Este documento presenta las técnicas PERT/CPM para la programación, revisión y evaluación de proyectos. Introduce conceptos como la consideración de probabilidades en la estimación de tiempos de actividades y costos de programación. Explica que PERT trata los tiempos de actividades como variables aleatorias y utiliza estimaciones de tres tiempos (optimista, más probable y pesimista) para calcular la media, desviación estándar y distribución de probabilidad de cada actividad y del proyecto en su conjunto. También presenta un ejemplo numérico para il

1. TÉCNICAS PERT/CPM DE
REVISIÓN Y EVALUACIÓN DE
PROYECTOS
- Consideraciones de probabilidad en la
programación del proyecto.
- Consideraciones de costo en la
programación de proyectos.

2. Program Evaluation and Review Technique
(PERT)
 Los tiempos de duración de una actividad pocas veces
se conocen una precisión de 100% de seguridad.
 Es una técnica usada para estimar la duración de un
proyecto cuando hay un alto grado de incertidumbre
acerca de la estimación individual de la duración de las
actividades.
 PERT trata la duración de una actividad individual y del
proyecto como variables aleatorias.
 Los tiempos de duración de una actividad son obtenidos
con el enfoque de estimación de tres tiempos
(distribución de probabilidades unimodal beta).

3. Distribución de probabilidades de las
actividades
 El enfoque de estimación de tres tiempos
provee la duración para cada actividad.
 Se usa la siguiente notación:
o : tiempo optimista de duración
m : tiempo mas probable de duración
p : tiempo pesimista de duración
 Las aproximaciones para la media y la
desviación estándar y varianza de una
actividad se basa en la distribución beta
2
2
6
;
6
6
4



 −
=
−
=
++
=
opop
pmo
σσ
µ

4. Distribución de probabilidades de las
actividades (distribución beta)
4 7 8 16 Tiempo
o m μ p
Estimado del tiempo de actividad esperado
Estimado de la Varianza del tiempo de actividad
8
6
)16()7(4)4(
=
++
=µ
2
2
6 


 −
=
op
σ 4
6
)4()16(
2
=




 −
=

5. Ejemplo
Identifica
dor
Descripción O M P
Predecesoras
inmediatas
A
Diseño del prototipo del
modelo 76 86 120 Ninguna
B Compra de materiales 12 15 18 A
C
Manufactura del prototipo del
modelo 4 5 6 B
D Revisión del diseño 15 18 33 G
E Producción de lote inicial 18 21 24 D
F
Entrenamiento general del
Staff 16 26 30 A
G
Entrenamiento del Staff en el
prototipo del modelo 10 13 22 C, F
H
Entrenamiento del personal
de ventas 24 18 32 D
I
Pre-producción de la
campana de publicidad 22 27 50 A
J
Producción de la campana de
publicidad 38 43 60 D, I

6. Cálculo de las medias y varianzas
Actividad
Optimista
o
Mas probable
m
Pesimista
p
Media (μ)
(o+4m+p)/6
Desviación
Estándar
(p-o)/6
Varianza
[(p-o)/6]2
A 76 86 120 90 7.33 53.78
B 12 15 18 15 1.00 1.00
C 4 5 6 5 0.33 0.11
D 15 18 33 20 3.00 9.00
E 18 21 24 21 1.00 1.00
F 16 26 30 25 2.33 5.44
G 10 13 22 14 2.00 4.00
H 24 18 32 28 1.33 1.78
I 22 27 50 30 4.67 21.78
J 38 43 60 45 3.67 13.44
[ ]
78.53)33.7(33.76/)76120(
906/120)86(476
22
===−=
=++=
AA
A
σσ
µ

7. Suposiciones de PERT
 El camino crítico puede ser determinado usando la media de las
duraciones de las actividades.
 La duración del proyecto es determinado por la duración de las
actividades en la ruta critica.
 El tiempo de duración de una actividad es independiente de la
duración de cualquier otra actividad.
 Existen suficientes actividades en el camino critico de manera que
la distribución de todo el proyecto puede ser aproximada por la
distribución normal.
- Media = Suma de medias de las actividades en la
ruta critica
- Varianza = Suma de varianzas de las actividades
en la ruta crítica. En caso que existan
varias rutas críticas, se elige la de mayor varianza

8. Cálculo de la ruta crítica
A B
inicio termi
nació
n
C G D E
F
I
H
J
Ruta Max ∑δ²
A 90 53.78 i-A 90 53.78
B 15 1.00 i-A-B 105 54.78
C 5 0.11 i-A-B-C 110 54.89
D 20 9.00 i-A-F-G-D 149 72.22
E 21 1.00 i-A-F-G-D-E 170 73.22
F 25 5.44 i-A-F 115 59.22
G 14 4.00 i-A-F-G 129 63.22
H 28 1.78 i-A-F-G-D-H 177 74.00
I 30 21.78 i-A-I 120 75.56
J 45 13.44 i-A-F-G-D-J 194 85.66
∑t∑μ
crítica

9. Duración del proyecto
 La variable aleatoria de la duración del proyecto
tiene una distribución aproximadamente normal.
T ~ N (μ, δ). Donde μ es la duración media del
proyecto y δ es la desviación estándar
 Calculo de μ
 Calculo de δ
 Además dicha variable aleatoria normal, puede
transformarse a otra equivalente Z ~ N(0,1), de
la siguiente forma:
∑=Μ
iµ
_
)(
)()(
_
2
TVar
i
TVar
=
=∑
σ
σ µ
)1,0(~ N
T
Z
σ
Μ−
=

10. Probabilidad de concluir el proyecto a tiempo
 El camino crítico: A - F- G - D - J.
 La duración esperada : = 194
 La varianza del proyecto: = 85.66
(En caso que existan varias rutas críticas, se elige la de
mayor varianza)
 La desviación estándar = 9.255
 Bajo las suposiciones establecidas anteriormente el
tiempo de duración del proyecto es una variable
aleatoria T con una distribución normal de media 194
días y desviación estándar 9.255 días.
T ~ N(194, 9.255).
JDGFA µµµµµ ++++
222222
jdGFA σσσσσσ ++++=
66,852
== σσ

11. Cálculo de probabilidades
 Cuando se hacen consultas de la probabilidad sobre una
fecha deseada de finalización de tipo: "antes de a", "hasta a",
"no mas de a" se expresa : P(T ≤ a)
 Cuando se hacen consultas de la probabilidad de demora de
la duración posterior a una fecha limite de finalización de tipo:
"mayor a", "posterior a", "sobre a", se expresa: P(T > a). No
hay posibilidad a ≥, por la forma de presentar la tabla norma
Z ~ N(0,1)
P(T≤a) P(T>a)
μ a tiempo
 Por lo tanto : P(T≤a) + P(T>a) = 1 /evento certeza/
 Entonces : P(T > a) = 1 - P(T ≤ a) /evento
complemento/
 Siendo T ~ N(μ,δ) a ≠ μ

12. Cálculo de probabilidades
 La probabilidad de que el proyecto tenga una duración menor o
igual que su μ (duración media) es 0.50. Entonces
P(T≤μ)=P(T>μ)=0.50
Ejemplo: T ~N(194,9.255).
)1,0(~ N
T
Z
σ
Μ−
=

13. Tabla de la Curva Normal N(0,1) P(X ≤ x)

14. Cálculo de probabilidades
 La tabla Z ~ N(0,1) típicamente solo registran valores
para z positivos, utilizando simetría de los valores z se
puede hallar los valores para z negativos.
Ejemplo:

15. Casos del cálculo de probabilidades de
duraciones de proyectos
Conociendo la distribución T ~ N(μ,δ) y los parámetros
de fechas límites determinar la probabilidad de
certeza solicitada.
 Caso 1: Probabilidad de que el proyecto tenga una
duración mayor que a: P(T > a).
 Caso 2: Probabilidad de que el proyecto tenga una
duración menor o igual que b: P(T ≤ b).
 Caso 3: Probabilidad de la duración del proyecto dentro
de un intervalo [a,b] : P( a ≤ T ≤ b)
Observación: Estos casos se aplican tanto para la
duración total del proyecto, o de la duración de un
subproyecto formado por las actividades críticas, que
forman parte del camino crítico.
)()(
2
σ
µ−
≤=≤
a
ZPaTP

16. Casos del cálculo de probabilidades de
duraciones de proyectos
Conociendo la distribución T ~ N(μ,δ) y la probabilidad
de certeza deseada, determinar los parámetros de
fechas limites.
 Caso 4: Con una probabilidad de a% conocida,
determinar la fecha limite inferior de duración del
proyecto: P(T > x) = a%.
 Caso 5: Con una probabilidad de b% conocida,
determinar la fecha limite superior de duración del
proyecto: P(T ≤ x) = b%.
 Caso 6: Determinar un intervalo de confianza para T
con una probabilidad de c% conocida,: P( x1 ≤ T ≤ x2)
= c%
Observación: Estos casos se aplican tanto para la
duración total del proyecto, o de la duración de un
subproyecto formado por las actividades críticas, que
forman parte del camino crítico.

17. Probabilidad de que el proyecto tenga
una duración mayor que a: P(T>a)
¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tenga una duración mayor
a 210 días?

18. Probabilidad de que el proyecto tenga
una duración menor o igual que b:P(T≤b).
¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tenga una duración menor
o igual que 180 días?

19. Probabilidad de la duración del proyecto
dentro de un intervalo [a,b]: P(a≤T≤b)
¿Cuál es la probabilidad de que la duración del proyecto este en una
fecha que se encuentre sobre un día antes y tres días posterior a lo
esperado?

20. ¿Cuál es la probabilidad de que la actividad D
tenga una duración mayor a 160 días?
 La duración esperada hasta D:
 La varianza hasta D:
 La desviación estándar hasta D : 8.498
 Bajo las suposiciones establecidas anteriormente, el
tiempo de duración de la actividad D ( o del proyecto
hasta la actividad D) es una variable aleatoria Td con
una distribución normal media 149 días y desviación
estándar 8.498 días. Td~N(149, 8.498). De igual forma
puede trasformarse a otra variable aleatoria normal
Z~N(0, 1)
149=+++ DGFA µµµµ
22.722222
=+++ DGFA σσσσ

21. Cuál es la probabilidad de que la actividad G
tenga una duración menor a 120 días?
 La duración esperada hasta G :
 La varianza hasta G :
 La desviación estándar hasta G : 7.951
 Bajo las suposiciones establecidas anteriormente, el
tiempo de duración de la actividad G ( o del proyecto
hasta la actividad G) es una variable aleatoria Tg con
una distribución normal media 129 días y desviación
estándar 7.951 días. Tg~N(129, 7.951). De igual forma
puede trasformarse a otra variable aleatoria normal
Z~N(0, 1).
P(Tg ≤ 120) = P(Z ≤ (120-129)/7.95) = P(Z ≤ -1.13) =
= 1 – P (Z ≤ 1.13) = 0.13
129=++ GFA µµµ
22.63222
=++ GFA σσσ

22. Con una probabilidad de a% conocida,
determinar la fecha limite inferior de duración
del proyecto : P(T > x) = a%.
Se asume que una fecha de finalización mínima
con un 20% de certeza es aceptable
P(Z ≤ 0.84) = 0.80 por probabilidad
complementaria y si Z=(x – μ)/σ, entonces
x = 194 + 0.84(9.255) = 201.78 días

23. Con una probabilidad de b% conocida,
determinar la fecha limite superior de duración
del proyecto : P(T ≤ x) = b%.
Asuma que una fecha de finalización máxima con un 99% de certeza
es aceptable
P(Z ≤ 2.33) = 0.99 Z=(x – μ)/σ
x = 194 + 2.33(9.255) = 215.56 días

24. Determinar un intervalo de confianza para T
con una probabilidad de c% conocida :
P( x1 ≤ T ≤ x2) = c%
Hallar un intervalo de duración total del proyecto con una probabilidad
de 90%
P(-Z ≤ (x- μ)/ σ ≤ +Z) = 0.90 ± Z=(x – μ)/σ

25. Consideraciones de costo en la
programación de proyectos

26. Programación con Reducción de Tiempos
Identifica
dor
Tiempo
Normal
Días
Costo
Normal
(miles $)
Tiempo
Urgente
Días
Costo
Urgente
(miles $)
Reducción
Máxima
Días
Costo
Unitario
Reducción
(miles $/día)
A 90 120 70 140 20 1
B 15 18 12 21 3 1
C 5 6 5 6 0 0
D 20 33 15 43 5 2
E 21 24 17 30 4 1,5
F 25 30 20 35 5 1
G 14 22 10 28 4 1,5
H 28 32 12 40 16 0,5
I 30 50 26 58 4 2
J 45 60 35 75 10 1,5
DATOS BASE
Reducción Máxima = Tiempo Normal - Tiempo Urgente
Costo unitario = ( Costo Urgente – Costo Normal ) / (Reducción Máxima)

27. Modelo PL para reducción del tiempo de
proyecto
Se debe resolver:
- Qué actividades y en cuanto se puede reducir con la mínima
elevación de costos para que tiempo de terminación del proyecto no
exceda un tiempo determinado D.
Modelo de PL:
Variables: Xi – reducción de la actividad i (en días)
Yi – inicio de la actividad i
Yterm – inicio de nodo de terminación (tiempo de proyecto)
Xi, Yi, Yterm ≥ 0
Función Objetivo: Minimizar el costo de reducción del tiempo del proyecto
Min Z=1*XA+1*XB+0*XC+2*XD+1,5*XE+1*XF+1,5*XG+0,5*XH+2*XI+1,5*XJ
Restricciones: (3 grupos)
- de la reducción máxima
- de secuencia de las actividades (inicio de las actividades
considerando las relaciones de precedencia)
- del tiempo de terminación de proyecto completo

28. Modelo PL para reducción del tiempo de
proyecto
Secuencia: para G
(Inicio G) ≥ (Inicio C)+(Duración Nueva C)=
(Inicio C)+(Duración C – Reducción C)
YG ≥ YC + (5 - XC)
YG ≥ YF + (25 - XF)
A B
inicio
terminación
C G D E
F
I
H
J

29. Modelo PL para reducción del tiempo de
proyecto
Reducción Max:
XA ≤ 20
XB ≤ 3
XC ≤ 0
XD ≤ 5
XE ≤ 4
XF ≤ 5
XG ≤ 4
XH ≤ 16
XI ≤ 4
XJ ≤ 10
Secuencia:
YA=0
YB ≥ YA+(90-XA)
YC ≥ YB+(15-XB)
YD ≥ YG+(14-XG)
YE ≥ YD+(20-XD)
YF ≥ YA+(90-XA)
YG ≥ YC + (5 - XC)
YG ≥ YF + (25 - XF)
YH ≥ YD+(20-XD)
YI ≥ YA+(90-XA)
YJ ≥ YI+(30-XI)
YJ ≥ YD+(20-XD)
Terminación:
Yterm ≤ 180 (D dado)
Yterm ≥ YE+(21 -XE)
Yterm ≥ YH+(28 -XH)
Yterm ≥ YJ+(45 -XJ)