Introducción a Sistemas axiomáticos: * Propiedades de números reales * Postulados principales de Geometría Euclidiana.

1. INSTITUTO DE FORMACION DOCENTE
CONTINUA DE VILLA MERCEDES
PROFESORADO EN EDUCACION
SECUNDARIA DE MATEMATICA

2. Sistema axiomático
Conjunto de afirmaciones
denominados axiomas o postulados
que cumplen tres requisitos:
• Los axiomas no deben conducir a
resultados contradictorios.
• Ningún axioma se debe poder deducir de
otro.
• Los axiomas no deben ser contradictorios
entre sí.

3. Cada vez que demostramos un
teorema o una afirmación
podemos agregarlo a nuestro
arsenal de afirmaciones con que
demostraremos otros resultados

4. Los resultados que demostraremos son:
• Un Lema es un resultado auxiliar, un paso en la
demostración de distintos teoremas.
• Una Proposición es un resultado intermedio.Puede ser
una consecuencia directa de una definición
• Un Teorema es un resultado importante, una
afirmación verdadera pero no tan inmediata como una
proposición.
• Un Corolario es un resultado que se demuestra de
inmediato a partir de un teorema. Suele ser un caso
particular de una situación mucho más amplia, que si
bien está contenido en el resultado del teorema,
conviene aislar.

5. Postulados Principales
• P1: Una recta contiene cuando menos dos puntos ; un plano
contiene cuando menos tres puntos, no todos en línea recta; el
espacio contiene cuando menos cuatro puntos, no todos en un
plano.
• P2: Existe una recta solo una que pasa por dos puntos diferentes.
• P3: Existe un plano y solo uno que pasa por tres puntos que no
están en línea recta.
• P4: Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que los
contiene se encuentra también en el mismo plano.
• P5: Si dos planos diferentes se intersectan, entonces sus
intersección es una recta.
• P6: Entre dos puntos cualquiera existe una distancia, y solo una.

6. Postulados Principales
• P7: Los puntos en la recta pueden ser puesto en correspondencia
biunívoca con los números reales de manera que:
– A cualquier punto puede corresponder el cero
– La distancia entre dos puntos cualesquiera es igual al valor
absoluto de la indiferencia entre los números correspondientes.
• P8: A cada ángulo le corresponde un número real único mayor que 0
y menor que 180, o igual.
• P9: El conjunto de rayos con un punto extremo común en la frontera
de un semiplano puede ser puesto en correspondencia biunívoca con
los números reales de 0 a 180, ambos inclusive, de tal manera que:
– Cualquiera de los dos rayos en la frontera del semiplano puede
corresponder con 0;
– Cualquier ángulo formado por dos rayos del conjunto dado tiene
una medida igual al valor absoluto de la diferencia entre los
números que corresponden a sus lados. (Postulado del
transportador)

7. Propiedades de los números reales

8. Propiedad de orden
Dados dos números reales a y b,
entre ellos sólo se puede cumplir
una de estas tres afirmaciones:
a > b, a = b o a < b

9. Un factor que da cero como
producto
•

10. Adición
•

11. Multiplicación

12. Propiedades de la igualdad

13. Propiedades de la desigualdad

14. Resolver las actividades: 2-4-7-
8-9-11-12-13 al 16 de las
páginas 101-102 del libro
“Geometría Moderna,
estructura y método”.

15. LA DEMOSTRACIÓN DE UN TEOREMA
Consiste de seis partes
esenciales que siguen el
siguientes orden

16. 1.Proposición
El enunciado
completo, por escrito
del teorema

17. 2.Figura de análisis
Una figura en la que se
indican con letras y números
todos los elementos
importantes

18. 3.Dado
Todas las condiciones dadas
expresadas en términos de
términos de las letras y
números usados en la figura
de análisis

19. 4.Demostrar
Todas las conclusiones
expresadas en términos
de las letras y números
usados en la figura de
análisis

20. 5.Procedimiento
Breve descripción del
plan que se aplicará en la
demostración

21. 6.Demostración
Sucesión de proposiciones
numeradas paralelamente a
otra sucesión de razones o
justificaciones, también
numeradas, que conducen a la
conclusión buscada.