Este documento presenta varios métodos para resolver problemas de transporte y asignación, que son modelos de programación lineal. Describe el método del transporte, método del costo mínimo, método de la aproximación de Vogel, método de distribución modificada, método del cruce del arroyo y ramificación y acotamiento. También introduce conceptos básicos de redes como nodos, arcos, rutas y flujo, y explica el problema de encontrar la ruta más corta en una red.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
CATEDRA
INVESTIGACION OPERATIVA
PORTAFOLIO ESTUDIANTIL
NOMBRE:
CARMEN ELENA MOYÓN GUADALUPE
6to SEMESTRE “A”
DOCENTE:
MSC. MARLON VILLA

2. UNIDAD I
EL MÉTODO DE TRANSPORTE
Es un método de programación lineal que nos permite asignar artículos de un
conjunto de orígenes a un conjunto de destinos de tal manera que se optimice la
función objetivo.
Esta técnica se utiliza especialmente en organizaciones que producen el mismo
producto en numerosas plantas y que envía sus productos a diferentes destinos
(Centros de distribución, almacenes). También se aplica en distribución, análisis de
localización de plantas y programación de la producción.
Se han desarrollado diferentes enfoques para resolver este problema de distribución,
tales como: El método de la esquina noroeste, el método modificado de la esquina
noroeste (celda mínima), método del trampolín (Cruce de arroyo, steppingstone),
método de la distribución modificada (MODI), método de aproximación de Vogel y el
método simplex.
Para que un problema pueda ser solucionado por el método de transporte, este debe
reunir tres condiciones:
1) La función objetivo y las restricciones deben de ser lineales.

3. 2) Los artículos deben de ser uniformes e intercambiables, los coeficientes de todas las
variables en la ecuación deben de ser 0 o 1.
3) La suma de las capacidades de las fuentes debe ser igual a la suma de los
requerimientos de los destinos, si alguna desigualdad existe una variable de holgura
deberá ser añadida.
El objetivo del modelo de programación es minimizar el costo.
MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO
El método del costo mínimo o de los mínimos costoses un algoritmo desarrollado con
el objetivo de resolver problemas de transporte, arrojando mejores resultados que
métodos como el de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que
presentan menores costos. El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más
sencillo que los anteriores se trata de asignar la mayor cantidad de unidades posibles
(sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la
matriz hasta finalizar el método
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN
1.- De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se
rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible, cantidad
que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este
mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada,
restándole la cantidad asignada a la celda.
2.- Elimine la fila, cuya oferta o demanda sea (0) si dado el caso ambas son cero
arbitrariamente se elija cual eliminar y la restando se deja con demanda u oferta cero
(0) según sea el caso.
3.- Una vez en este paso existen dos posibilidades
1) Que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final
el método.
2) Es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso inicie de nuevo
el "Paso 1".
La matriz debe estar en equilibrio, y si no lo están se puede aumentar filas o columnas
Ejemplo:
Método del costo mínimo

4. Z = 12.500
MÉTODO DE LA APROXIMACIÓN DE VOGUEL
1) Determinar para cada fila y columna una medida de penalización, restando los
dos costos menores en fila y columnas.
2) Con la mayor Penalización
3) De la fila o columna de mayor penalización escoja la celda con el menor costo y
asigne la mayor cantidad posible.
4) Si queda sin tachar una fila o columna termina se detiene
5) si queda sin tachar la fila o columna con oferta y demanda positiva aplique el
método delo costo mínimo u termine.
6) si todas las filas y columnas que no se tacharon tiene oferta (0) o demanda (0)
determine las variables básicas (0) cero de terminando el método del costo
mínimo.
7) Si no se presenta ningún de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que la
oferta y la demanda se haya agotado.
EJEMPLOS:

5. MÉTODO DE DISTRICUCION MODIFICADA (MODI)
El Métod
o MODI nos ofrece la oportunidad de calcular costos marginales basados en los
valores de las variables de decisión del modelo, pero aunado a esto también nos indica
la celda no básica en la cual se deben realizar los ajustes para obtener una mejor
solución.
ALGORITMO
1. Usar la solución factible calculada por cualquier método (MEN, VAM O MCM ) y las
siguientes (a) y (b) para determinar el costo marginal de enviaar la materia prime para
cada una de las rutas.
2. Si existe por lo menos un c.m. negativo, tomar la celda con mayor valor negativo.
Crear un circuito con todos los vértices en celdas de variables básicas. Es decir,
encontrar la trayectoria de la variable “no básica” que entrará a la solución.
3. Ajustar el valor de Xij en las celdas del circuito, comenzando por sumar la variable
θ a la celda seleccionada en el Paso 2, en el sentido de las manecillas del reloj, y
alternando una resta y suma de θ en cada celda de la trayectoria hasta regresar a la
celda primera, resolver una desigualdad (≥0) para θ y ajustar la solución. En todo caso
volver al Paso 1.
EJEMPLOS:

6. Z= 16.700
METODO DE ASIGANACIÓN
Tiene similitud con el de Vogel, debo buscar tachar los tres ceros utilizando el menor
número de líneas
Z= 4+3+1+9 Z= 17

7. MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO (TRAMPOLIN)
El método del cruce del arroyo también llamado algoritmo de Stepping –Stone o
método del paso a paso es un método que nos ayuda a calcular cuál sería la variación
del costo mínimo, además a buscar la solución óptima de un problema de transporte
solucionado por algunos de los métodos (Vogel, Costo mínimo, Esquina Noroeste entre
otros).
Este método parte de una solución factible, la cual es tomada de cualquiera de las
soluciones que arrojan los métodos de asignación.
El Cruce del Arroyo evalúa la solución inicial y mediante iteraciones (procesos
aritméticos) busca mejorarla hasta llegar a la solución óptima. Si la solución de
partida es la más desfavorable en términos económicos, el procedimiento se hará más
dispendioso pues implica más iteraciones hasta aproximarse a la solución óptima. Por
tal motivo entre más acertado sea la solución de la que partiremos, resultara más
confiable la solución óptima que resultara de nuestro procedimiento.
CARACTERÍSTICAS
1. Se debe comenzar a resolver por las celdas vacías.
2. El número de casillas debe ser igual a m+n-1
3. Se deben trazar las líneas solo horizontal y verticalmente.
4. Se puede trazar líneas por celdas llenas o vacías sin utilizarlas.
5. El Circuito debe comenzar en una celda vacía y al recorrer las celdas ocupadas debe
terminar en la misma celda vacía en la que comenzó.
6. Cuando alguno de los índices de mejoramiento arroja un resultado negativo, se
toma el número menor de las celdas con signo negativo (-) y este valor se le suma a las
celdas con signo positivo (+) y se resta a las celdas cuyo signo sea negativo(-). Estas
serán las nuevas asignaciones.
7. Cuando los índices de mejoramiento arrojan como resultado cero (0) o un numero
positivo se puede concluir el ejercicio, es decir, se ha llegado a la solución óptima.
IMPORTANCIA
El Método del Cruce del Arroyo nos permite encontrar la solución óptima a partir del
resultado factible que arrojan las operaciones con los métodos de transporte.
Las casillas no asignadas sean positivas (+) o cero (0), que es la forma como sabremos
que el ejercicio ha llegado a su resultado óptimo.
EJEMPLOS:

9. RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO)
El método de Branch and Bound (o Ramificación y Acotamiento) es un algoritmo
diseñado para la resolución de modelos de programación entera. Sin embargo es muy
frecuente que la naturaleza del problema nos indique que las variables son enteras o
binarias. Su operatoria consiste en resolver éste como si fuese un m odelo de
programación lineal y luego generar cotas en caso que al menos una variable de
decisión adopte un valor fraccionario. El algoritmo genera
Programación cuadrática
La programación cuadrática (PC) es el nombre que recibe un procedimiento que
minimiza una función cuadrática de n variables sujeta a m restricciones lineales de
igualdad o desigualdad. De nuevo los problemas de programación cuadrática tienen
restricciones lineales, pero ahora la función objetivo f(x) debe ser cuadrática. Entonces,
la única diferencia entre éstos y un problema de programación lineal es que algunos
términos de la función objetivo incluyen el cuadrado de una variable o el producto de
dos variables. La importancia de la programación cuadrática es debida a que un gran
número de problemas aparecen de forma natural como cuadráticos (optimización por
mínimos cuadrados, con restricciones lineales), pero además es importante porque
aparece como un subproblema frecuentemente para resolver problemas no lineales
más complicados.
UNIDAD II
MODELOS DE REDES
• El problema del transporte y el problema de asignación, forman parte de un tipo
más general de modelos, conocidos como modelos de red.
• Los modelos de red son aplicaciones muy importantes para la logística y la
distribución en la administración, además de tener múltiples aplicaciones en
ingeniería y computación.
• Un modelo de red es un modelo de transbordo con capacidades, el cual puede
adoptar diversas formas, como el modelo de la ruta más corta y el modelo del flujo
máximo y mínimo, el problema de árbol de alcance mínimo, método de camino
crítico, entre otras aplicaciones de la planeación financiera y de producción.
CARACTERISTICAS
• La principal característica de un modelo de transbordo con capacidades es que es
una red donde las ofertas están en los puntos de origen específicos, las demandas
en los puntos de destino específicos y las alternativas de embarque se ofrecen por
medio de los nodos intermedios, de manera que siguen rutas con capacidades
definidas desde los orígenes hasta los destinos.

10. Terminología de redes
A continuación se presenta un diagrama de red y sus principales componentes.
 Las flechas se conocen como arco o rama de la red. Generalmente el arco
(flecha) de un punto A a B se designa (A, B)
 Los puntos/elementos del modelo se conocen como nodos de la red.
En el nodo de la red comúnmente encontrarás un número con un signo positivo o
negativo, el cual denota la oferta (+) y la demanda o requerimientos (-) del nodo.
 Una ruta es una secuencia de arcos distintos que conectan a dos nodos.
 En la red podemos observar las diferentes rutas que puede tomar el flujo por
medio de los arcos o ramas dela red.
Consideraciones importantes:
• Las flechas/líneas de una sola dirección son arcos directos.
• Las líneas con flujo para ambas direcciones son arcos indirectos.
• Una red que tiene solamente arcos directos es una red directa.

11. • Una red que tiene arcos en ambas direcciones es una redindirecta.
PROBLEMA. El gerente de distribución de una empresa distribuye tractores en cinco
provincias. El gerente tiene 10 aparatos en la provincia, estos tractores deben ser
enviados a las provincias 3 y 4 que demandan 3 y 7 tractores respe ctivamente.
Elabore el diagrama de red, establezca las capacidades y los costos agregados, formule
el problema, construya la matriz de incidencia (nodo – arco) y establezca la tabla de
transporte.
DIAGRAMA DE RED
CAPACIDADES Y COSTOS AGREGADOS
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Min
Z= C12X12+ C23X23+ C24X24+ C25X25+ C34X34+ C43X43+ C53X53+ C54X54
Sujeto a:
+X12 =10
- X12 + X23 + X24 + X25 =0
- X23 + X34 – X43 – X53 =-3
- X24 - X34 + X43 - X54 =-7
- X25 + X53 + X54 =0
CONDICION DE NO NEGATIVIDAD
0 ≤ Xij ≤ Uij,
Xij= Flujo del nodo i hasta el nodo j

12. EL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA
GRAFO. Es una serie de nodos unidos por arcos, ramas o aristas
Red. Es un grafo con algún tipo de flujo en sus ramales. Ejemplo: Eléctrica,
transporte.
Ruta: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena, en el siguiente
caso [1, 4, 7].
Ciclo: Un ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo con sigo mismo, si los
arcos tienen la misma dirección se conoce como circuitos, en el siguiente ejemplo el
ciclo está compuesto por la cadena [4-2, 2-5, 5-7, 7-4].

13. Ramal orientado: Un ramal o arco orientado es aquel que tiene un sentido
determinado, es decir que posee un nodo fuente y un nodo destino.
Gráfica orientada o dirigida: Una gráfica orientada es aquella en la cual todos sus
ramales se encuentran orientados.
Árbol: Un árbol es una gráfica en la cual no existen ciclos, como el siguiente ejemplo.
Árbol de expansión: Un árbol de expansión es aquel árbol que enlaza todos los nodos
de la red, de igual manera no permite la existencia de ciclos.

14. Bosque. Es una gráfica sin ciclos, se considera también como un conjunto de árboles.
Arborescencia. Es un árbol dirigido con un nodo llamado raíz
EL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA
Se refiere a una red, en la que el arco tiene asociado un n° C y J que se interpreta
como la distancia ( costo, tiempo) que hay entre los nodos y el objetivo consiste en
encontrar las rutas más cortas( Económicas, Rápidas) entre un nodo específico y todos
los demás nodos de la recta.
PASOS
1. considere todos los nodos que están conectados con el origen, el componente
de distancia de la etiqueta que se pone a cada nodo es al distancia desde el
origen, el componente predecesor es el origen, están etiquetas se llaman
temporales.
2. de entre todos los nodos con etiquetas temporales escoja un cuyo componente
y distancia sea mínima y etiqueta permanentemente todos los empates en

15. cualquier punto del algoritmo se rompe arbitrariamente tan pronto como todos
los nodos han sido etiquetados en forma permanente vaya al paso 4.
3. todo nodo que no tenga etiqueta permanente no tiene etiqueta o su etiqueta es
temporal, considérese todas las etiquetas de los vecinos del nodo, para cada
uno de los nodos calcule las suma de la distancia más los componentes de la
distancia de la etiqueta, si el nodo no está etiquetado, asigne una etiqueta
temporal que consta en esta distancia y la del predecesor si el nodo en
cuestión ya tiene una etiqueta temporal cambie si solo la distancia recién
calculada es menor < que la distancia de la etiqueta actual regrese al paso 2.
4. Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta desde el origen a
cada nodo de la recta, también el nodo predecesor en la ruta más corta hacia
cada nodo.
EJEMPLO:
Una persona hace el reparto de cerveza a 7 lugares diferentes de la ciudad de
Riobamba, después de haber obtenido la información necesaria, se establece el
siguiente esquema.
A cada nodo se asocia, la distancia que hay en los nodos
Se empieza minimizar la totalidad de los costos asegurando que cualquiera que
sea sea a través de la ruta más corta
EL PROBLEMA DEL ÁRBOL EXPANDIDO MÍNIMO
La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los nodos de la red con un
costo total mínimo

16. El algoritmo que nos permite resolver este tipo de problemas es el ALGORITMO
GLOTÓN y se puede hacer de dos formas: el método gráfico y el método Tabular.
MÉTODO GRÁFICO.
1. Empiece en cualquier nodo. Seleccione el arco más barato que parta de ese nodo.
Este es su primer enlace. Forma un segmento de conexión entre dos nodos. Los
nodos restantes se llaman NODOS DESCONECTADOS.
2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los nodos
desconectados. Seleccione el más barato como enlace. Si hay empates rompa de
manera arbitraria. Esto agrega un nuevo nodo al segmento de conexión. Repita
este paso hasta que todos los nodos estén conectados lo cual requiere n -1 pasos.
MÉTODO TABULAR.
1. Comience con cualquier nodo, se designa este nodo como conectado y se coloca un
V al lado del renglón correspondiente a este nodo. Se tacha el índice de la columna
que corresponde a él.
2. Considerando todos los renglones que tienen V, busque el valor mínimo en las
columnas cuyo índice aún no haya sido tachado y se encierra ese valor en un
círculo. Se rompe arbitrariamente los empates. La columna que contenga a ese
elemento encerrado en un círculo designa al nuevo nodo conectado. Se tacha el
índice de esta columna y se coloca una marca en el renglón correspondiente a este
nodo. Se repite este paso hasta que todos los nodos sean conectados.
3. Una vez que todos los nodos hayan sido conectados, se identifica el árbol
expandido mínimo mediante los elementos circundados.
EL PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO.
En este problema hay un solo nodo FUENTE ( origen, entrada) y un solo nodo
DESTINO ( sumidero, salida), El problema consiste en determinar el máximo flujo que
se puede enviar desde el nodo fuente al nodo destino, teniendo en cuenta las
capacidades kij sobre el flujo de cada arco (i,j) y que el flujo se debe conservar. Se
utiliza para saber cuál es la cantidad máxima de vehículos, peatones, líquidos o
llamadas telefónicas que pueden entrar y salir del sistema, para reducir los
embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.
El único requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o el
destino) la relación de equilibrio debe cumplirse:

17. Flujo que sale = flujo que entra
La cantidad de flujo a lo largo de dicho recorrido es FACTIBLE si:
1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino.
2. A excepción de los nodos de entrada y salida se debe cumplir la condición de
conservación:
Flujo que sale = flujo que entra
ALGORITMO PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA.
1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a
cero en el sentido deseado.
2. Encontrar la rama de menor capacidad (Pf) del camino seleccionado en el paso
anterior y programar el envío de dicha capacidad (Pf).
3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad Pf en las ramas involucradas
y aumentar dicha cantidad en el sentido contrario.
4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.
5. Si la capacidad final es menor que la capacidad ini cial, calcule la diferencia y esta
es la cantidad de flujo a través del arco.
CORTE. Partición del conjunto de nodos en dos clases ajenas, digamos C1 y Cn donde
la fuente está en C1 y el destino en Cn.
CAPACIDAD DE CORTE. Considérense todos los arcos que conectan directamente
un nodo de C1 a un nodo Cn. La suma de las capacidades de esos arcos, en la
dirección C1 – Cn se llama capacidad de corte.
TEOREMA DE FLUJO MÁXIMO Y CORTE MÍNIMO. El flujo máximo de cualquier red
es igual a la capacidad del corte mínimo.