Este documento describe el movimiento armónico simple. Explica que es un movimiento periódico y oscilatorio alrededor de una posición de equilibrio. Define los elementos clave como el periodo, amplitud, frecuencia y frecuencia angular. También presenta las ecuaciones del movimiento armónico simple y la ley de Hooke, así como el cálculo del periodo, energía cinética, energía potencial y energía total.

1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

2. -Introducción
-La proyección de un movimiento armónico simple
-Elementos del Movimiento Armónico Simple
-Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple
-Ley de Hooke
-Periodo de Oscilación
-Energía del Oscilador
CONTENIDOS TEMÁTICOS

3. INTRODUCCIÓN
Movimiento periódico: se
repiten a intervalos iguales de
tiempo.
Movimiento oscilatorio: es un
movimiento periódico de vaivén
respecto de una posición
central, llamada posición de
equilibrio.

4. Un cuerpo tiene movimiento vibratorio armónico simple si
en intervalos de tiempo iguales pasa por el mismo punto
del espacio siempre con las mismas características de
posición velocidad y aceleración.

5. LA PROYECCIÓN DE UN MOVIMIENTO
CIRCULAR SOBRE UN EJE
RADIO VECTOR
Un cuerpo que se mueve en una circunferencia en sentido
contrario a las agujas del reloj el ángulo que forma el radio
con el eje x va cambiando . Este radio se puede proyectar
sobre el eje Y.

6. ELEMENTOS DEL MOV. ARMONICO SIMPLE
Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación
completa.
Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones
f = 1/T
completas efectuadas en la unidad de tiempo.
Elongación: en un instante dado es la posición de la partícula
respecto de la posición de equilibrio.
Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación.
Frecuencia angular(ω): ω = 2πƒ

7. Movimiento Armónico Simple

8. Ecuaciones de la posición del Mov. MAS
ω t + ϕ :es la fase, cuya unidad en S.I es el
RADIÁN
ϕ : es la fase inicial (t = 0)
x = A cos(ω t +ϕ) x = A sin(ω t +ϕ)

9. Ecuaciones de la posición del Mov. MAS
Si x = A sin ωt
v= dx/dt = A ω cos ωt
a= dv/dt= -A ω2
sin ωt
a = - ω2
x
22
xAv −±= ω

10. Para x>0, F =-kx
Para x<0, F =kx
LEY DE HOOKE: Define el comportamiento del muelle para un
oscilador armónico.
La fuerza restauradora de un muelle es directamente
proporcional a su deformación.
Fm = -k x

11. Periodo de las Oscilaciones
Tomando a= - ω2
x ; tenemos que SU FRECUENCIA ANGULAR y
PERIODO son respectivamente:
El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo no depende de la
amplitud de las oscilaciones.
En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza
restauradora del muelle:
Fm = m a - k x = m a
T = 2π m / km
k
=ω

12. ENERGIA CINETICA
Aquella capacidad que poseen los cuerpos para
realizar trabajo en función de su movimiento.
Ec = 1/2 mv2
Ec = 1/2 k (A2 –x2 )

13. La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza conservativa,
porque el trabajo que realiza un muelle no depende del
camino seguido.
FUERZAS CONSERVATIVAS

14. Esta energía, depende de las posiciones de las partículas
que forman el sistema.
En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía
potencial elástica; por supuesto cuanto mayor sea la
compresión del muelle mayor es la energía.
ENERGIA POTENCIAL
Epelástica = ½ K x2

15. ENERGÍA POTENCIAL DE OSCILADOR
ARMONICO
xdxwmFdxE
B
A
B
Ap
2
∫∫ −−=−=
∫ 





=
B
A
B
A
x
mwxdxmw
2
2
22
22
22
ab
p
x
K
x
KE −=

16. REFERENCIA DE ENERGÍA POTENCIAL
Se toma como referencia, energía potencial cero
aquella donde x = 0

17. ENERGÍA TOTAL DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE
22
2
1
2
1
kxmvET +=

19. M.A.S. angular
La frecuencia angular y frecuencia vienen dadas por:
Un resorte espiral ejerce un momento de torsión
de restitución proporcional al desplazamiento
angular respecto de la posición de equilibrio.
τ = -K Θ
El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)

20. Movimiento Periódico Movimiento Armónico

21. POSICIÓN VERSUS TIEMPO

22. VELOCIDAD VERSUS TIEMPO

23. ACELERACION VS TIEMPO

24. Posición, velocidad y aceleración vs tiempo

25. Descripción del Movimiento Armónico Simple

26. M.A.S. vertical
Colgamos una masa del extremo libre
de un resorte vertical y se deja
descender suavemente; comienza a
oscilar de forma vertical, hasta que el
sistema alcanza el equilibrio.
Fuerza recuperadora -> F=kl
En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl
k=mg/l -> f= 1/2 π k/m

27. Ejemplo: Ecuaciones del péndulo simple
x = A cos (ωt + φ) = A cos (2πƒt + φ)
x = A sen(ωt + β) = A sen (2πƒt + β)
Periodo del péndulo:
T = 2π L / |g|

28. θ
(grado
s)
θ
(radian
es)
Sen θ Diferenc
ia (%)
0 0,0000 0,0000 0,00
2 0,0349 0,0349 0,00
5 0,0873 0,0872 0,11
10 0,1745 0,1736 0,52
15 0,2618 0,2588 1,15
20 0,3490 0,3420 2,01
25 0,4363 0,4226 3,14

29. EJERCICIOS
1.-Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS
con un periodo de 4 segundos. Calcular: a) Su elongación,
es decir su posición a los 3.6 segundos. b) Su velocidad a
los 3.6 segundos. c) Su velocidad máxima. d) su
aceleración máxima.
Datos Fórmulas
r = 0.15 m F = 1/T
T = 4 seg a) Y = r cos 2 π F t
a) Y 3.6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F t
b) v 3.6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.
c) V máx = ¿ d) a max = - 4 π 2
F2
Ymáx
d) a máx= ¿

30. Sustitución y resultados:
F = ¼ s = 0.25 ciclos/s
a) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 3.6 s = 0.15 m x 5.65
radianes. 5.65 rad x 57.3°/ 1 rad =323.86°.
cos 323.86° = cos (360° - 323.86°) = cos 36.14° = 0.8073
Y 3.6 s = 0.15 m x 0.8073 = 0.12 metros.
b) V 3.6 s = -2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 323.86°
sen 323.86° = - sen (360°-323.86°) = - sen 36.14 = - 0.5901.
V 3.6 s = -0.236 m/s x – 0.5901 = 0.14 m/s
c) V max = - 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 90° = - 236
m/s
d) a max = - 4 (3.14)2 (0.25 ciclos/s)2 (0.15 m) = - 0.37 m/s2
.

31. 2. Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si
su longitud es de 40 cm,
Datos Fórmulas
Sustitución
l = 40 cm = 0.40 m T = 2 π √ l/g T = 2 x 3.14 √0.4 m/
9.8 m/s2
T = 1.27 s
F = 1/T F = 1/1.27 s = 0.79 ciclos/s
g = 9.8 m/seg2.
T = ¿
F = ¿

32. GRACIAS