El documento describe cómo factorizar un polinomio de cuarto grado utilizando el teorema de Descartes y el teorema del residuo. Explica que el polinomio tiene cuatro raíces: -1, 2, -2√2 y 2√2. Finalmente, el documento presenta la factorización completa del polinomio como el producto de sus cuatro factores lineales.

1. PROBLEMA DE POLINOMIOS Y SUS RAICES
Antonio Herrera Escudero
Universidad Veracruzana
1. (18 puntos) Factorice al polinomio ( ) = + + + −
Regla de los signos de Descartes:
para raíces positivas tenemos un cambio de signo
para raíces negativas tenemos tres cambios de signo
Raíces positivas Raíces negativas Raíces complejas
1 3 0
1 1 2
Posibles raíces:
= − 4 = −4, −2, −1, 1, 2, 4
= 2 = −2, −1 −
1
2
,
1
2
1, 2
Posibles raíces: = 1, −1, 2, −2, 4, −4
Realizamos división sintética y teorema del residuo para checar cuales
de las posibles raíces lo son realmente:
2 1 7 4 − 4|1 2 1 7 4 − 4|-1
2 0 10 14| −2 1 − 8 4 |
2 3 10 14 10 2 − 1 8 − 4 0
= −1, es una raíz, por lo tanto y usando el teorema del factor
( ) = (2 − + 8 − 4)( + 1)
También observamos que 1 es una cota superior, por lo cual y dado que
debe haber una raíz positiva, se deduce que = es una raíz, entonces
2 − 1 8 − 4 |
1 0 4 |
2 0 8 0

2. De donde, mediante teorema del factor
( ) = ( + 8) −
1
2
( + 1)
El factor cuadrático ( + 8) tiene raíces = ±√−8 = ±2√2 , de lo
cual 2√2 y −2√2 , también son raíces del polinomio ( ), siendo
( − 2√2 ) y ( + 2√2 ) los otros dos factores de ( );
Así pues, nuestro resultado es
( ) = − 2√2 + 2√2 −
1
2
( + 1)