Antiderivadas
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Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F(x) = f(x) para toda x en I. Según el teorema, las antiderivadas de una función f en un intervalo I forman una familia de funciones de la forma F(x) + C, donde C es una constante arbitraria. El conjunto de todas las antiderivadas de f se conoce como la integral indefinida de f con respecto a x, denotada por f(x) dx.
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Integral indefinida
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida. Define la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función y la representa como ∫ f(x) dx. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es igual a cualquier primitiva F(x) de f(x) más una constante C. También resume algunas propiedades como que la integral de una suma es la suma de las integrales y la integral de un producto constante por una función es ese constante por la integral de la función.
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Operaciones continuidad
1) Las operaciones entre funciones continuas, como suma, resta, multiplicación y cociente, resultan en funciones continuas siempre que la operación tenga sentido.
2) El teorema del valor intermedio establece que si una función continua toma valores distintos en los extremos de un intervalo cerrado, debe tomar el valor intermedio en algún punto dentro del intervalo.
3) Como ejemplo, se demuestra que el polinomio x3 + 2x - 1 tiene un cero en el intervalo [0,1] aplicando el teorema del valor intermedio.
Valores extremos de una función
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Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real
Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable realUniversidad Nacional de Ingeniería, UNI, Nicaragua
Este documento presenta varios teoremas sobre funciones derivables, incluyendo el teorema de Fermat, el teorema de Rolle, el teorema del valor medio y el teorema de Cauchy. También define funciones crecientes, decrecientes y monótonas, y explica valores extremos de funciones. Incluye ejemplos para ilustrar los teoremas.Teorema del valor intermedio y valores extremos
Este documento explica el teorema del valor intermedio y los valores extremos de una función continua en un intervalo. Específicamente, describe que una función continua toma todos los valores entre sus valores en los extremos del intervalo, y que tiene un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo. También proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
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Notas para curso de cálculo diferencial de área de físicos y matemáticos de nivel preparatoria, con énfasis en las aplicaciones.
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Integrales Impropias
1) El documento habla sobre integrales impropias, que extienden el cálculo de la integral de Riemann a funciones definidas en intervalos no acotados e intervalos con funciones no acotadas.
2) Se definen las integrales impropias de primera y segunda especie. Las de primera especie integran funciones acotadas en intervalos no acotados, mientras que las de segunda especie integran funciones no acotadas.
3) Se proveen criterios como el de comparación y el límite asintótico para determinar la convergencia de integrales impropias.
Aplicación de la derivada
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Concepto de integral indefinida
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Calculo I La Regla De La Cadena
El documento explica la regla de la cadena, que permite derivar funciones compuestas. Presenta el teorema de la regla de la cadena, que establece que si y = f(u) y u = g(x), entonces dy/dx = (df/du) * (du/dx). También explica la regla general de las potencias para derivar funciones de la forma y = [u(x)]n. Proporciona ejemplos y explica cómo aplicar la regla de la cadena para derivar funciones implícitas y funciones relacionadas con ritmos y velocidades.
Iteracion de punto fijo
El método de punto fijo permite resolver sistemas de ecuaciones no lineales transformando la ecuación f(x)=0 en la forma x=g(x). Se evalúa g(x) repetidamente para valores iniciales de x hasta que los resultados convergen, lo que indica que se ha encontrado la raíz. Si los resultados se alejan, la iteración diverge y se debe modificar la función g(x).
Diferenciabilidad
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre la derivabilidad de funciones de una variable, incluyendo la definición de derivada, interpretaciones geométricas, propiedades como la regla de la cadena y teoremas como el de Rolle y el valor medio. También introduce conceptos como la diferencial, derivadas parciales y la regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones.
Clase 1 antiderivada
Este documento presenta los conceptos de primitivas o antiderivadas e integral indefinida. Define una antiderivada como una función cuya derivada es la función dada, y explica que la antiderivada más general incluye una constante arbitraria C. Presenta fórmulas para calcular antiderivadas comunes y propiedades como la linealidad de la integral indefinida.
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Este documento presenta información sobre antiderivadas. En primer lugar, introduce la notación para antiderivadas y define una antiderivada como una función cuya derivada es igual a otra función dada. Luego, explica las reglas básicas de integración y cómo se pueden obtener fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación. Finalmente, incluye ejemplos ilustrativos y ejercicios de aplicación sobre antiderivadas.
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Este documento presenta una estrategia en 6 pasos para resolver problemas de tasas relacionadas y tres ejemplos resueltos. Explica cómo calcular la razón de cambio de una cantidad en términos de la razón de cambio de otras cantidades mediante la identificación de las variables, el establecimiento de ecuaciones y la derivación para relacionar las tasas de cambio.
Diapositiva semana 9
Este documento explica varios temas relacionados con derivadas, incluyendo la regla de la cadena, derivación implícita y derivación logarítmica. Presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas reglas al calcular derivadas de funciones compuestas, definidas implícitamente y que involucran logaritmos.
Diapositiva semana 8
Este documento explica el concepto de derivada como la razón de cambio de una función. Define la derivada como la pendiente de la recta secante, la razón de cambio instantánea como un límite, y explica cómo se pueden usar derivadas para calcular la velocidad, aceleración y cambios marginales en costos e ingresos. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Diapositiva semana 5
Este documento presenta las propiedades y leyes de los límites, incluyendo la regla de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. También presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas leyes al calcular límites, así como técnicas como la cancelación y racionalización para resolver formas indeterminadas. Por último, introduce el teorema de compresión para calcular límites cuando una función está comprendida entre dos funciones con el mismo límite.
Diapositiva semana 4
Este documento define los conceptos fundamentales de límites, incluyendo límites, límites laterales, límites infinitos y asintotas verticales. Explica que un límite describe el comportamiento de una función cuando se aproxima a un valor particular y provee definiciones formales e informales. También presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos y teoremas relacionados a la existencia de límites.
Diapositiva semana 3
Este documento describe las funciones inyectivas y sus funciones inversas. Explica que una función es inyectiva si cada valor de salida tiene un único valor de entrada correspondiente. Muestra cómo encontrar la función inversa de una función uno a uno intercambiando las variables x e y. También define la función logarítmica, sus propiedades y leyes logarítmicas.
Diapositiva semana 2
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones de funciones, incluyendo traslaciones, alargamientos, reflexiones, combinaciones y composición. Explica cómo realizar traslaciones verticales u horizontales, alargamientos o compresiones de una gráfica funcional mediante factores. También define la suma, resta, multiplicación y división de funciones, así como la composición funcional f∘g. Proporciona ejemplos ilustrativos de cada tipo de transformación.
Diapositiva semana 1
Este documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones polinómicas, potenciales, racionales, algebraicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función asigna un único elemento de un conjunto de salida a cada elemento de un conjunto de entrada llamado dominio. Luego proporciona ejemplos gráficos de cada tipo de función y referencias sobre cálculo.
Optimización
Este documento presenta estrategias para resolver problemas de optimización usando derivadas y da dos ejemplos de aplicación. Explica cómo identificar la función objetivo, encontrar puntos críticos derivando, y usar el criterio de primera y segunda derivada para clasificarlos y encontrar el máximo o mínimo. Los ejemplos tratan de encontrar el tamaño óptimo para cortar cuadrados de una caja y las dimensiones óptimas de una lata cilíndrica de 1 litro.
Regla de L'Hôpital
Este documento describe diferentes formas indeterminadas que surgen al calcular límites, como 0/0, ∞/∞, 0·∞, y presenta la regla de L'Hôpital como una herramienta para evaluar dichos límites indeterminados. Explica cómo aplicar la regla de L'Hôpital para transformar las formas indeterminadas en formas determinables como 0/0 o ∞/∞. También cubre el uso de logaritmos para resolver formas indeterminadas como 1∞, 00 y ∞0.
Semana 12
Este documento describe las aplicaciones de la derivada para analizar funciones, incluyendo criterios para determinar si una función es creciente o decreciente, puntos de máximos y mínimos locales usando la primera y segunda derivada, concavidad y puntos de inflexión. También presenta un procedimiento para realizar un análisis completo de funciones.
Tasas relacionadas
El documento presenta una introducción a los problemas de tasas relacionadas y cómo calcular la razón de cambio de una cantidad en términos de la razón de cambio de otras cantidades. Explica la estrategia para resolver este tipo de problemas en 6 pasos e ilustra el proceso con 3 ejemplos numéricos, incluyendo el cálculo de la razón de cambio del radio de un globo inflándose, la distancia cambiante entre dos corredores y la velocidad a la que sube el nivel de agua en un depósito cónico.
Regla de cadena
El documento explica las reglas para derivar funciones implícitamente y mediante logaritmos. La regla de la cadena establece que si y = f(u) y u = g(x), entonces dy/dx = (dy/du) * (du/dx). Se proveen ejemplos de aplicar esta regla y la derivación implícita para funciones definidas por ecuaciones.
Regla de cadena
El documento explica el concepto de derivada de funciones compuestas utilizando la regla de la cadena. También cubre la derivación implícita y la derivación logarítmica. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos métodos para calcular derivadas.
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Antiderivadas
- 2. ANTIDERIVADAS Cristian Camilo Penagos Torres Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. ANTIDERIVADAS ANTIDERIVADAS Una funci´on F es una antiderivada de f en un intervalo I si F (x) = f(x) para toda x en I. EJEMPLO Una antiderivada de f(x) = 3x2. Como la derivada de F(x) = x3 es F (x) = 3x2, se puede decir que F(x) = x3 es una antiderivada para f, pero tambien podr´ıa servir x3 + 1, o x3 + 2 como antiderivada para f.
- 4. ANTIDERIVADAS TEOREMA Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada m´as general de f en I es F(x) + C, donde C es una constante arbitaria. El teorema anterior, garantiza que las antiderivadas de una funci´on f en un intervalo I es una familia de funciones de la forma F(x) + C, es decir, todas las gr´aficas de las antiderivadas de una funci´on difieren en una constante.
- 5. ANTIDERIVADAS TABLA DE ANTIDERIVADAS INTEGRAL INDEFINIDA El conjunto de todas las antiderivadas de f es la integral indefinida de f con respecto a x y se denota f(x) dx El s´ımbolo es un signo que representa la integral. La funci´on f es el integrando, y x es la varible de integraci´on.