Este documento describe las aplicaciones de la derivada para localizar valores máximos y mínimos de una función. Explica los conceptos de extremos absolutos y locales, y presenta el Teorema del Valor Extremo, el Teorema de Fermat y el Teorema del Valor Medio para determinar valores extremos. Además, define el concepto de punto crítico y ofrece un ejemplo numérico para ilustrar los pasos para encontrar valores máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo cerrado.

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA
Cristian Camilo Penagos Torres
Mag´ıster en Docencia
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. APLICACIONES DE LA DERIVADA
En esta secci´on se aprender´a c´omo la derivada ayuda a localizar e identificar
los valores m´aximos y m´ınimos de una funci´on. A menudo, muchos
problemas en la pr´actica exigen el mejor resultado posible para una situaci´on,
la derivada proporciona este resultado.

4. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
EXTREMOS ABSOLUTOS
Sea f una funci´on con dominio D. Decimos que f tiene un valor m´aximo
absoluto en D en un punto c si
f(x) ≤ f(c) ∀x ∈ D
y un valor m´ınimo absoluto en D en un punto c si
f(x) ≥ f(c) ∀x ∈ D
EJEMPLO
Figura 1.
Tomada de Zill (2011)

5. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
M ´AXIMO /M´INIMO LOCAL
Una funci´on f, definida en un conjunto S tiene m´aximo relativo en un punto
c ∈ S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene a c tal que
f(x) ≤ f(c), para todo x situado en I ∩ S
El concepto de m´ınimo relativo se define del mismo modo con la
desigualdad invertida.
EJEMPLO
Figura 2. M´aximos y m´ınimos locales
Tomada de Thomas (2010)

6. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor
m´aximo absoluto f(c) y un valor m´ınimo absoluto f(d) en algunos n´umeros
c, d ∈ [a, b].
Figura 3.
Tomada de Stewart (2012)

7. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
TEOREMA DE FERMAT
Si f tiene un m´aximo o un m´ınimo local en c, y si f (c) existe, por lo tanto
f (c) = 0
Figura 4.
Tomada de Stewart (2012)

8. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
NOTA
La siguiente muestra un punto x = 0
donde f (0) = 0 pero no
necesariamente hay un m´aximo o un
m´ınimo.
Figura 5.
Tomada de stewart (2012)
Adem´as, podr´ıa existir extremos
relativos a´un cuando f (c) no exista.
Ver figura
Figura 6.
Tomada de Stewart (2012)
El teorema de Fermat sugiere que, se
debe empezar a buscar los valores
extremos de f en los n´umeros c
donde f (c) = 0 o donde f (c) no
exista.

9. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
PUNTO CR´ITICO
Un n´umero cr´ıtico de una funci´on f es un n´umero c en el dominio de f tal
que f (c) = 0 o f (c) no existe.
TEOREMA
Si f tiene un m´aximo o m´ınimo local en c, entonces c es un n´umero cr´ıtico
de f.
DETERMINACI ´ON DE EXTREMOS EN UN INTERVALO CERRADO
Para hallar los valores m´aximos y m´ınimos absolutos de una funci´on continua
f sobre el intervalo cerrado [a, b]:
1. Se encuentra los puntos cr´ıticos de f en (a, b).
2. Encuentre los valores de f en los n´umeros cr´ıticos de f en (a, b).
3. Halle los valores de f en los extremos del intervalo [a, b].
4. El m´as peque˜no de estos valores es el m´ınimo. El m´as grande es el
m´aximo.

10. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
EJEMPLO
Calcule los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de la funci´on
f(x) = x3
− 3x2
+ 1, −
1
2
≤ x ≤ 4
1. Encontremos los puntos cr´ıticos
de f en el intervalo [−1
2, 4]
f (x) = 3x2
− 6x
= 3x(x − 2)
f (x) = 0 si x = 0, x = 2
2. f(0) = 1
f(2) = −3
3. f −1
2 = 1
8
f(4) = 17
4. De acuerdo con el paso 2 y 3, se
puede decir que el valor m´aximo
absoluto de f es 17, y se alcanza
en el extremo derecho del
intervalo, en x = 4. El valor
m´ınimo absoluto es -3 y se
alcanza en el punto interior x = 2.

11. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo
abierto (a, b), entonces existe un n´umero c ∈ (a, b) tal que
f (c) =
f(b) − f(a)
b − a
Figura 7.
Tomada de Zill (2011)

12. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
EJEMPLO
Sea f(x) = x3 − x en el intervalo [0, 2]. Dado que cumple las condiciones del
teorema del Valor Medio, se tiene:
f(x) = x3
− x
f (x) = 3x2
− 1
f (c) =
f(2) − f(0)
2 − 0
f (c) =
6
2
= 3
f (c) = 3
3c2
− 1 = 3
c2
=
4
3
c = +
2
√
3

13. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
REFERENCIAS
Stewart, J. (2012). C´alculo de una variable, trascendentes tempranas.
M´exico: Cengage Learning.
Thomas, G. (2010). C´alculo de una variable. M´exico: Pearson.
Zill, D. (2011). Matem´aticas 1, C´alculo Diferencial. M´exico:
McGraw-Hill.