El documento explica cómo dividir un segmento de recta en una razón dada y encontrar el punto medio de un segmento. Para dividir un segmento en una razón dada, se utilizan fórmulas que relacionan las coordenadas del punto de división con las coordenadas de los extremos del segmento y la razón dada. El punto medio de un segmento es un caso especial donde la razón es 1, y sus coordenadas son la media aritmética de las coordenadas de los extremos. El documento proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. Geometría analítica Tema 2 División de un segmento en una razón dada Y punto medio de un segmento

2. División de un segmento en una razón dada Si C 1 (x 1 , y 1 ) y C 2 (x 2 , y 2 ) son los extremos de un segmento de recta, y además un punto C(x, y) divide a tal segmento en una razón dada por la expresión que se muestra a continuación, se puede decir que las coordenadas del punto C están dadas por:

3. Demostración Considere la figura Por triángulos semejantes Factorizando Finalmente se tiene: Al despejar x

4. Análogamente para y Que corresponde a las coordenadas del punto C(x, y) Ejemplo : Encuentre la pareja de coordenadas de un punto A , que divide al segmento determinado por E (-1, 6) y F (3, -3) en la razón r = ¾.

5. Solución La coordenada x , según la expresión Análogamente para la coordenada y , Las coordenadas del punto A serán

6. Punto medio de un segmento de recta Un caso particular que encontramos, es cuando r=1, en las ecuaciónes: Que se conoce como punto medio Dichas ecuaciones se reducen a lo siguiente:

7. Ejemplo: Determina las coordenadas del punto medio del segmento comprendido por los puntos C(3, 6) y D(-4, -2). Solución: Identificando al punto C como punto inicial se tiene: Por lo tanto las coordenadas del punto medio son:

8. Ejercicio 1: Con lo que sabes hasta ahora, puedes ayudar al herrero Abundio a fabricar una escalera. Abundio quiere que la escalera mida tres metros de largo, y desea colocarle nueve peldaños. ¿Cómo determinarías a qué distancia debe poner cada peldaño si el tramo de material está en posición horizontal como se muestra en la figura?

9. Solución Tomamos x 1 =0 y x 2 =3. Sustituyendo valores Como Para determinar la distancia a la cual se debe colocar cada peldaño lo que se hace es restar de la longitud total del material el valor obtenido de x . Por tanto cada peldaño lo debe colocar a 0.3 m de separación.

10. Ejercicio 2: Un albañil se dispone a trazar y construir una escalera, la cual debe tener seis escalones en un espacio definido como el que se muestra en la figura, cómo ayudarías al albañil a determinar las dimensiones de la plantilla y altura de la misma.

11. Solución La forma más práctica de poder ayudarlo sería el concepto de división de segmento en una razón dada, que de acuerdo con lo observado en la figura tendría la siguiente forma para obtener el valor de la plantilla.

12. En forma semejante para determinar la altura Para comprobar que las mediciones obtenidas son las correctas se hace a través de los productos: