Este documento contiene varios problemas de geometría que involucran el cálculo de ángulos, longitudes y alturas utilizando las propiedades de ángulos alternos internos, ángulos correspondientes y triángulos rectángulos. Los problemas implican el cálculo de sombras, alturas de torres, postes y árboles basados en mediciones de ángulos tomadas desde diferentes puntos.

1. 1. Hallar la longitud de la sombra de una árbol de 10m de altura cuando los rayos del sol
forman con la horizontal un ángulo de 15º
2. Calcular la longitud de la sombra de un árbol de 18 m de altura cuando el ángulo que
forman los rayos solares con el suelo es de 22º.
3. Una escalera de 8,2 m esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 6m.
¿Que ángulo forma con el suelo?
4. Una escalera de 6,5m de longitud se apoya sobre una pared vertical formando con ella un
ángulo de 18º. Cual es la altura que alcanza.
5. Una torre de 40 m de altura proyecta una sombra de 16 m de longitud. ¿Qué sombra
proyectará un árbol de 12 m de altura?
6. Para determinar la altura de un poste no hemos alejado 7 m de su base, hemos medido el
ángulo que forma la visual al punto mas alto con la horizontal, obteniendo un valor de 40º.
¿Cuánto mide el poste?
7. Para conocer la altura de una torre hemos medido el ángulo que forma la visual al punto
mas alto con la horizontal, obteniendo un resultado de 34º. Al acercarnos 15 m hacia la torre,
obtenemos un nuevo ángulo de 57º ¿Cuánto mide la altura de la torre?
8. Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el
ángulo que forma la visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede 10m y mide
el nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 25º. ¿Qué altura tiene el árbol?
9. Estando situado a 87m de un olmo, veo su copa bajo un ángulo de 22º. Mi amigo ve el
mismo olmo bajo un ángulo de 25º. ¿A que distancia está mi amigo del olmo?
10. Queremos conocer el ancho de un río, para lo cual nos situamos justo en una de las orillas
y dirigimos la visual a un poste que se encuentra justo enfrente de nosotros en la otra orilla
obteniendo un ángulo de 53º. Al alejarnos de la orilla perpendicularmente un total de 20m y
mirar de nuevo el poste el ángulo es ahora de 32º. ¿Cuánto mide el río de ancho?
11. Una antena de radio esta sujeta al suelo mediante dos cables que forman con la antena
ángulos de 36º y 48º. Si los puntos de sujeción de los cables al suelo y el pie de la antena se
encuentran alineados y a una distancia total de 98m, calcula la altura de la antena.
12. Calcular la altura de una chimenea sabiendo que la visual dirigida al punto mas alto por un
observador de 1,80 m de altura, que se encuentra a 48 m de distancia del pie de la chimenea,
forma un ángulo de 36,67º con la horizontal.
13. ¿Cuál sería la longitud total de una correa plana que une exteriormente dos poleas de
radios 12 y 24cm y cuyos centros se encuentran a 54cm de distancia?
14. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una
sombra de 82 cm. de longitud en el suelo.
15. Desde un punto que está a 12m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53
grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo.
¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está directamente
bajo el observador?

2. 16. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la
horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el
extremo de la cuerda se sostiene a 1,3m. del suelo.
17. Un avión vuela a una altitud de 10000metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en
tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la
velocidad aproximada del avión.
18. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de
la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.
19. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del
suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte
inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.
20. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un
punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40
grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros,
determine el ancho del río.
21. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de
20 cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que
forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál
es la altura del cuadro?
22. Una escalera de 6m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el
pie de la escalera queda a 1,5m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera
forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?
23. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22m. y 12m. respectivamente.
El primer poste es 7,5m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y
la longitud de cada poste.
24. Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del
árbol, desde un punto situado a 180m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por
encima o por debajo del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.
25. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46
grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados?
26. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5m. Desde un punto situado en la playa
se observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47
grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.
27. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes
quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27
grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50m. ¿cuánto cable se ha gastado?,
¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?
28. Desde lo alto de una torre de 200m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de
dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que separa a
dichos botes.

3. 29. Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si
C está a 5000m. de A y a 7500m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados. ¿Cuál es el ancho del
lago?
30. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en dirección N 52º O y N 55º
E, de sus posiciones respectivas. El segundo guardabosque estaba a 1,93km. al Oeste del
primero. Si el guardabosque más cercano al fuego es el que debe acudir. ¿Cuál de ellos tiene
que ir y cuánto tendrá que caminar?
31. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles. La base está frente a un camino y tiene
una longitud de 562m. Calcule la longitud de los lados si estos forman un ángulo de 23 grados.
32. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el Oeste. En cierto punto gira 30 grados Norte
respecto del Oeste y viaja 42km. adicionales hasta un punto que dista 63km. del puerto. ¿Qué
distancia hay del puerto al punto donde giró el barco?
33. Desde lo alto de una torre de 300m. de altura se observa un avión con un ángulo de
elevación de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un
ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al
avión bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se
encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil,
también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.
34. Una escalera de mano, cuyo pie está en la calle, forma un ángulo de 30 grados con el
suelo, cuando su extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la
calle, y forma un ángulo de 40 grados cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado
de la calle. Si la longitud de la escalera es de 50 m., ¿cuál es el ancho de calle?
35. Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un
triángulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35 grados con el piso, y la
distancia, medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cúspide caída es de 5 m. halle la
altura que tenía el árbol.
36. Un edificio situado a la orilla de un río tiene una altura de 25metros, desde la parte
superior “Juan” observa a bañista, situada justamente en la orilla contraria del río, bajo un
ángulo de depresión de 35º. En la misma línea y 20 metros más delante de donde esta la
bañista el novio de la bañista observa a Juan con un ángulo de elevación de 21º. ¿a cuántos
metros de la base del edificio se encuentra el novio, y cuál es el ancho del río?
37. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el ángulo de
elevación a la parte más alta de la torre es 57º. Calcular la altura de la torre. R/207,88.
38. Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal
que está a 40m de la base de la antena. Si el alambre hace un ángulo de 58º,con el suelo,
encuentre la longitud del alambre. R/75,48
39. Para medir la altura de una capa de nubes, un estudiante de meteorología dirige la luz de
un faro verticalmente hacia arriba desde el suelo. Desde un punto P situado a 1000m del faro,
se mide el ángulo de elevación de la imagen de la luz en las nubes, siendo esta de 59º. Hallar
la altura de la capa de nubes. R/1 664,28.

4. 40. Calcular el ángulo de elevación al sol, si una persona que mide 165cm de estatura
proyecta una sombra de 132cm de largo a nivel del suelo. R/51º
41. Un constructor desea construir una rampa de 8m de largo que se levanta a una altura de
1.65m sobre el nivel del suelo. Encuentre el ángulo de la rampa con la horizontal. R/12º