Este documento describe un modelo matemático para simular la propagación de una enfermedad dentro de una familia. El modelo divide a la población en susceptibles, infectados y removidos. Usa distribuciones binomiales para calcular la probabilidad de transmisión entre susceptibles e infectados a lo largo del tiempo. El autor provee ejemplos de código para simular cómo la enfermedad se propaga en una familia a través de varias semanas y bajo diferentes probabilidades de contagio.

1. Propagación de una Infección dentro de una Familia
por: Ángel M. Carreras, MA
Universidad Interamericana de Puerto Rico
Recinto de San Germán
Departamento de Matemáticas y Ciencias Aplicadas
Teoría
Considere una población fija y asuma que hay tres tipos de individuos en ella definidos por una enfermedad como:
susceptibles, infectados y removidos. Los susceptibles pueden adquirir la infección a través de contacto efectivo con un infec-
tado, los infectados tienen la enfermedad y son capaces de transmitirla y los removidos son aquellos que han pasado por la
enfermedad pero ya no son susceptibles o infectados. El flujo de la enfermedad es descrito por:
S I R
indicando que los susceptibles pueden convertirse en infectados y los infectados pueden ser removidos, pero no hay nuevos
susceptibles al proceso.
Existen problemas con el considerar una visión tan simple de la enfermedad. Por ejemplo, existen grandes variaciones en
el nivel de cuan susceptible, infectado e inmune son los individuos en una población. También, estas definiciones pueden
depender en atributos tales como edad, génetica, etnia, etc. Existen muchas enfermedades cuyos mecanismos de transmisión no
son conocidos, ni su periodos de latencia entre infectarse y la aparición de los síntomas.
La población es monitoreada a tiempos fijos de muestreo y los números en estas clases en el tiempo de muestreo n son
rotulados Sn , In y Rn , respectivamente. Se asume que la población es constante durante el curso de la enfermedad con tamaño N
así que:
Sn In Rn N.
Se asume que la población esta mezclada al azar, así que cada individuo tiene igual probabilidad de hacer contacto
efectivo con cualquier otro. Se define p como la probabilidad de contacto efectivo entre cualquier susceptible con cualquier
infectado durante un intervalo de tiempo. Finalmente, asumimos que los intervalos de muestreo son exactamente de la misma
duración de tiempo que la duración de la infección en los infectados. Al final del intervalo de muestreo n, la población es
examinada y los nuevos números Sn 1 , In 1 , Rn 1 son observados y guardados.
La probabilidad de que un susceptible evite contacto con todos los In de los infectados durante el tiempo de muestreo es
In
qn 1 p
Así que, la probabilidad de que Sn 1 k es
Sn S k
qk 1 qn n
n
k
lo cual es una distribución binomial simple. Esto es, que la probabilidad de que k sobrevivan como susceptibles en el intervalo de
muestreo es el número de formas que k puede ser seleccionado de Sn candidatos veces la probabilidad de que k evite contacto
efectivo y la probabilidad de que Sn k tiene contacto efectivo. Si Sn 1 k, entonces In 1 Sn k y Rn 1 Rn In .
Sn k Sn k
Este computo es resumido por la fórmula Pr[Sn 1 k Sn y In q 1 qn y esta es llamada el modelo Reed-
k n
Frost.
Enfermedad en una Familia de m miembros: Las Primeras Dos Semanas

2. 2 presentación reed frost.nb
Enfermedad en una Familia de m miembros: Las Primeras Dos Semanas
infect1 crea una tabla con las posibles observaciones en el momento t+1, con sus respectivas probabilidades, dadas las condi-
ciones (cantidad de susceptibles e infectados y probabilidad de contacto efectivo entre cualquier susceptible y cualquier infec-
tado) en el momento t
infect1 members_ , susceptibles_ , infectives_ , probinfect_ :
Module s, p, i, k, prob, probservation , m, t, n ,
s susceptibles ; i infectives; p probinfect; m members;
probservation "Susceptibles ", "Infectives", "Removals",
"Probability of this Observation", "Acumulated Probability" ;
k s;
t 0;
While k 0,
prob Binomial s, k 1 p ^i ^k 1 1 p ^i ^ s k ;
AppendTo probservation , k, s k, m s, prob, t prob ;
t t prob;
k k 1 ;
n 2;
TableForm probservation
infect1 5, 4, 1, .05
Susceptibles Infectives Removals Probability of this Observation Acumulated Probability
4 0 1 0.814506 0.814506
3 1 1 0.171475 0.985981
2 2 1 0.0135375 0.999519
1 3 1 0.000475 0.999994
6
0 4 1 6.25 10 1.
Simulación del Desarrollo de una Enfermedad en una Familia luego de una Semana
infect2 nos da un resultado (susceptibles e infectados) de la segunda semana basado en la probabilidad de cada resultado.
infect2 susceptibles_ , infectives_ , probinfect_ :
Module s, p, i, k, prob, probservation , m, t, rannum, n ,
s susceptibles ; i infectives; p probinfect;
probservation "Susceptibles ", "Infectives",
"Probability of this Observation", "Acumulated Probability" ;
k s;
t 0;
While k 0,
prob Binomial s, k 1 p ^i ^k 1 1 p ^i ^ s k ;
AppendTo probservation , k, s k, prob, t prob ;
t t prob;
k k 1 ; n 2;
rannum RandomReal ;
While rannum probservation n, 4 , n n 1 ;
probservation n, 1 , probservation n, 2

3. presentación reed frost.nb 3
infect2 4, 1, .5
3, 1
Simulación de Cantidad de No Infectados, luego de que pase la Enfermedad en una Familia
infect3 nos da la cantidad de susceptibles (es decir que nunca fueron infectados) que quedan en la familia luego de que pasa la
enfermedad, es decir cuando ya no quedan infectados.
infect3 s0_, i0_, p_ : Module s, i ,
s, i s0, i0 ;
While i 0, s, i infect2 s, i, p ;
s
infect3 4, 1, .3
0
Simulación de Cantidad de No Infectados, luego de que pase la Enfermedad en r Familias
infect4 nos da la cantidad de susceptibles (es decir que nunca fueron infectados) que quedan en r familias luego de que pasa la
enfermedad, es decir cuando ya no quedan infectados.
infect4 s0_, i0_, p_, rep_ : Module s, i, r, l, lista ,
s, i s0, i0 ;
lista ;
r rep;
For l 0, l r, l , AppendTo lista, infect3 s, i, p ;
; lista
infect4 4, 1, .05, 40
3, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 3, 4, 3, 4, 4, 3, 4, 4,
2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4
Simulación de Cantidad de No Infectados, luego de que pase la Enfermedad en r Familias
con Diferentes Probabilidades de Contagio
infect5 genera una tabla en la cual se indica cuantos de los susceptibles no fueron infectados luego de que pase la enfermedad
para diferentes valores de p (probabilidad de contacto efectivo entre cualquier susceptible y cualquier infectado)
infect5 s0_, i0_, p1_, p2_, p3_ , rep_ : Module conteo, s, i, r, m ,
m 0;
s s0;
i i0;
r rep;
conteo ;
While m s,
AppendTo conteo, m, Count infect4 s, i, p1, r , m ,
Count infect4 s, i, p2, r , m , Count infect4 s, i, p3, r , m ;m m 1 ;
TableForm conteo, TableHeadings None, "S ", " p" p1, " p" p2, " p" p3 ,
TableAlignments Center

4. 4 presentación reed frost.nb
infect5 4, 1, .1, .3, .5 , 100
S 0.1 p 0.3 p 0.5 p
0 0 26 72
1 5 23 15
2 9 18 5
3 18 14 3
4 74 20 8