Este documento proporciona un resumen de los parámetros de los principales modelos probabilísticos. Explica conceptos como momento, media, mediana, moda, varianza, coeficiente de variación y sesgo. Luego resume los parámetros de los modelos probabilísticos obtenidos mediante el método de momentos. Aprender estos parámetros mejora la aplicación de los modelos probabilísticos.

1. RESUMEN DE LOS PARAMETROS DE LOS PRINCIPALES MODELOS
PROBABILISTICOS
RESUMEN: el objetivo de este trabajo es la determinación del resumen de los
parámetros de los principales modelos probabilísticos, para lo cual se obtiene
empleando el método de momentos. Los resultados muestran los parámetros
de los modelos probabilísticos. El hecho de aprender estos parámetros de los
modelos probabilísticos mejora sustancialmente la aplicación de dichos
modelos probabilísticos.
PALABRAS CLAVE: parámetros, modelo probabilístico, método de momentos.
1. INTRODUCCION.
El aprendizaje de los parámetros de los principales modelos probabilísticos
tiene especial importancia en realizar un modelo probabilístico en hidrología
estadística.
2. OBJETIVOS.
OBJETIVO GENERAL.
Realizar el resumen de los parámetros de los principales modelos
probabilísticos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS.
 Realizar búsqueda en diferentes bibliografías sobre modelos
probabilísticos.
 Seleccionar la información adecuada y necesaria.

2. 3. MARCO TEORICO.
3.1. MOMENTO DE UNA DISTRIBUCIIN
3.1.1. MOMENTO RESPECTO AL ORIGEN.
SI 𝑔( 𝑥) = 𝑋 𝐾
donde K =1,2, 3…, se define el momento K-esimo ,µ,k, respecto
al origen como
µ´, k =𝐸( 𝑥 𝑘) = ∑ 𝑥 𝐾
𝑓( 𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑡𝑎 ………………………………(1)
µ´, k =𝐸( 𝑥 𝑘) = ∫ 𝑥 𝐾+∞
−∞
𝑓( 𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 …… … …… … …. . (2)
si k=1, se tiene el momento de 1er orden respecto al origen así
3.1.2. variable discreta
 µ´1 =∑ 𝑥 𝑓( 𝑥)………………………..(3)
 µ´1 = E(x) = µ…………………….. (4)
3.1.3. Variable continua
µ´1 =∫ 𝑥𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = µ
+∞
−∞
…………… (5)
así por lo tanto el primer momento respecto al origen es la media µ
si K=2, se tiene el momento de 2° orden respecto al origen, así
µ´2=∑ 𝑥2
𝑓( 𝑥) 𝑜 µ´2 = ∫ 𝑥2+∞
−∞
𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥…………………….. (6)
si k=3, se tiene el momento de 3er orden respecto al origen, así:
µ´3 =∑ 𝑥3
𝑓(𝑥) o µ´3 =∫ 𝑥3
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
−∞
…………………….. (7)

3. 3.2. MOMENTO CENTRAL CON RESPECTO A LA MEDIA
SI 𝑔( 𝑥) = (𝑋 − 𝑢) 𝐾
donde K =1,2, 3…, se define el momento central K-esimo
,µ,k, respecto a la media µ, como :
µ𝑘 = 𝐸(( 𝑥 − 𝑢) 𝑘) = ∑( 𝑥 − 𝑢) 𝑘
𝑓( 𝑥) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂… … ..……………………..
(8)
µ𝑘 = 𝐸(( 𝑥 − 𝑢) 𝑘) = ∫ (𝑥 − 𝑢) 𝑘+∞
−∞
𝑓( 𝑥) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂… ..…………………... (9)
 si k =, se tiene el 1er momento central
 2.1 variable discreta
µ1 = ∑(𝑥 − 𝑢) 𝑓( 𝑥) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂… ..…………………... (10)
 2.2 variable continua
µ1 = ∫ (𝑥 − 𝑢)1+∞
−∞
𝑓( 𝑥) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂…..…………………... (11)
si µ1 existe debe ser igual a 0
si k=2, se tiene el 2° momento central
µ𝟐 = ∑( 𝒙 − 𝒖) 𝟑
𝒇(𝒙) 𝒐 µ𝟐 = ∫ ( 𝒙 − 𝒖) 𝟐+∞
−∞
𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙
… ..…………………... (12)
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 , 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟
𝝈 𝟐
= 𝑽( 𝑿) = 𝑬( 𝑿 − 𝝁) 𝟐) = 𝝁 𝟐 … ..…………………... (13)
Si k =3, se tiene el 3er momento central
𝜇3 = ∑( 𝑥 − 𝑢)3
𝑓( 𝑥) 𝑜 𝑢3 = ∫ ( 𝑥 − 𝑢)2+∞
−∞
𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 …..…………………... (14)
3.3. MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN
El valor medio o media de una distribución µ, es el esperado variable X o
momento de 1er orden con respecto al origen, proporciona una idea del lugar
donde están concentrados los valores que toma la variable X, es decir

4.  µ = 𝐸( 𝑋) = ∑ 𝑋. 𝑓( 𝑥) 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 ………………... (15)
 µ = 𝐸( 𝑋) = ∫ 𝑥
+∞
−∞
𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑋 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 ………………... (16)
3.4. MEDIANA
Si X es una variable y F(x) u función de distribución acumulada, la solución X
de la ecuación
F(X)=0.5
Recibe el nombre de mediana de la variable aleatoria X(o de la distribución)se
puede representar en la forma gráfica como
3.5. MODA
La moda es el valor de ocurrencia más frecuente. Así la moda de la población
es el valor de X que maximiza f(x-9 y que satisface la ecuación:
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑(𝑋)
= 0 𝑦
𝑑2
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥2 < 0 par x continua………………... (17)
O el valor de x asociado con
𝑀𝐴𝑋𝑓(𝑥 𝑖)𝑖=1
𝑛
para X discreta………………... (18)
3.6. VARIANZA DE UNA DISTRIBUCION
La varianza de una distribución 𝜎2
es el segundo momento central respecto a
la media ,mide la variabilidad alrededor de la media es decir , expresa
cualitativamente la dispersión que hay alrededor de la media , se representa
como :
𝜎2
= 𝑉( 𝑋) = ∑( 𝑋 − 𝜇)2
𝑓( 𝑥) = 𝐸(( 𝑥 − 𝜇)2
) para x discreta ………………... (19)
𝜎2
= 𝑉( 𝑋) = ∑ ∫ ( 𝑋 − 𝜇)2
𝑓( 𝑥) = 𝐸(( 𝑥 − 𝜇)2+∞
−∞
) para x continua ……... (20)

5. A la raíz cuadrada positiva de la varianza, se le llama desviación estándar y se
designa por 𝜎 es decir
𝜎 = √ 𝑉(𝑋) ………………... (21)
3.7. COEFICIENTE DE VARIACION
El coeficiente de variación 𝐶 𝑣 , es una medida de dispersión y se define como el
coeficiente entre la desviación estándar y la media
𝐶 𝑣 =
𝜎
𝜇
………………... (22)
3.8. SESGO DE UNA DISTRIBUCIÓN
el sesgo de una distribución 𝛾, es una medida de asimetría de las
distribuciones y se representa por la siguiente relación:
𝛾 =
𝑢3
𝜎3
=
𝐸(( 𝑥 − 𝜇)3
)
𝜎3
…… … …… … . . . (23)
4. METODOLOGIA.
 Revisamos bibliografía sobre modelos probabilísticos.
 Luego para complementar dicho trabajo realizamos búsqueda en internet.
 Una vez encontrado la información necesaria procedemos a realizar el
resumen de los parámetros de los principales modelos probabilísticos.
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

6.  Logramos encontrar información necesaria sobre modelos
probabilísticos.
 Logramos seleccionar la información precisa.
 Realizamos el resumen de los parámetros de los principales métodos
de modelos probabilísticos.
Se recomienda utilizar diferentes tipos de bibliografías para así poder
complementar información, ya que nos permitiría realizar una mejor
síntesis del tema de modelos probabilístico.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.