Razón de Cambio

2. DERIVADAS
Cristian Camilo Penagos Torres
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
RAZ ´ON DE CAMBIO PROMEDIO
La raz´on de cambio promedio de f con respecto a x en el intervalo (x1, x2)
esta dado por el cociente de diferencias:
∆y
∆x
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
y puede interpretarse como la pendiente de la recta secante PQ en la figura.

4. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
EJEMPLO 1
La altura s arriba del suelo a la que se suelta una pelota desde la parte superior
del Arco de San Luis Missouri est´a dada por s(t) = −16t2 + 1600, donde s
se mide en pies y t en segundos, vea la figura. Encuentre la velocidad media
de la pelota que cae entre el instante en que se suelta la pelota y el instante en
que golpea el suelo.
El instante en que se
suelta la pelota est´a determinado por la ecuaci´on
s(t) = −16t2
+ 1600 = 1600
As´ı se obtiene que t = 0. Cuando
la pelota golpea el suelo, se tiene s(t) = 0,
es decir, −16t2 + 1600 = 0, as´ı que t = 10s.
La velocidad media de la pelota est´a dada por:
s(10) − s(0)
10 − 0
=
0 − 1600
10
= −160 pies/s

5. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
RAZ ´ON DE CAMBIO INSTANT ´ANEA
La raz´on de cambio instant´anea de f con respecto a x en x1 es la derivada
f (x1) = l´ım
h→0
(x1 + h) − f(x1)
h
siempre y cuando el l´ımite exista.
EJEMPLO 2
El ´area de un c´ırculo se relaciona con su diam´etro mediante la ecuaci´on
A =
π
4
D2
¿Qu´e tan r´apido cambia el ´area del c´ırculo con respecto al di´ametro cuando el
radio es de 20 m?
dA
dD
=
π
4
2D =
πD
2
Como el radio del c´ırculo es de 20m el di´ametro es de 40m, as´ı el ´area cambia
con respecto a di´amtro a una raz´on de π40
2 = 20π m2/m.

6. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
VELOCIDAD (INSTANT ´ANEA)
La velocidad instant´anea es la derivada de la posici´on con respecto al
tiempo. Si la posici´on de un cuerpo en el momento t es s = f(t), entonces, la
velocidad del cuerpo en el momento t es
v(t) =
ds
dt
= l´ım
∆t→0
f(t + ∆t) − f(t)
∆t
La rapidez es el valor absoluto de la velocidad.
EJEMPLO 3
Encuentre la velocidad instant´anea de la pelota que cae en el ejemplo 1.
Como v(s) = ds
dt = −32t, as´ı v(3) = s (3) = −32(3) = −96 pies/s.

7. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
ACELERACI ´ON
La aceleraci´on es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo t. Si la
posici´on de un objeto en el tiempo t es s = f(t), entonces la aceleraci´on del
objeto en el tiempo t es
a(t) =
dv
dt
=
d2s
dt2
EJEMPLO 4
La posici´on de una part´ıcula est´a dada por la siguiente funci´on:
s = f(t) = t3
− 6t + 1
donde t se mide en segundos y s en metros. Halle la aceleraci´on de la
part´ıcula despu´es de 4 s.
Como v(t) = 3t2 − 6, as´ı a(t) = 6t, de esta manera a(4) = 6(4) = 24m/s2

8. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
EJEMPLO 5
Suponga que
c(x) = x3
− 6x2
+ 15x
es el costo de producci´on en d´olares de x radiadores cuando se producen entre
8 y 30 unidades, y que
r(x) = x3
− 3x2
+ 12x
es el ingreso en d´olares por vender x radiadores. Suponga que, en su taller, se
producen 10 radiadores al d´ıa. ¿Aproximadamente cu´anto m´as costar´a
producir un radiador adicional cada d´ıa y cu´al es su incremento estimado de
ingreso por la venta de 11 radiadores al d´ıa?

9. DERIVADAS DERIVADA COMO RAZ ´ON DE CAMBIO
El costo de fabricar un radiador m´as al d´ıa cuando se producen 10, es
aproximadamente c (x) :
c (x) =
d
dx
x3
− 6x2
+ 15x = 3x2
− 12x + 15
c (10) = 3(10)2
− 12(10) + 15 = 195
El costo adicional ser´a aproximadamente de $195. El ingreso marginal es
r (x) =
d
dx
(x3
− 3x2
+ 12x) = 3x2
− 6x + 12.
La funci´on de ingreso marginal estima el incremento del ingreso que se
generar´a al vender una unidad m´as. Si actualmente usted vende 10 radiadores
al d´ıa, puede esperar que su ingreso se incremente en aproximadamente
r (10) = 3(100) − 6(10) + 12 = $252
Si usted aumenta sus ventas a 11 radiadores al d´ıa.