Sistemas de numeración

1. Informe Del Proyecto
Sistemas, Representaci´on y Conversiones Num´ericas
Fundamentos de las Ciencias de la Computaci´on
Escuela Polit´ecnica Nacional
Ingenieria en Sistemas
A˜nasco Loor Cesar Washington
Apolo Romero Claribel Margarita
Defaz Guachamin Cristian Vinicio
Oviedo Moreno John Danilo
27 de julio de 2015
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2. ´Indice
1. Sistemas de numeraci´on: 3
2. Sistemas de numeraci´on Binario: 5
3. Sistemas de numeraci´on Octal: 5
4. Sistemas de numeraci´on Hexadecimal: 6
5. Conversi´on del sistema decimal al sistema binario. 7
6. Conversi´on del sistema binario al sistema decimal. 8
7. Conversi´on del sistema binario al sistema octal. 8
8. Conversi´on del sistema octal al sistema binario. 9
9. Conversi´on del sistema binario al sistema hexadecimal. 10
10.Conversi´on del sistema hexadecimal al sistema binario. 10
11.Conversiones entre diferentes bases. 11
12.Conversiones de Bn a B10: 13
13.Conversiones de B10 a Bn: 14
14.Conversiones de bases arbitrarias Bn a Bm: 15
15.Representaci´on de los enteros en el computador: 17
16.Representaci´on de los reales en el computador: 18
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3. 1. Sistemas de numeraci´on:
Del simple hecho de que los n´umeros sean infinitos a surgido la ne-
cesidad de nombrarlos y escribirlos con un corto numero de palabras o
signos,para facilitar su conocimiento, as´ı como el de las leyes que rigen su
composici´on y descomposici´on,dando origen a lo que se conoce como Nu-
meraci´on y que se define diciendo que es el arte de formar y representar
n´umeros. Un sistema de numeraci´on es un conjunto de s´ımbolos y reglas
que permiten representar datos num´ericos.
Siendo convencionales los principios en que se funda la denominaci´on y
representaci´on de los n´umeros,f´acilmente se comprende que habr´an di-
ferentes maneras de hacerlo,y de aqu´ı el origen de los diferentes siste-
mas de numeraci´on,entendi´endose bajo este nombre el conjunto de le-
yes,palabras y signos destinados a la enunciaci´on y representaci´on de los
n´umeros.
Los n´umeros pueden representarse en diversos sistemas de numeraci´on
posicionales o ponderados que se caracterizan por asignar a cada n´umero
un conjunto de s´ımbolos o cifras cada una de las cuales tiene asignado un
peso.
Se diferencian por la base, que es el n´umero de s´ımbolos distintos utiliza-
dos para la representaci´on de las cantidades en el mismo. La base diez o
decimal, es el sistema de numeraci´on utilizado en la vida cotidiana, pero
no es el ´unico.
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4. El sistema de numeraci´on de uso com´un, conocido como sistema decimal
o base 10, utiliza diez d´ıgitos (0, 1, ..., 9) para representar n´umeros. El
sistema decimal es posicional porque el valor de un n´umero se obtiene
multiplicando cada d´ıgito por la potencia de 10 que le corresponde a la
posici´on del d´ıgito dentro del n´umero. La potencia se encuentra asignando
la posici´on cero al d´ıgito que est´a a la izquierda del punto decimal y luego
numerando el resto de los d´ıgitos, ascendentemente hacia la izquierda y
descendentemente hacia la derecha.
De la misma forma se pueden representar n´umeros en otros sistemas de
numeraci´on. En el dise˜no de sistemas digitales los sistemas de numeraci´on
m´as utilizados, adem´as del sistema decimal, son el sistema binario o base
2,el sistema octal o base 8 y el sistema hexadecimal o base 16. Cada uno
de estos sistemas se presentar´a a continuaci´on.
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5. 2. Sistemas de numeraci´on Binario:
Un sistema binario utiliza ´unicamente dos d´ıgitos para representar cual-
quier cantidad,veamos a continuaci´on como podemos representar estas
cantidades y vamos a compararlas con el sistema decimal como referen-
cia.
3. Sistemas de numeraci´on Octal:
Este sistema numerico tiene una base de 8 digitos con los cuales se
puede representar cualquier cantidad;en la siguiente tabla podemos ver
los equivalentes entre el sistema decimal,binario,octal.
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6. 4. Sistemas de numeraci´on Hexadecimal:
El sistema de numeraci´on hexadecimal es un sistema de base 16. Igual
que en el sistema decimal, cada vez que ten´ıamos 10 unidades de un de-
terminado nivel, obten´ıamos una unidad del nivel superior (diez unidades:
una decena, diez decenas: una centena, etc.) en el hexadecimal cada vez
que juntamos 16 unidades de un nivel obtenemos una unidad del nivel
superior. En un sistema hexadecimal debe haber por tanto 16 d´ıgitos dis-
tintos.
Como s´olo disponemos de diez d´ıgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) nece-
sitamos ampliar esa cantidad y se hace mediante letras, con la siguiente
relaci´on en sistema decimal:
Este sistema de numeraci´on es muy utilizado en inform´atica porque sim-
plifica la expresi´on binaria de los objetos. En Inform´atica se utiliza el byte
como unidad b´asica de informaci´on. Un byte est´a compuesto de 8 bits, es
decir, un conjunto de ocho ceros y unos. Por eso, con un byte se puede
codificar desde el 000000002 hasta el 111111112. Es decir,
000000002 = 0×27
+0×26
+0×25
+0×24
+0×23
+0×22
+0×21
+0×20
= 0
111111112=1 × 27
+ 1 × 26
+ 1 × 25
+ 1 × 24
+ 1 × 23
+ 1 × 22
+ 1 × 21
+
1 × 20
=128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 2 + 1=255.
Por lo tanto con un byte podemos representar 256 valores, desde el 0
hasta el 255.Pero para ello necesitamos 8 d´ıgitos. La ventaja del sistema
hexadecimal es que para representar los mismos valores s´olo necesitamos
2 d´ıgitos.
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7. 5. Conversi´on del sistema decimal al sistema binario.
Para encontrar el equivalente binario de una cantidad debemos dividir
a esta sucesivamente por 2.Tenemos por ejemplo que queremos dividir el
numero 12 en su correspondiente binario, para ello realizamos lo siguiente:
Iniciamos con el numero 12,al dividirlo por 2 nos toca a 6(cociente) y nos
sobra 0 (residuo).Bajamos el cociente y volvemos a dividirlo por dos,en
este caso nos toca a 3 y nos sobra 0,repetimos el paso anterior y el cociente
nos queda a 1 y nos sobra 1.
Este procedimiento lo repetimos indefinidamente hasta que lleguemos al
caso en que tengamos la divisi´on de 1 entre 2,el cual siempre nos dar´a
como cociente 0 y residuo 1.El numero binario lo obtendremos del residuo
form´andolo de abajo hacia arriba,lo que quiere decir que el numero binario
mas significativo esta en la parte inferior y el menos significativo en la
parte superior del residuo,es decir:
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8. 6. Conversi´on del sistema binario al sistema decimal.
Para llevar acabo esta conversi´on debemos realizar el siguiente proce-
so,cada numero binario deber´a multiplicarse por una cantidad preestable-
cida de acuerdo a a la siguiente tabla:
Por ejemplo: vamos a encontrar el equivalente decimal del numero 1010
binario.De acuerdo a lo anterior debemos multiplicar el numero binario
por 2 aumentado cada vez su exponente en uno y empezando de derecha
a izquierda y sumando al final cada resultado de la multiplicaci´on.
7. Conversi´on del sistema binario al sistema octal.
Cada d´ıgito de un n´umero octal se representa con tres d´ıgitos en el
sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un n´umero entre estos
sistemas de numeraci´on equivale a expandir cada d´ıgito octal a tres d´ıgitos
binarios, o en contraer grupos de tres caracteres binarios a su correspon-
diente d´ıgito octal.
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9. Por ejemplo, para convertir el n´umero binario 1010010112 a octal toma-
remos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
1012 = 58
0012 = 18
0112 = 38
y, de ese modo: 1010010112 = 5138
La ventaja principal del sistema de numeraci´on Octal es la facilidad con-
que pueden realizarse la conversi´on entre un numero binario y octal. Por
medio de este tipo de conversiones, cualquier numero Octal se convierte
a binario de manera individual.
8. Conversi´on del sistema octal al sistema binario.
Teniendo en cuenta las conversiones previamente se˜nalada en la tabla,
sustituimos directamente cada d´ıgito en octal por sus correspondientes
d´ıgitos en binario. Ejemplo:
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10. 9. Conversi´on del sistema binario al sistema hexadecimal.
Para esta conversi´on tenemos que agrupar los d´ıgitos binarios de 4 en 4,
empezando por la derecha en la misma direcci´on que en el paso de binario
a octal (De derecha a izquierda), a˜nadiendo ceros por la izquierda si nos
quedara un grupo con menos de 4 d´ıgitos binarios.
Luego vamos con los datos de la tabla previemanente se˜nalada, y susti-
tuimos cada grupo de 4 d´ıgitos por su correspondiente d´ıgito hexadecimal:
10. Conversi´on del sistema hexadecimal al sistema binario.
La conversi´on de un hexadecimal a binario es la acci´on de la codifi-
caci´on de cada valor hexadecimal a su representaci´on binaria. Un valor
hexadecimal est´a constituido por un n´umero de 0 a 9 o una letra A - F.
Cada valor hexadecimal se puede convertir en un valor binario consistente
de 4 n´umeros que s´olo pueden ser 0 o 1.
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11. 11. Conversiones entre diferentes bases.
Existen diferentes sistemas num´ericos, cada uno de ellos se identifica
por su base.
D´ıgito: Un d´ıgito en un sistema num´erico es un s´ımbolo que no es
combinaci´on de otros y que representa un entero positivo.
Base de un sistema num´erico: La base de un sistema num´erico es
el n´umero de d´ıgitos diferentes usados en ese sistema.
A continuaci´on se ejemplifican estas definiciones con los sistemas num´eri-
cos m´as com´unmente usados que son:
Decimal, utiliza 10 s´ımbolos (d´ıgitos) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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12. Binario, utiliza 2 s´ımbolos (d´ıgitos) : 0, 1
Octal, utiliza 8 s´ımbolos (d´ıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Hexadecimal, utiliza 16 s´ımbolos (d´ıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E, F
U otros con cualquier base:
Terciario (Base 3), utiliza 3 s´ımbolos (d´ıgitos): 0, 1, 2
Cuaternario (Base 4), utiliza 4 s´ımbolos (d´ıgitos): 0, 1, 2, 3
Quinario (Base 5), utiliza 5 s´ımbolos (d´ıgitos): 0, 1, 2, 3, 4
x Senario (Base 6), utiliza 6 s´ımboloos (d´ıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5
Heptal (Base 7), utiliza 7 s´ımbolos (d´ıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Nonario (Base 9), utiliza 9 s´ımbolos (d´ıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
etc.
Notaci´on: Para distinguir entre los diferentes sistemas num´ericos se pue-
de encerrar entre par´entesis el n´umero y se le a˜nade un sub´ındice que
indicar´a la base que se est´a usando.
Sin embargo, si no se usa sub´ındice se deber´a entender que el n´umero
est´a en base diez, a menos que se diga lo contrario.
Existen varios m´etodos para convertir n´umeros de una base a otra.
Como el sistema decimal es el sistema de numeraci´on de uso com´un,
primero se presentan los m´etodos para convertir de base 10 a otra base y
de otra base a base 10. Despu´es se explicar´a la conversi´on entre dos bases
arbitrarias.
Principales:
Binario a Decimal (Base 2 - Base 10)
Decimal a Binario (Base 10 - Base 2)
Decimal a Octal (Base 10 - Base 8)
Octal a Decimal (Base 8 - Base 10)
Decimal a Hexadecimal (Base 10 - Base 16)
Hexadecimal a Decimal (Base 16 - Base 10)
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13. 12. Conversiones de Bn a B10:
Sistema Decimal (Base 10)
Usando los diez s´ımbolos separadamente 0, 1, 2, 3, ..., 9 nos permite
representar el valor de los n´umeros en unidades individuales, pero para
representar mas de nueve n´umeros es necesario combinarlos. Cuando usa-
mos s´ımbolos en combinaci´on, el valor de cada uno de ellos depende de su
posici´on con respecto al punto decimal, designando as´ı un s´ımbolo para
las unidades, otro para las decenas, otro para las centenas, otro para los
millares (de miles, no de mill´on), en adelante.
El s´ımbolo correspondiente a las unidades asume la posici´on mas iz-
quierda antes del punto decimal. Esta designaci´on de posici´on determina
que la potencia del n´umero se corresponde con la distancia en que est´a del
punto decimal, y es por ello que la primera posici´on se llama UNIDAD
(100 = 1). Matem´aticamente esto puede ser representado como:
unidad = 100 decena = 101 centena = 102 Por ejemplo: El valor en
combinaci´on de los s´ımbolos 234 es determinado por la suma de los valo-
res correspondientes a cada posici´on:
2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100
Que equivale a:
2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1
Efectuando las multiplicaciones esto da:
200 + 30 + 4
Cuya suma da como resultado: 234
La posici´on derecha del punto decimal es representada por n´umero en-
teros pero negativos comensando desde -1 para la primera posici´on. Ma-
tem´aticamente las tres primeras posiciones a la derecha del punto decimal
se expresan como:
d´ecimas 10-1 cent´esimas 10-2 mil´esimas 10-3 En un ejemplo como el
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14. anterior, pero mas elaborado podemos ver que el valor 18.947 equivale a:
1x101 + 8x100 + 9x10-1 + 4x10-2 + 7x10-3 =
1x10 + 8x1 + 9x0.1 + 4x0.01 + 7x0.001 =
10 + 8 + 0.9 + 0.04 + 0.007
Para representar un n´umero base diez es posible colocar su valor seguido
de la base en sub-´ındice (18.97410) o bien seguido de la letra d entre
par´entesis: 645(d).
13. Conversiones de B10 a Bn:
¿C´omo pasar de base 10 a otra base (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,..., 16,...)?
Este tipo de conversi´on se utiliza para cambiar un n´umero N de base
10 a cualquier otra base (n). Para ello, se deben realizar dos pasos por
separado:
1.-Convertir la parte entera del n´umero N10, dividi´endola, sucesivamente,
entre n, hasta obtener un cociente m´as peque˜no que b. La parte entera
del n´umero que estamos buscando lo compondr´a el ´ultimo cociente y los
restos que se hayan ido obteniendo, tomados en orden inverso.
2.-Convertir la parte fraccionaria del n´umero N10, multiplic´andola, repe-
tidamente, por n, hasta obtener un cero en la parte fraccionaria o hasta
que se considere oportuno, ya que, puede ser que el cambio de base de una
fracci´on exacta se convierta en una fracci´on peri´odica. La parte fracciona-
ria del n´umero buscado lo formar´an las partes enteras de los n´umeros que
se hayan ido obteniendo en cada producto, cogidas en ese mismo orden.
Veamos ejemplos:
1) Pasar el n´umero 65 a c´odigo binario
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15. 2) Convertir el n´umero 65 a base 3
14. Conversiones de bases arbitrarias Bn a Bm:
¿C´omo pasar de una base a otra?
Convertir un n´umero N de base (n) a otra base (m), ambas distintas
de 10, se puede hacer en los dos pasos siguientes:
1. Convertir el n´umero Nn de base (n) a base 10.
2. Convertir el n´umero N10 de base 10 a base (m).
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16. Ejemplo 1:
Usando el m´etodo descrito, para convertir el n´umero 16,518 a base 2, en
primer lugar lo pasaremos a base 10 con el Teorema Fundamental de la
Numeraci´on (TFN):
16,518 =
181
+ 680
+ 58−
1 + 18−
2 = 8 + 6 + 0, 625 + 0, 015625 =
14, 64062510
A continuaci´on, cambiaremos el n´umero obtenido, 14,64062510, a base
2. Los c´alculos de la parte entera son:
y las operaciones de la parte fraccionaria son:
Por tanto,
16,518 = 14,64062510 = 1110,1010012
Sin embargo, puesto que las bases de los Sistemas Binario y Octal, (2) y
(8), ambas son potencias de 2, es decir, 2 = 21 y 8 = 23, las conversiones
de octal a binario y viceversa se pueden realizar de forma directa. Para
ello, hay que conocer la correspondencia de d´ıgitos que existe entre ambas
bases.
Figura - Tabla de correspondencias entre los d´ıgitos de los Sistemas
Octal y Binario.
De la tabla se deduce que, por ejemplo, el n´umero 68 equivale al 1102,
el n´umero 112 equivale al 38 ´o el n´umero 548 equivale al 1011002, ya que:
En consecuencia, para convertir el n´umero 16,518 a binario, podemos
hacer corresponder cada uno de sus d´ıgitos con sus tres equivalentes en
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17. binario, de forma que:
Los ceros a la izquierda de la parte entera o a la derecha de la par-
te fraccionaria se desprecian. As´ı pues, obtenemos el resultado que ya
sab´ıamos,
16,518 = 1110,1010012
15. Representaci´on de los enteros en el computador:
La representaci´on mas extendida para los n´umeros enteros es el com-
plemento a dos [10].
El rango de la representaci´on de enteros en complemento a dos, con ca-
denas de p bits, es [2p1, 2p11]. Con este c´odigo se tiene una ´unica repre-
sentaci´on para el cero por lo que se facilita su detecci´on. Por otro lado,
esta representaci´on es especialmente adecuada desde el punto de vista del
hardware porque no requiere circuitos adicionales para la operaci´on de la
resta. Con el objetivo de ilustrar los aspectos relacionados con esta repre-
sentaci´on, se ha dise˜nado un conjunto de ejercicios pr´acticos, basados en
un entorno computacional que se presenta mas adelante. Estos ejercicios
se pueden clasificar en dos grupos relacionados con la representaci´on y
con la aritm´etica.
CONVENIO SIGNO MAGNITUD: Seg´un este m´etodo, si se uti-
lizan n bits para representar un n´umero, se reserva un bit (normalmente
el de mayor peso) para indicar el signo, y el resto de bits se utilizan para
representar la magnitud. El convenio, un acuerdo arbitrario, dice que se
utiliza la siguiente codificaci´on para un n´umero entero:
- Si el n´umero es positivo su bit de mayor peso ser´a 0:
-Si el n´umero es negativo su bit de mayor peso ser´a 1:
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18. El bit de mayor peso que indica el signo del n´umero recibe el nombre de
bit de signo.
Ejemplo: utilizando 8 bits (n = 8), representa los n´umeros +25 y -25,
siguiendo el,convenio de signo y magnitud. En primer lugar se convier-
te la magnitud o valor absoluto, 25, a binario natural con n-1=7 bits,
completando con ceros los bits de mayor peso si fuera necesario:
En segundo lugar se a˜nade el bit de signo:
16. Representaci´on de los reales en el computador:
El est´andar IEEE 754 para la representaci´on binaria en punto flotante.
El est´andar IEEE define un formato de simple precisi´on, de forma que el
numero real r expresado en notaci´on exponencial como r = (1)s (1.m)
2ES se representa por una cadena de 32 bits que se organizan como si-
gue: un bit para el signo (s), ne = 8 bits para el exponente sesgado E =
e + S (denotando e el exponente y S =2ne1 1 el sesgo) y nm = 23 bits
para la mantisa. La base implıcita que se considera en esta representaci´on
es 2. El formato de doble precisi´on dispone de 64 bits, de los cuales 11
est´an destinados al exponente, 52 a la mantisa y uno al signo. Existe una
gran variedad de conceptos relacionados con la representaci´on en punto
flotante que cualquier Ingeniero Inform´atico debe conocer:
- El numero de bits del exponente y mantisa definen el rango y la pre-
cisi´on de la representaci´on.
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19. - La distancia entre dos datos en punto flotante consecutivos varıa a lo
largo de la recta real. A medida que se consideran valores mayores, esa
distancia es mayor y viceversa.
- Existe distancia relativamente significativa entre el cero y el menor
real distinto de cero. No obstante, el uso de n´umeros desnormalizados
permite reducir esta distancia.
- Se define la precisi´on de la maquina, !mach, como la distancia entre
1.0 y el menor numero mayor que 1.0 representable por el formato. Este
par´ametro se puede tomar como una medida de la precisi´on de las opera-
ciones en punto flotante.
- El cero se representa por una cadena de bits de valor cero.
- Los errores de redondeo, truncamiento y cancelaci´on est´an presentes
en la aritm´etica en punto flotante.
- Se asocian c´odigos especiales (Infinito, Not-a-Number) a situaciones
excepcionales.
- Las rutinas que tratan las excepciones est´an bajo el control de usua-
rio/programador.
- La representaci´on en punto flotante no cumple exactamente las reglas
fundamentales del ´algebra convencional. Propiedades como asociativa o
distributiva no se verifican exactamente.
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20. ANEXOS PROGRAMA JAVA
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21. 21

22. BIBLIOGRAFIA
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