Este documento introduce las relaciones binarias y n-arias, y discute varias formas de representar y operar con relaciones. Explica que las relaciones son conjuntos de pares ordenados y que pueden representarse como listas, matrices u otros métodos. También define los conceptos de dominio, rango e introduce algunas operaciones comunes con relaciones como la inversa, unión, intersección y complemento.

1. INTRODUCCIÓN
Una relación n-aria es un conjunto de n-tuplas. Las relaciones son útiles por muchas razones.
Todas las bases de datos relacionales utilizan relaciones n-arias para el almacenamiento y acceso a
datos. De aquí en adelante la palabra relación, cuando sea utilizada en las secciones siguientes, se
referirá por defecto a las relaciones binarias. Las relaciones binarias son conjuntos de pares y
aparecen en muchos contextos. Existen también muchos métodos para representar relaciones
binarias. Los métodos gráficos son particularmente útiles para visualizar relaciones. Por otra parte es
frecuente que para realizar operaciones matemáticas que incluyan relaciones sea más conveniente
representarlas como matrices. Por supuesto, las relaciones son conjuntos, y los métodos para
representar conjuntos se pueden utilizar también para representar relaciones. Existe cierto número de
operaciones que afectan a las relaciones. De particular importancia, es la composición de dos
relaciones. Además, todas las operaciones disponibles para conjuntos están también disponibles para
relaciones.
Anteriormente, se examino entre conjuntos y propiedades. Se mencionó que todos los conjuntos
corresponden a propiedades en el sentido de que cada propiedad define a un conjunto y cada
conjunto define a una propiedad los predicados y las relaciones n- arias están conectadas de una
manera similar. Todo conjunto de n-tuplas que satisface un cierto predicado n-ario define una
relación, y toda relación n-aria R define el predicado “pertenece a R”. A partir de esto, se sigue que
muchos resultados del cálculo de predicados tienen un equivalente en la teoría de relaciones.
RELACIONES Y SU REPRESENTACION
Formalmente las relaciones binarias pueden definirse como sigue:
Definición: Sean A y B dos conjuntos. Una relación de A en B es cualquier conjunto de pares
B. Si (x,y) Є R, Diremos que x es R-relacionado con y, para expresar que R
(x,y), x Є A e y
es una relación de A en B, escribimos R: A↔ B.
El producto cartesiano A x B se definía antes como el conjunto de todos los pares
(x,y), x A, y B. por consiguiente, una relación R: A↔ B. es siempre un subconjunto de
A x B es en si mismo una relación, la relación universal. La relación universal contiene
todos los pares posibles. El opuesto de la relación universal es la relación vacía, que no
contiene ningún par. Todas las demás relaciones deben estar entre estos dos casos extremos.
Existen muchas maneras de expresar las relaciones. Como las relaciones son conjuntos, uno
puede, por supuesto, utilizar la notación de la lista, la cual enumera todos los elementos de
la relación.

2. Por ejemplo, suponga que A es el conjunto de proveedores y B es el conjunto de productos.
Especialmente, suponga que los proveedores son S1 y S2, y los productos son P1, P2 y P3.
lEntonces, A = {S1, S2} y B = {P1, P2, P3}. Ahora se puede definir una relación C como la
lista de todos los pares (x, y), donde X es un suministrador, y es un producto y x tiene en
existencia al producto y. Por ejemplo, si S1 tiene P1 y P3 y S2 tiene P2 y P3, C es
C = {(S1, P1), (S1, P3), (S2, P2), (S2, P3)}.
DOMINIOS Y RANGOS
Cuando R: A ↔ B es una relación, A se denomina el espacio de dominio, y el rango es
similar a un subconjunto del espacio de rango. Esto es consecuencia de las siguientes
definiciones:
Definición 1.1: Sea R una relación de X a Y. El dominio de R, abreviado por dom R, el
conjunto de todos los elementos x X que aparecen en, al menos, un par (x, y) R. esto
puede expresarse como
dom R = {x | y((x,y) R)}
Definición 1.2: El rango de R, que se abrevia como ran R, es el conjunto de todos los
elementos y Y que aparecen, al menos, en un par (x,y) R. esto puede expresarse como
ran R = { y | x((x,y) R)}
A veces el espacio de dominio y el espacio de rango son idénticos, en cuyo caso, habla de
una relación sobre cierto conjunto.
Por ejemplo, en la relación proveedor-producto, el dominio consta de todos los proveedores
que tiene, al menos, un producto, y el rango consta de todos los productos ofrecidos por, al
menos, un proveedor de la relación. En el par (x,y), x se puede considerar como origen, e y
como destino. Por lo tanto, el dominio consta de todos los orígenes y el rengo de todos los
destinos.
Por ejemplo, Calcular el dominio y el rango de la relación R, que va del conjunto {1, 2, 3,4}
al conjunto { a,b,c,d} y esta dada por
R= {(2, c),(1,d),(3,d),(2,a)}
Solución. El dominio de esta relación es el conjunto de valores que aparecen en primer lugar
en todos los pares de la relación. El conjunto de segundos elementos de los pares similares
proporciona el rango. Esto produce

3. dom R ={1,2,3}, ran R = {a,c,d}
ALGUNAS OPERACIONES DE RELACIONES
Con toda relación R de X a Y, se puede asociar una relación inversa R˜ de Y a X.
Esencialmente, la relación inversa tiene el par (y,x), donde la relación original tiene el (x,y),
como se indica en la siguiente definición:
Definición: Si R: X↔ Y es una relación, entonces la relación inversas R˜ :Y ↔ X se define
como { (y,x)│(x,y)R}. por consiguiente, xRy ≡ yR˜ x.
Todas las relaciones de conjunto pueden aplicarse a las relaciones. Los conjuntos resultantes
contienen pares ordenados y son, por tanto, relaciones. Si R y S denotan dos relaciones,
entonces R∩S define una relación tal que
x(R∩ S)y ≡ xRy ۸ xSy
de modo similar, RUS es una relación tal que
x(RUS)y ≡ xRy ۸ xSy
Ademas,
x(R - S)y ≡ xRy ۸ xSy
y
x(~R)y ≡ xRy
ejemplo: Sean R: X ↔ Y y S: U↔ V dos relaciones. Los espacios de dominio son
X ={a,c,d} y U ={a,b}, y los espacios de rango son Y ={A,B,C} y V ={B,C}. Ademas,
R ={ (a,A),(a,B),(b,C)} y S ={ (a,B),(b,C)}. calcular ~S, R U S,R∩ S,y R – S.
Solución: El complemento de S consta de todos los pares del producto cartesiano U x V
que no están en S. esto produce

4. ~S ={ (a,C), (b,B)
Para R U S,R ∩ S,y R – S, se tiene
R U S={ (a,A),(a,B),(b,C)}
R ∩ S={(a,B),(b,C )}
R – S ={(a,A)}