1 2 1024 2 4 2 4 1 2 16 2 9 512 2 2 2 8 256 2 0 1 5 1 1 2 5 2 7 128 1 1 2 32 2 2 6 2 64 6 1 1 2 1 1 2 2 5 32 2 2 2 6 64 2 4 24 16 1 1 3 3 2 3 2 8 2 8
  • 21. Observa lo siguiente 10 2 4 1 1 3 59049 3 9 3 4 9 3 1 3 81 3 19683 3 8 30 1 5 1 1 3 6561 3 37 2187 1 1 3 5 243 3 36 729 3 1 1 6 2 1 1 3 35 243 3 2 3 6 729 4 3 9 3 81 1 1 3 3 3 3 3 27 3 27
  • 22. Curiosidades 1) De los números naturales, 2) El número de días del año (365) excluidos el 1, son el 8 y el 27 los es igual a la suma de los cuadrados únicos cuyo cubo da exactamente de tres números naturales dígitos que suman 8 y 27, consecutivos. respectivamente. 3 8 512 102 112 122 5 1 2 8 100 121 144 350 Y de dos números consecutivos 273 19683 1 9 6 8 3 27 132 142 169 196 350 3) 12 1 112 121 1112 12321 2 1111 1234321 2 11111 123454321
  • 23. LINKS http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=7169 http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/modulo2/3/mdeleon.pdf http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/potenc ias_desarrollo.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/co nmates/unid-5/potencias.htm http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/index.htm http://platea.pntic.mec.es/anunezca/Potencias/POTENCIAS.htm http://lubrin.org/mat/spip.php?rubrique52 http://www.vitanet.cl/busqueda/buscar.php?materia=MATEMATICAS+-+PROBLEMAS,+EJERCICIOS,+ETC
  • 24. POTENCIAS Harold Leiva Miranda Harold.leiva@sekmail.com Colegio Sek – Pacífico Con - Con H.L.M.