Este documento describe cómo realizar una prueba t de varianzas combinadas para determinar si existen diferencias significativas entre las medias de dos poblaciones con varianzas iguales. Explica el estadístico de prueba t, los grados de libertad, y cómo usar los valores críticos y el p-value para decidir si rechazar o no la hipótesis nula de que las medias son iguales. También proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el procedimiento.

1. COMPARACIÓN DE DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES PRUEBAS “t” PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS. HO: μ1 = μ2 o lo mismo que μ1 - μ2 = 0 H1: μ1  μ2 o lo mismo que μ1 - μ2 0 Profesor Juan Díaz Valencia, Esp. Estadística Aplicada, jagi120@gmail.com

2. PRUEBA t DE VARIANZA COMBINADA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS. El estadístico de prueba usado para determinar la diferencia entre las medias poblacionales se basa en la diferencia entre las medias muestrales. , este estadístico sigue una distribución normal estándar para muestras suficientemente grandes. La prueba Z para la diferencia entre dos medias es la siguiente En la mayoría de casos no se conoce la varianza o las desviaciones estándar de las poblaciones, la única información que podemos obtener se relaciona con las medias muestrales.

3. Si se hace la suposición que las que las muestras se obtienen de manera aleatoria e independiente a partir de poblaciones respectivas que tienen distribución normal y las varianzas son iguales es decir , se puede usar una prueba “t” de varianzas combinadas, para determinar si existe diferencias significativas entre las medias de las dos poblaciones. Se debe probar la hipótesis nula de que no hay diferencias entre las medias de las dos poblaciones. HO: μ1 = μ2 o lo mismo que μ1 - μ2 = 0 H1: μ1  μ2 o lo mismo que μ1 - μ2 0 Se usa el estadístico de prueba t de varianzas combinadas para probar la diferencia entre medias.

4. Prueba t de varianzas combinadas para la diferencia entre medias Donde: Es la varianza combinada El estadístico de prueba t sigue una distribución t con Grados de libertad para un nivel de significancia α dado.

5. CRITERIOS PARA RECHAZAR LA HIPÓTESIS NULA Para un nivel de significancia α, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico de prueba t calculado, excede el valor crítico de la cola superior de la distribución t, o si el estadístico de prueba calculado es menor que el valor crítico de la cola inferior – de la distribución t. Se rechaza H0 si t > o si t < - De otra manera no se rechaza H0.

6. REGIONES DE RECHAZO PARA UNA PRUEBA DE DOS COLAS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS

7. Ejemplo. El jefe de control de calidad de una embotelladora desea comparar el llenado de líquido de una bebida a dos diferentes presiones operativas de 25 y 30 PSI. Para esto selecciona dos muestras de 10 envases cada una de poblaciones que tienen varianzas iguales, el ingeniero entonces utiliza una prueba t de varianzas combinadas utilizando un nivel de significancia α = 0,05 los datos se muestran en la siguiente tabla.

8. Ejemplo para la medición del LLENADO DE LÍQUIDO EN UNA BOTELLA

10. Prueba de hipótesis de dos colas para la diferencia entre medias a un nivel de significancia de 0,05 con 18 grados de libertad.

11. Conclusión. Como t calculado = - 3,0446 < - 2,10092. Se observa que el estadístico de prueba t, se encuentra en la región de rechazo, por lo tanto rechazamos H0. Existe suficiente evidencia de una diferencia en la desviación promedio de la meta de cantidad de llenado de la bebida con dos niveles de presión operativa. Al usar una presión de 25 PSI, el resultado es una desviación significativamente menor de la meta que la obtenida por el control a 30 PSI. Otra manera de rechazar o no la hipótesis nula es mediante el p-value, si observamos la tabla de resultados p ≈ 0,007 < 0,05. luego se tiene suficiente evidencia de que H0 no es cierta y se rechaza.

12. Intervalo de confianza para μ1 – μ2, pero varianzas desconocidas Si son las medidas de muestras aleatorias independientes con tamaños n1 y n2, respectivamente, de poblaciones aproximadamente normales con varianzas iguales pero desconocidas, un intervalo de confianza de (1 – α) 100% para μ1- μ2 esta dada por: Es la varianza combinada El estadístico de prueba t sigue una distribución t con Grados de libertad para un nivel de significancia α dado.

13. Ejemplo. Se eligieron dos estaciones de muestreo independientes para un estudio, una que se localiza corriente abajo del punto de descarga de ácido proveniente de una mina, la otra corriente arriba, para 12 muestras mensuales del rio corriente abajo se obtuvo un valor medio de 3,11 y una desviación estándar muestral de 0,771, mientras que 10 muestras corriente arriba arrojaron una media de 2,04 y una desviación estándar de 0,448. encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre medias poblacionales de los sitios, suponga que las dos poblaciones están distribuidas normalmente con varianzas iguales. Muestre que el intervalo al simplificarlo queda: 0,593 < μ1 – μ2 < 1,547.

14. Ejercicio 1. Se comparan las resistencias de dos clases de hilo, 50 piezas de cada clase de hilo se prueban bajo condiciones similares, la marca A tiene una resistencia a la tracción de 78,3 kilogramos, con una desviación estándar de 5,6 kilogramos, mientras que la marca B tiene una resistencia a la tracción promedio de 87,2 kilogramos con una desviación estándar de 6,3 kilogramos, construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias. Ejercicio 2. Una agencia de bienes raíces desea comparar los avalúos de casas unifamiliares en dos comunidades, una muestra de 60 casas en Farmingdale y 99 casas en Levittown, los resultados se muestran en miles de dólares. Para un nivel de significancia de 0,05 ¿existe una diferencia en el valor promedio de los avalúos en las dos comunidades?