1. El documento trata sobre la lógica formal y sus elementos básicos como proposiciones, tablas de verdad, y validez de argumentos. 2. Explica los tipos de proposiciones, símbolos lógicos como variables y conectivas, y cómo construir tablas de verdad. 3. También cubre cómo evaluar la validez de argumentos utilizando tablas de verdad y reglas de inferencia.
Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo proposicional, incluyendo:
1) Proposiciones, conectivos lógicos (negación, conjunción, disyunción, condicional, bicondicional), tablas de verdad y formas proposicionales.
2) Razonamientos, métodos de demostración, inferencia y circuitos lógicos.
3) Leyes y propiedades del álgebra de proposiciones como leyes idempotentes, conmutativas, distributivas, de Morgan y equival
El documento describe dos métodos de demostración formal: el método directo y la demostración por contradicción. El método directo implica probar una conclusión partiendo de un conjunto de premisas o hipótesis, usando tautologías y reglas de inferencia. La demostración por contradicción implica asumir la negación de la conclusión y llegar a una contradicción. El documento provee un ejemplo de cada método.
Este documento presenta información sobre lógica matemática y demostraciones matemáticas. Explica que la lógica se aplica en matemáticas, filosofía y otras áreas, y que las tablas de verdad son herramientas útiles para determinar la validez de razonamientos. También define conceptos como tautologías, contradicciones y demostraciones matemáticas, describiendo que estas últimas usan pasos lógicos para establecer la veracidad de una conclusión. El objetivo es enseñar a
Este documento presenta una introducción al cálculo proposicional. Explica que el cálculo proposicional estudia las relaciones lógicas entre proposiciones, que pueden interpretarse como afirmaciones con un valor de verdad de verdadero o falso. Define los conceptos básicos de proposición, valor lógico, operaciones veritativas y conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Finalmente, introduce los conceptos de circuitos combinatorios y tablas de ver
Este documento presenta las reglas de inferencia lógica para validar argumentos cuyas premisas y conclusiones son proposiciones no cuantificadas. Define las premisas, conclusión y objetivo del juego lógico. Explica las reglas de Modus Ponens, Silogismo y Modus Tollens, y cómo usarlas para justificar la validez de un argumento de manera deductiva en menos pasos que con tablas de verdad. También introduce cuatro reglas adicionales para argumentos con cuantificadores.
El documento explica el método abreviado para determinar la validez de una inferencia. El método implica 1) suponer que la conclusión es falsa, 2) suponer que todas las premisas son verdaderas, 3) determinar los valores de verdad de las variables a partir de la conclusión falsa, y 4) verificar si alguna variable toma más de un valor de verdad al aplicar los valores a las premisas. Si una variable toma más de un valor, la inferencia es válida; de lo contrario, no es válida. El documento provee ejemplos para
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica de predicados de primer orden, incluyendo términos, fórmulas atómicas, conectores lógicos, cuantificadores y reglas para poner las fórmulas en forma normal. Explica cómo se pueden representar y derivar inferencias sobre enunciados en este sistema formal.
El documento presenta diferentes métodos para probar la validez de argumentos, incluyendo leyes de inferencia como modus ponens, modus tollens y silogismo hipotético. Explica cada método a través de su definición lógica, ejemplos y tablas de verdad. También incluye ejercicios prácticos para aplicar estos métodos y determinar si diferentes argumentos son válidos o no.
Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo proposicional, incluyendo:
1) Proposiciones, conectivos lógicos (negación, conjunción, disyunción, condicional, bicondicional), tablas de verdad y formas proposicionales.
2) Razonamientos, métodos de demostración, inferencia y circuitos lógicos.
3) Leyes y propiedades del álgebra de proposiciones como leyes idempotentes, conmutativas, distributivas, de Morgan y equival
El documento describe dos métodos de demostración formal: el método directo y la demostración por contradicción. El método directo implica probar una conclusión partiendo de un conjunto de premisas o hipótesis, usando tautologías y reglas de inferencia. La demostración por contradicción implica asumir la negación de la conclusión y llegar a una contradicción. El documento provee un ejemplo de cada método.
Este documento presenta información sobre lógica matemática y demostraciones matemáticas. Explica que la lógica se aplica en matemáticas, filosofía y otras áreas, y que las tablas de verdad son herramientas útiles para determinar la validez de razonamientos. También define conceptos como tautologías, contradicciones y demostraciones matemáticas, describiendo que estas últimas usan pasos lógicos para establecer la veracidad de una conclusión. El objetivo es enseñar a
Este documento presenta una introducción al cálculo proposicional. Explica que el cálculo proposicional estudia las relaciones lógicas entre proposiciones, que pueden interpretarse como afirmaciones con un valor de verdad de verdadero o falso. Define los conceptos básicos de proposición, valor lógico, operaciones veritativas y conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Finalmente, introduce los conceptos de circuitos combinatorios y tablas de ver
Este documento presenta las reglas de inferencia lógica para validar argumentos cuyas premisas y conclusiones son proposiciones no cuantificadas. Define las premisas, conclusión y objetivo del juego lógico. Explica las reglas de Modus Ponens, Silogismo y Modus Tollens, y cómo usarlas para justificar la validez de un argumento de manera deductiva en menos pasos que con tablas de verdad. También introduce cuatro reglas adicionales para argumentos con cuantificadores.
El documento explica el método abreviado para determinar la validez de una inferencia. El método implica 1) suponer que la conclusión es falsa, 2) suponer que todas las premisas son verdaderas, 3) determinar los valores de verdad de las variables a partir de la conclusión falsa, y 4) verificar si alguna variable toma más de un valor de verdad al aplicar los valores a las premisas. Si una variable toma más de un valor, la inferencia es válida; de lo contrario, no es válida. El documento provee ejemplos para
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica de predicados de primer orden, incluyendo términos, fórmulas atómicas, conectores lógicos, cuantificadores y reglas para poner las fórmulas en forma normal. Explica cómo se pueden representar y derivar inferencias sobre enunciados en este sistema formal.
El documento presenta diferentes métodos para probar la validez de argumentos, incluyendo leyes de inferencia como modus ponens, modus tollens y silogismo hipotético. Explica cada método a través de su definición lógica, ejemplos y tablas de verdad. También incluye ejercicios prácticos para aplicar estos métodos y determinar si diferentes argumentos son válidos o no.
El documento describe conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, operaciones veritativas, conectivos lógicos y tablas de verdad. Explica que una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Las operaciones veritativas incluyen la negación, conjunción, disyunción inclusiva y exclusiva, y condicional. También presenta el método abreviado para calcular tabl
El documento explica los pasos para construir tablas de verdad lógicas. Primero define qué es una fórmula bien formada y los valores de verdad de los operadores lógicos. Luego, explica cómo hallar el espacio lógico de una fórmula contando sus variables. Finalmente, detalla las reglas para construir la tabla aplicando sucesivamente los valores de verdad de cada operador desde el interior de la fórmula hacia fuera.
La lógica proposicional estudia las operaciones y deducciones proposicionales. Una proposición es una frase a la que se le puede asignar un valor de verdad, y puede ser representada por una fórmula del cálculo proposicional. Existen proposiciones atómicas y compuestas, y las constantes proposicionales como el negador, conjuntor, disyuntor e implicador unen proposiciones para formar fórmulas.
El documento describe el cálculo de predicados, incluyendo definiciones, variables, cuantificadores y restricciones. Específicamente, define predicados como enunciados que contienen variables que pueden tomar valores de un dominio específico. Explica los cuantificadores universal y existencial y cómo se usan para indicar si un predicado se cumple para toda la población o al menos para un caso. Además, describe cómo se pueden representar expresiones comunes del lenguaje natural usando estos conceptos de lógica de predicados.
Este documento presenta los elementos básicos de la lógica proposicional, incluyendo proposiciones, conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional. Explica las tablas de verdad de estos conectivos y conceptos como tautologías, contradicciones y contingencias. También introduce reglas lógicas como el modus ponens, modus tollens y modus tollendo ponens.
Este documento describe diferentes métodos de demostración matemática, incluyendo reglas de inferencia lógica como modus ponens, adición, simplificación y silogismos. Explica cómo usar estas reglas para determinar si un argumento es válido, y provee ejemplos de su aplicación.
El documento presenta una introducción a la lógica proposicional, incluyendo definiciones de proposiciones, valores de verdad, conectivos lógicos y tablas de verdad. Explica conceptos como proposiciones atómicas y moleculares, operaciones lógicas, leyes de la lógica proposicional y razonamientos válidos e inválidos. El documento provee los fundamentos teóricos básicos de la lógica proposicional requeridos para comprender este campo de la lógica formal.
1) El documento describe las proposiciones, sus valores de verdad y operaciones lógicas como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. 2) Explica cómo construir tablas de verdad para determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas. 3) Presenta leyes del álgebra de proposiciones como las leyes de De Morgan, distribución y doble negación.
Este documento introduce la lógica proposicional y cubre temas como expresiones lógicas, tablas de verdad, conectores lógicos, leyes del cálculo proposicional y aplicaciones de la lógica en el diseño de circuitos electrónicos utilizando compuertas lógicas como AND y OR.
El documento describe las reglas de inferencia lógica de predicados como modus ponens, modus tollens, silogismo hipotético, silogismo disyuntivo, conjunción, simplificación, adición y dilema constructivo. También introduce la resolución como una técnica poderosa para probar teoremas en lógica que constituye la técnica básica de inferencia en PROLOG.
ALUMNO: Ivan J Perez M
C.I 23.485.904
Estudiante de Ingeniera en Mantenimiento Mecánico
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición.
2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición.
3. Identificar las distintas formas proposicionales.
4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional.
5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería.
6. Construir una red de circuitos lógicos de una forma proposicional.
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo tablas de verdad, tautologías, contradicciones, cuantificadores universales y existenciales, y reglas de inferencia como modus ponens y modus tollens. Explica cómo estas herramientas lógicas se usan para construir demostraciones matemáticas válidas.
Este documento presenta un programa de estudio sobre matemáticas discretas para una licenciatura en informática administrativa. El programa cubre proposiciones lógicas, conectivos, operaciones lógicas y tablas de verdad. Incluye estrategias didácticas como exposición, elaboración de tarjetas y ejercicios. Finalmente, propone una práctica en un laboratorio de electrónica para aplicar los conceptos en circuitos.
Este documento define las proposiciones y operadores lógicos, y describe cómo se pueden usar para construir razonamientos válidos. Explica que una proposición es un enunciado que es verdadero o falso, pero no ambos. Luego introduce los operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, y cómo se pueden usar para unir proposiciones. Finalmente, discute métodos de demostración lógica como la demostración directa e indirecta, e inferencias
Este documento presenta una lista de 16 términos relacionados con la lógica y el razonamiento, como formalizar, equivalencia, reglas, demostración, principio, etc. Luego explica conceptos como el cálculo proposicional, las tautologías, las reglas de inferencia como Modus Ponens y Modus Tollens, y las leyes de implicación y equivalencia como la ley de Morgan y la doble negación. Finalmente, describe los métodos deductivo y demostrativo para probar la validez de un razonamiento lógico utilizando estas
Este documento introduce conceptos básicos de lógica matemática como proposiciones lógicas, conectivos lógicos, tablas de verdad, implicación, doble implicación, equivalencia lógica, leyes lógicas, razonamientos deductivos y reglas de inferencia. Explica estos conceptos y provee ejemplos para ilustrarlos. El objetivo es proporcionar una guía conceptual sobre lógica matemática para estudiantes de álgebra.
Este documento introduce los conceptos básicos de la lógica. Explica que la lógica estudia las formas del pensamiento humano y las proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. Describe las proposiciones atómicas y compuestas, y las conectivas lógicas como la conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. También presenta las tablas de verdad y las leyes del álgebra de proposiciones.
El documento define el límite de una función como el valor al que se aproximan los términos de una secuencia infinita o los valores de una función cuando la variable tiende a un número específico. Explica que para determinar límites, es necesario resolver indeterminaciones como cero sobre cero mediante factores comunes u otras técnicas. Finalmente, proporciona consideraciones generales sobre cómo resolver diferentes tipos de límites, incluyendo aquellos que tienden a infinito.
El documento analiza cómo la política monetaria ha ayudado a la recuperación económica mundial. Explica que los eventos económicos clave desde 1998 llevaron a la crisis de 2008 y la necesidad de estímulo. Luego describe cómo las políticas monetarias expansivas, como tasas de interés bajas, han impulsado el crecimiento del PIB en regiones como Europa y Estados Unidos. Sin embargo, la tasa de desempleo mundial sigue siendo alta. El documento concluye que la continuación de las políticas monetarias expans
Este documento describe diferentes tipos de búsqueda y recuperación de información, incluyendo el browsing, searching, filtrado y ad hoc. El browsing implica explorar una colección de documentos sin una necesidad de información específica, a diferencia del searching que busca satisfacer una necesidad utilizando modelos booleanos, vectoriales o probabilísticos. El filtrado recupera información constantemente actualizada para necesidades relativamente estables, mientras que el ad hoc busca en colecciones estáticas y jerarquiza los resultados.
El documento describe conceptos básicos de lógica proposicional como proposiciones, operaciones veritativas, conectivos lógicos y tablas de verdad. Explica que una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Las operaciones veritativas incluyen la negación, conjunción, disyunción inclusiva y exclusiva, y condicional. También presenta el método abreviado para calcular tabl
El documento explica los pasos para construir tablas de verdad lógicas. Primero define qué es una fórmula bien formada y los valores de verdad de los operadores lógicos. Luego, explica cómo hallar el espacio lógico de una fórmula contando sus variables. Finalmente, detalla las reglas para construir la tabla aplicando sucesivamente los valores de verdad de cada operador desde el interior de la fórmula hacia fuera.
La lógica proposicional estudia las operaciones y deducciones proposicionales. Una proposición es una frase a la que se le puede asignar un valor de verdad, y puede ser representada por una fórmula del cálculo proposicional. Existen proposiciones atómicas y compuestas, y las constantes proposicionales como el negador, conjuntor, disyuntor e implicador unen proposiciones para formar fórmulas.
El documento describe el cálculo de predicados, incluyendo definiciones, variables, cuantificadores y restricciones. Específicamente, define predicados como enunciados que contienen variables que pueden tomar valores de un dominio específico. Explica los cuantificadores universal y existencial y cómo se usan para indicar si un predicado se cumple para toda la población o al menos para un caso. Además, describe cómo se pueden representar expresiones comunes del lenguaje natural usando estos conceptos de lógica de predicados.
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1) El documento describe las proposiciones, sus valores de verdad y operaciones lógicas como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. 2) Explica cómo construir tablas de verdad para determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas. 3) Presenta leyes del álgebra de proposiciones como las leyes de De Morgan, distribución y doble negación.
Este documento introduce la lógica proposicional y cubre temas como expresiones lógicas, tablas de verdad, conectores lógicos, leyes del cálculo proposicional y aplicaciones de la lógica en el diseño de circuitos electrónicos utilizando compuertas lógicas como AND y OR.
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1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición.
2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición.
3. Identificar las distintas formas proposicionales.
4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional.
5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería.
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Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo tablas de verdad, tautologías, contradicciones, cuantificadores universales y existenciales, y reglas de inferencia como modus ponens y modus tollens. Explica cómo estas herramientas lógicas se usan para construir demostraciones matemáticas válidas.
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Este documento introduce los conceptos básicos de la lógica. Explica que la lógica estudia las formas del pensamiento humano y las proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. Describe las proposiciones atómicas y compuestas, y las conectivas lógicas como la conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. También presenta las tablas de verdad y las leyes del álgebra de proposiciones.
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El consultorio jurídico se ubicará en las calles Francisco Flor y Cevallos en Ambato, un lugar concurrido en el centro de la ciudad. Tendrá un tamaño de 10 metros de ancho por 20 de largo y podrá atender hasta 5 personas diariamente. Se necesitará equipamiento como computadora, impresora, scanner y suministros de oficina. Los ingresos provendrán de tasas por asesoría de $5 cada una, con un punto de equilibrio de 160 asesorías y una tasa de retorno de $307.
Este documento trata sobre la tanatología. Resume brevemente los orígenes de esta disciplina en la década de 1960 a través del trabajo pionero de Elizabeth Kübler-Ross. Explica que la tanatología busca proporcionar una "muerte apropiada" mediante el apoyo físico, psicológico y social de pacientes terminales y sus familias. También menciona algunas instituciones mexicanas relacionadas con esta área como el Instituto Mexicano de Tanatología y la Asociación Mexicana de Tanatología.
Este documento presenta conceptos preliminares sobre amplificadores operacionales. Explica la ley de Ohm y define cuadripolos elementales como convertidores o amplificadores de tensión, corriente, transresistencia o transconductancia. También discute los efectos de carga que ocurren cuando se mide la señal de salida de un circuito y cómo esto debe considerarse para analizar circuitos con realimentación.
Este documento contiene información sobre diferentes navegadores web como Safari, Google Chrome, Mozilla Firefox y Opera. Describe sus características principales como navegación por pestañas, marcadores, bloqueadores de ventanas y funciones de traducción.
El documento presenta una exposición en línea de los Rollos del Mar Muerto creada por el Museo de Israel de Jerusalén con la tecnología de Google, lo que permite que los rollos descubiertos en 1947 en cuevas del desierto de Judea sean vistos por todo el mundo a través de Internet.
Este documento presenta información sobre el surfing en Ecuador. Detalla los principales lugares para practicar surf en Ecuador como Mompiche, Montañita y las Islas Galápagos. Explica los diferentes tipos de tablas de surf y enumera los 10 mejores destinos de surf del mundo. También incluye trucos que se pueden realizar en el agua y referencias sobre el tema.
La psicología social comenzó a desarrollarse a comienzos del siglo XX. Analiza los aspectos sociales del comportamiento y el funcionamiento mental, así como la determinación mutua entre el individuo y su entorno social. Históricamente incluyó filósofos griegos como Sócrates, Platón y Aristóteles en su etapa pre-científica, convirtiéndose en una ciencia experimental en 1879 con el primer laboratorio de psicología. Es importante en el ámbito organizacional para comprender las interacciones entre sujetos y su impacto en el trabajo en grupo
La película Camino trata sobre una mujer llamada Camino que decide emprender un viaje en solitario por el Camino de Santiago para superar una depresión, siguiendo el camino conoce a varias personas que le ayudan en su recorrido y descubrimiento personal. La película fue dirigida por Javier Fesser, es un drama español de 2008 protagonizado por Nerea Camacho en el papel de Camino.
Este documento proporciona información sobre varias herramientas y accesorios utilizados para reparar computadoras. Explica los diferentes tipos de destornilladores, tuercas y tornillos, pinzas y alicates, sopladores, cautines y multímetros. También describe cómo usar una pulsera antiestática para protegerse de la electricidad estática al trabajar en una computadora.
Este documento presenta un diplomado en educación a distancia sobre el uso de recursos web en la educación. El documento incluye información sobre la institución que ofrece el diplomado, el módulo actual del participante y un blog con una cita sobre la creatividad de Osho y las fuentes consultadas.
Borrador pleno (10) 09 julio-2013, 2ª parteUPyD Parla
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos de alta tecnología y a las exportaciones de bienes de lujo a Rusia. Además, se congelarán los activos de varios oligarcas rusos y se prohibirá el acceso de los bancos rusos a los mercados financieros de la UE.
El grupo municipal Unión Progreso y Democracia presenta varias preguntas al alcalde y al concejal de hacienda sobre aprobaciones realizadas por la junta de gobierno local que no cuentan con el informe favorable de la intervención municipal, ya que no siguen los procedimientos establecidos. Específicamente, piden explicaciones sobre por qué se continúan aprobando proyectos sin cumplir la normativa y sobre por qué no se realizan los pagos de préstamos en las fechas correspondientes, generando intereses adicionales para las arcas municip
Una red de computadoras conecta equipos informáticos para compartir información y recursos. Se requieren elementos físicos como computadoras y dispositivos de red, así como software y protocolos. Las redes se pueden clasificar por su alcance, tipo de conexión y tecnología, e incluyen redes personales, de área local, de campus y amplias. Los protocolos y modelos como OSI y TCP/IP determinan el funcionamiento general de las redes.
Si sou una família que està en procés de preinscripció escolar, segur que us heu fet preguntes com: Què he de tenir en compte a l'hora d'escollir l'escola del meu fill? En què m'hauria de fixar quan vagi a les portes obertes? Quines preguntes puc fer durant la visita? Què he de posar a la balança per prendre una bona decisió?
En el "llibret" 8 orientacions per triar escola trobareu algunes propostes que us poden ser de gran utilitat a l'hora d'informar-vos sobre els centres educatius que teniu al vostre entorn, i també algunes orientacions per prendre la decisió.
En aquest procés de la tria d'escola, és important recollir el màxim d'informació, per tal de formar-vos el vostre propi criteri i poder posar a la balança les opcions d'escoles del vostre entorn que millor encaixen amb les necessitats del vostre fill i amb les vostres preferències, tenint també en compte els mecanismes de regulació de matrícula quan la demanda supera l'oferta.
El documento presenta diferentes perspectivas sobre cómo la gente ve su vida. Algunos la ven como un largo camino con cosas buenas y malas según las decisiones que toman. Otros la comparan con el curso de un río que cambia a lo largo de su recorrido. Algunos más la ven como el crecimiento de una planta, desde su nacimiento hasta adoptar su apariencia definitiva y vivir feliz hasta su muerte. Al final, se pregunta cómo el lector ve su propia vida.
Windows Communication Foundation (WCF) es una plataforma de mensajería que forma parte de .NET 3.0 y está diseñada para permitir el desarrollo rápido de sistemas distribuidos y aplicaciones basadas en arquitecturas orientadas a servicios de una manera segura en máquinas locales, LAN o Internet.
Este documento describe las proposiciones, operaciones lógicas y tablas de verdad. Define proposiciones como enunciados que pueden ser verdaderos o falsos pero no ambos. Explica los conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. También describe tablas de verdad y su uso para determinar el valor lógico de proposiciones compuestas. Finalmente, discute circuitos lógicos y su correspondencia con expresiones proposicionales.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la lógica proposicional. Define una proposición como un enunciado que puede ser verdadero o falso. Explica que la lógica proposicional estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples usando conectivas lógicas como la negación, conjunción, disyunción y condicional. También presenta tablas de verdad para estas conectivas y leyes lógicas como las leyes de Morgan y la distribución.
El documento proporciona una introducción a la lógica proposicional. Explica que la lógica simbólica sólo se interesa por los enunciados, que son oraciones que pueden ser verdaderas o falsas. Describe los argumentos lógicos y su forma, así como la lógica formal como ciencia abstracta que analiza la validez de los argumentos independientemente de su contenido. Finalmente, introduce los conceptos básicos del lenguaje formal de la lógica proposicional, incluyendo símbolos, reglas de form
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional. Explica que las proposiciones son frases que son verdaderas o falsas, y que se pueden componer usando conectores lógicos como "y", "o", "no", "implica", y "equivalente". Luego define las tablas de verdad de cada conector lógico y presenta equivalencias lógicas importantes entre expresiones. Finalmente, muestra cómo simplificar expresiones lógicas complejas usando reglas como las leyes de De Morgan y la absor
Este documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica conceptos como proposiciones simples y compuestas, tablas de verdad, tautologías, contradicciones y contingencias. También cubre argumentos válidos y no válidos y aplicaciones de la lógica matemática en computación.
Trabajo estruccturas discretas tema 1 manuel alfredomagom13196829
Este documento presenta información sobre proposiciones, conectivos lógicos, formas proposicionales y leyes del álgebra proposicional. También describe métodos de demostración como la demostración directa y la demostración por contradicción. Finalmente, muestra cómo construir una red de circuitos lógicos y representarla en forma proposicional.
El documento explica qué es una tabla de verdad y cómo construirla. Una tabla de verdad muestra todos los valores de verdad posibles de un enunciado molecular basado en las combinaciones de los valores de verdad de sus proposiciones componentes. Para construirla, se deben considerar el orden de prioridad de las conectivas y crear columnas para cada proposición y conectiva, luego llenarlas con sus valores de verdad.
El documento presenta una introducción a la lógica matemática. Define la lógica como la ciencia que estudia los enunciados y su significado para establecer proporciones e inferencias. Explica qué son los enunciados lógicos y los operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional. Incluye tablas de verdad y ejemplos de tautologías y contradicciones. Finalmente, menciona que la lógica se aplica en diversos campos como los
1) Una proposición es un juicio declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se conectan usando conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
2) Existen leyes del álgebra proposicional como la doble negación, tercio excluido, ley del condicional y ley del bicondicional. Estas leyes pueden usarse para simplificar circuitos lógicos y deducir nuevas pro
1) Una proposición es un juicio declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se conectan usando conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
2) Existen leyes del álgebra proposicional como la doble negación, tercio excluido, ley del condicional y ley del bicondicional. Estas leyes pueden usarse para simplificar circuitos lógicos y formas proposicional
El documento define las proposiciones, conectivos lógicos y diferentes formas proposicionales como disyunción inclusiva y exclusiva, negación y sus tablas de verdad. También describe circuitos lógicos y métodos de demostración como demostración indirecta.
El documento presenta conceptos sobre proposiciones en lógica matemática. Define una proposición como una oración que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Explica que las proposiciones pueden ser simples o compuestas dependiendo de si contienen operadores lógicos. Finalmente, introduce leyes y métodos de demostración en álgebra proposicional como la ley de doble negación y el método directo de demostración.
La lógica matemática se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas lógicos:
1. La SINTAXIS de lenguajes formales, es decir, las reglas de formación de símbolos interpretables construidos a partir de un determinado alfabeto, y las reglas de inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de axiomas.
2. La SEMÁNTICA de las lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones. En general las expresiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo es siempre consistente.
3. Los ASPECTOS METALÓGICOS de las lenguas formales, como por ejemplo la completitud semántica, la consistencia, la compacidad o la existencia de modelos de cierto tipo, etc.
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Este documento presenta una introducción a la matemática discreta. Se divide en siete capítulos que cubren lógica, teoría de conjuntos, álgebras de Boole, combinatoria, recursión, aritmética y aritmética modular. El autor explica los conceptos básicos de cada tema y proporciona ejemplos ilustrativos. El documento también incluye una bibliografía de referencias utilizadas.
Este documento presenta una introducción a la matemática discreta. En la primera sección se cubren temas de lógica, conjuntos y álgebras de Boole. La segunda sección trata sobre combinatoria y principios como la biyección, adición, multiplicación y división. La tercera sección introduce conceptos de recursión como sucesiones, ecuaciones de recurrencia y demostraciones por inducción. Finalmente, se incluyen secciones sobre aritmética, aritmética modular y otros temas. El documento provee una guía general de los principales conceptos
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo:
1) Las definiciones de proposición, conectivos lógicos como negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
2) Tablas de verdad para cada conectivo.
3) Formas proposicionales como tautologías, contradicciones y falacias.
4) Leyes y métodos de demostración como directo, contrarrecíproco y reducción al absurdo.
5) La rel
Este documento presenta una introducción a la matemática discreta. En la primera sección, introduce conceptos básicos de lógica como proposiciones, valores de verdad, y conectores lógicos como "y", "o", "no", "implica", y "si y solo si". También cubre conjuntos y álgebras de Boole. Las siguientes secciones cubren temas como combinatoria, recursión, aritmética, y aritmética modular. El documento proporciona una guía general para el curso y referencias bibliográficas utilizadas
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo las definiciones de proposiciones, variables, constantes lógicas, tablas de verdad, y métodos de demostración. Explica que una proposición es una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa, y que las proposiciones se pueden combinar usando conectores lógicos como "y", "o", "no", para formar proposiciones compuestas. También resume los principales métodos de demostración en lóg
Este documento describe las proposiciones lógicas, incluyendo su definición, ejemplos y conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción y condicional. Explica las tablas de verdad para los conectivos y cómo se pueden usar para verificar proposiciones. También cubre conceptos como tautologías, contradicciones y leyes del álgebra proposicional, así como métodos de demostración como directo, indirecto, reducción al absurdo y por contraposición. Por último, presenta un ejemplo
Este documento trata sobre los valores de verdad y los conectores lógicos en la lógica proposicional. Explica que una proposición puede ser verdadera o falsa, y que las proposiciones compuestas evalúan todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples que las componen. Luego define los principales conectores lógicos como la conjunción, disyunción, implicación, negación y bicondicional, y muestra sus tablas de verdad. Finalmente, explica conceptos como tautolog
1. Bloque I: El Saber Filosófico.
Tema 4: La Lógica Formal.
1. Las proposiciones y sus tipos.
Una proposición es una oración enunciativa, es decir, una oración que afirma o
niega algo y que puede ser verdadera o falsa.
Las proposiciones pueden ser simples o complejas. Una proposición simple es
aquella que no puede descomponerse en partes que sean a su vez proposiciones. Las
proposiciones simples se llaman también proposiciones atómicas. Una proposición
compleja es aquella que puede descomponerse en proposiciones simples, también son
llamadas proposiciones moleculares.
2. Los símbolos de la lógica proposicional.
2.1. Variables proposicionales.
En la Lógica Proposicional, para simbolizar las proposiciones simples se recurre
a las letras minúsculas del alfabeto, comenzando por la letra “p” y después siguiendo el
orden alfabético.
Para representar los valores de verdad de una proposición utilizaremos dos
números el “1” y el “0”. El número “1” representa que esa proposición es verdadera, y
el número “0” representa que esa proposición es falsa.
2.2. Constantes proposicionales: Las conectivas o conectores.
Se denomina constantes lógicas o conectivas a las partículas que sirven para
unir proposiciones simples y convertirlas en fórmulas complejas. Las constantes
lógicas más usuales son las siguientes:
a. Negador.
Se representa con este símbolo “”, y produce fórmulas del tipo “ p”, “no es
cierto que p”, “no es p”, “es imposible que p”, etc.
Por definición el negador es aquella conectiva que invierte el valor de verdad de
una proposición, es decir, la convierte en verdadera si es falsa, y en falsa si es
verdadera. Esto se representa con la siguiente tabla de verdad:
p
1 0
0 1
2. b. Conjuntor.
El conjuntor se representa con el símbolo “”, y da lugar a fórmulas del tipo
“pq”, “p y q”.
Por definición el conjuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas
complejas que son verdaderas únicamente cuando son verdaderas las dos
proposiciones que las componen. Se representa con la siguiente tabla de verdad:
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
c. Disyuntor.
El disyuntor se representa con el símbolo “ ”, dando lugar a fórmulas del tipo
pq, “p o q”.
Por definición, el disyuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas
complejas que son verdaderas, cuando al menos una de las proposiciones que las
componen es verdadera. Únicamente una disyunción es falsa cuando son falsas las
proposiciones que la componen. Esto se representa con la siguiente tabla:
p q p q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
d. Condicional o implicador.
La condicional o implicador se representa con el símbolo“”, dando lugar a
fórmulas del tipo “p q”, “sí p entonces q” o también “cuando p entonces q”.
Por definición la condicional es una conectiva que da lugar a fórmulas complejas
que son verdaderas en todos los casos menos cuando siendo verdadero el antecedente
(antes de la flecha) es falso el consecuente.
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
3. e. Bicondicional o coimplicador.
La bicondicional o coimplicadora se representa con el símbolo “”, dando
lugar a fórmulas del tipo “pq”, “p coimplica a q”, o también “si y sólo si p entonces
q”, o “únicamente si p entonces q”.
La Bicondicional es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que
son verdaderas cuando coinciden los valores de verdad de las proposiciones que las
componen.
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2.3. Los símbolos auxiliares: Paréntesis ( ) y corchetes [ ].
Al igual que en matemáticas estos símbolos marcan la prioridad de una
conectiva sobre otra. Cuando en una fórmula hay varias conectivas tienen que quedar
claro cual de ellas es la conectiva dominante: siempre será aquella que quede fuera del
paréntesis. Por ejemplo:
(p q) r: Disyunción.
p (q r): Conjunción.
Sin embargo existen excepciones por las llamadas reglas de economía de
paréntesis. Estas leyes son las siguientes:
1ª. El implicador y coimplicador tienen prioridad sobre el resto de las conectivas,
esto quiere decir que no es necesario marcar con paréntesis que se trata de la conectiva
dominante.
2ª. En fórmulas en las que se repite la misma conectiva si se trata de una conjunción
o de una disyunción no es necesario marcar la prioridad con paréntesis.
3. Tablas de verdad para cualquier fórmula.
Partiendo de las tablas de verdad de las conectivas es posible establecer la tabla de
verdad de cualquier fórmula compleja. Para ello basta con descomponer la fórmula y
establecer las tablas de verdad de sus componentes hasta alcanzar la tabla de verdad de
la fórmula total. El procedimiento es el siguiente:
1º. Se simplifica las variables simples (p, q, r)
2º. Aparecen en la tabla las variables negadas.
3º. Aparecerán los paréntesis más simples y después por orden de complejidad
los demás paréntesis que aparecen en la fórmula hasta alcanzar la fórmula completa.
4º. Posteriormente, tienen que aparecer las posibles combinaciones de valores
de verdad de las diferentes fórmulas simplificadas, para ello nos remitiremos a las
tablas de las conectivas.
4. 5º. Se ha de interpretar la tabla:
- Puede ser una contradicción: cuando la fórmula siempre es falsa.
p p
p p pp
1 0 0
0 1 0
- Puede ser una tautología: cuando una fórmula es siempre verdadera.
p p
p p pp
1 0 1
0 1 1
- Puede ser una indeterminación: Cuando una fórmula a veces es falsa y a
veces es verdadera.
p q
p q q p q
1 1 0 0
1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
Ejercicio nº 1.
(p q) ¬ q ¬ p
p q ¬ p ¬ q p q (p q) ¬ q Formula Completa
1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1
Es una indeterminación.
5. Ejercicio nº 2.
¬ [(p q) ¬ (¬ p ¬ q)]
p q ¬ p ¬ q p q ¬ p ¬ q ¬ (¬ p ¬ q) (p q) ¬ (¬ p ¬ q) F.C.
1 1 0 0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0 1 0
Es una Contradicción.
Ejercicio nº 3.
(p q) r ¬ p
p q r ¬ p p q (p q) r (p q) r ¬ p
1 1 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1
Es una indeterminación.
Ejercicio nº 4.
¬ (p q) ¬ p ¬ q
p q ¬ p ¬ q p q ¬ (p q) ¬ p ¬ q ¬ (p q) ¬ p ¬ q
1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1 1 1
Es una Tautología.
6. 4. Tautología, contradicción e indeterminación.
Una tautología es una fórmula que es siempre verdadera sean cuales sean los
valores de verdad de sus componentes. Las tautologías se denominan también leyes
lógicas.
Una contradicción es una fórmula que es siempre falsa sean cuales sean los
valores de verdad de sus componentes.
Una indeterminación es una fórmula que en unos casos es verdadera y en otros
falsa, en función de los valores de verdad de sus componentes.
5. La validez de los razonamientos.
Un razonamiento es un proceso lógico consistente en extraer o inferir un
enunciado al que llamamos conclusión a partir de otros enunciados a los que llamamos
premisas.
Un enunciado es válido o coherente cuando de las premisas se sigue
necesariamente la conclusión. Es decir, cuando las premisas son verdaderas a la vez, la
conclusión tiene que ser necesariamente verdadera.
Para formalizar argumentos seguiremos el siguiente procedimiento:
1º. Se formalizará cada una de las premisas que aparecen en líneas distintas y
enumeraremos cada una de ellas.
2º. Se formalizará la conclusión que aparecerá precedida de este signo: |-------,
que se lee “luego...”, “de modo que...”, “por consiguiente...”, etc.
Ejemplo de argumento:
“Si apruebo 1º de Bachillerato será que los profesores son muy generosos o que mi
madre ha hecho una novena a los santos. No es el caso que mi madre haga novenas a
los santos, luego los profesores son muy generosos”
Formalización del argumento:
1. p (q r)
2. ¬ r
|----------------
3. q
5.1. Comprobación de la validez de los argumentos mediante tablas de verdad.
Se puede hacer de dos maneras:
1º. Consiste en convertir el argumento en una fórmula condicional en la que el
antecedente está formado por las premisas unidas mediante conjuntores y la
conclusión es el consecuente. Se hace la tabla de verdad de dicha fórmula condicional
y si el argumento es coherente el resultado será que esa fórmula es una tautología.
7. Ejemplo:
(p q) (p q)
1. p q
2. p
|-----------
3. q
p q p q (p q) p (p q) (p q)
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
Es unas tautología
2º. Consiste en compara los valores de verdad de las premisas con los valores
de verdad de la conclusión. De tal forma que si el argumento es coherente, cuando las
premisas son verdaderas a la vez la conclusión también lo es.
Ejemplo:
1. p q
2. ¬ q
|--------------
3. ¬ p
p q ¬ q ¬ p p q
1 1 0 0 1
1 0 1 0 0
0 1 0 1 1
0 0 1 1 1
8. Ejercicio nº 1.
Comprobar la validez de los siguientes argumentos mediante tablas de verdad de
dos formas distintas
1. (p q) r
2. ¬ r
|-------------------
3. p q
[(p q) r] ¬ r (p q)
Antecedente Consecuente
p q r ¬ r p q (p q) r [(p q) r] ¬ r F.C.
1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
Es una Tautología.
5.2. Comprobación de la validez de los argumentos utilizando reglas de
inferencia.
El procedimiento de las tablas de verdad resulta demasiado largo y complicado
cuando las proposiciones que intervienen en el argumento llevan muchas variables
proposicionales, por tanto se recurre a un procedimiento más rápido que son las reglas
de inferencia.
Las reglas de inferencia son verdades lógicas por definición (definen las
conectivas) que nos permiten trasformar las premisas dadas hasta alcanzar la
conclusión. El procedimiento a seguir será también numerar las premisas transformadas
haciendo constar en cada línea la regla de inferencia que hemos utilizado y las líneas a
las que la hemos aplicado.
En último lugar, en la última línea, tiene que aparecer la conclusión que
queremos demostrar.
9. 5.3. Comprobación de reglas y esquemas de inferencia.
Las reglas de inferencia son normas que establece un modo válido de operar
pasando de unas proposiciones a otras. Por ejemplo, una regla de inferencia es el Modus
Ponens: de una implicación y la afirmación de su antecedente tomadas como premisas
se puede deducir el consecuente.
Como la definición de las reglas debe ser adaptada el lenguaje de la lógica, las
reglas de inferencia se formalizan en esquemas de inferencia. Por tanto, un esquema de
inferencia es una representación formal de una reglas de inferencia. En estas
formalizaciones vamos a utilizar las conectivas pero en lugar de usar las variables
proposionales (p, q, r, etc), usaremos las letras mayúsculas del alfabeto empezando por
la letra “A”.
Por ejemplo: Modus Pones
A B
A
|-----------
B
6. Principales reglas de inferencia y ejercicios de aplicación.
Las reglas de inferencia se clasifican en reglas básicas y derivadas.
Las reglas básicas son verdades por definición, únicamente definen conectivas.
Las reglas derivadas se demuestran a partir de las reglas básicas.
Las reglas básicas se corresponden con cada una de las conectivas, bien para
introducirlas o bien para eliminarlas.
6.1. Las Reglas Básicas.
a. Las Reglas Básicas del conjuntor son dos:
La de Introducción del Conjuntor.
De una proposición tomada como premisa y otra proposición también tomada como
premisa, podemos concluir que la conjunción de ambas es necesariamente verdadera.
Esquema:
A
B
|-----------
A B I.C. (Introducción del Conjuntor)
10. La de Eliminación del Conjuntor.
De una conjunción tomada como premisa podemos concluir que cualquiera de
las dos proposiciones que la componen es verdadera. Esquema:
A B A B
|--------- |---------
A B E.C (Eliminación del conjuntor)
Ejercicio nº 1.
1. p q |-- q r
2. r
3. q E.C. (1)
4. q r I.C. (2,3)
Ejercicio nº 2.
1. p
2. q |----- (p q) s
3. r s
4. s E.C. (3)
5. p q I.C. (1,2)
6. (p q) s I.C. (4,5)
Ejercicio nº 3
1. p q r |---- r s
2. s
3. r
4. rs
b. Reglas del disyuntor.
Regla de Introducción del disyuntor: de una proposición cualquiera tomada
como premisa podemos concluir su disyunción con cualquier otra.
A
|--------- A
A B I.D |--------
BA I.D
11. Ejercicio nº 1.
1. p q |--- (r s) p
2. r
3. r s I.D. (2)
4. p E.C. (1)
|-----------------------------------------
5. (r s) p I.C. (3,4)
Nota: La Introducción al disyuntor se aplica a más de una solo línea.
Regla de Eliminación del Disyuntor: de una disyunción tomada como premisa
sí suponiendo cada una de las proposiciones que la componen llegamos a la misma
conclusión, dicha conclusión es necesariamente verdadera.
A B
A
.
.
.
C
B
.
.
.
C
|---------------
C E.D.
Nota: Lo que hay dentro del paréntesis son suposiciones, no está demostrado.
Puede haber tantas líneas como sean necesarias.
Ejercicio nº 1.
1. (p q) (p r) |-------- p
2. p q
3. p E.C (2)
4. p r
5. p E.C (4)
|-------------------------------------
6. p E.D.(1, 2-3, 4-5)
12. Ejercicio nº 2.
1. (p q ) (p r) |-------- p r
2. p q
3. p E.C (2)
4. p r I.D. (3)
5. p r
6. p E.C (5)
7. p r I.D. (6)
|----------------------------------------------
8. p r E.D (1, 2 – 4, 5 - 7)
c. Reglas del Implicador.
Eliminación del implicador o Modus Ponens: De una implicación y su
antecedente tomados como premisas, podemos concluir que el consecuente es
necesariamente verdadero
A B
A
|-----------
B
Ejercicio nº 1.
1. p → q
2. p |------ s
3. q r → s
4. q M. P. (1,2)
5. q r I.D. (4)
6. s M. P. (3,5)
Introducción del Implicador: Si suponiendo una premisa cualquiera llagamos
a otra premisa, podemos afirmar que la implicación, en la que el antecedente es la
premisa supuesta y el consecuente la proposición a la que hemos llegado, es verdadera.
A
B
·
·
·
C
|---------------
B → C I.I. (Introducción del implicador)
13. Ejercicio nº 1.
1. p → q |---- p → r
2. q → r
3. p
4. q M.P. (1,3)
5. r M.P. (2,4)
|-------------------------------------
6. p → r I.I. (3 – 5)
Se usa para demostrar implicaciones:
1º. Se supone el antecedente.
2º. Se sacan líneas hasta llegar al consecuente.
3º. Una vez logrado, la implicación está demostrada.
Ejercicio nº 2.
1. p → q |---- p → s t
2. q r → s
3. p
4. q M.P. (1, 3)
5. q r I.D. ( 4 )
6. s M.P. (2,5)
7. s t I.D. ( 6 )
|--------------------------------------------
8. p → s t I.I. ( 3 -7)
Ejercicio nº 3.
1. p → q |---- p → s
2. r
3. q r → s
4. p
5. q M.P. (1,4)
6. q r I.C. (2,5)
7. s M.P. (3,6)
|-----------------------------------------
8. p → s I.I. (4 – 7)
14. d. Reglas del negador.
Eliminación del Negador o Doble Negación: La doble negación equivale a
una afirmación, y a la inversa, una afirmación equivale a una doble negación.
¬ ¬ A
|---------
A
Ejercicio nº 1.
1. ¬ ¬ p |---- r
2. p → q
3. ¬ ¬(q → r)
4. p E.N. (1)
5. q M.P. (2,4)
6. q → r E.N. (3)
|-----------------------------------------
7. r M.P (5,6)
Regla de Introducción del Negador o “procedimiento de reducción al
absurdo”: No es estrictamente una regla sino un procedimiento alternativo a todo lo que
hemos hecho hasta ahora. Hemos utilizado hasta el momento la denominada
“deducción natural” o “vía directa”, que consiste en transformar las premisas
mediante reglas hasta alcanzar la conclusión. Sin embargo, el procedimiento de
reducción al absurdo consiste en suponer lo contrario de lo que queremos demostrar
(la conclusión negada), se procede después deductivamente hasta alcanzar cualquier
contradicción. Una contradicción es una formula del tipo A ¬ A.
A
¬ B (Siendo ¬ B lo contrario de la conclusión)
·
·
·
C ¬ C
|-----------
B
15. 6.2. Las Reglas Derivadas.
a. Modus Tollens: de una implicación y la negación de su consecuente, tomadas
como premisas, podemos concluir la negación del antecedente.
A B
¬ B
|-----------
¬ A
Ejercicio nº 1.
1. p → ¬ q |------- ¬ p
2. q
|------------------------
3. ¬ p M.T. (1,2)
Ejercicio nº 2.
1. p → q |---- ¬ r
2. ¬ q
3. r → p
4. ¬ p M.T. (1,2)
|------------------------------
5. ¬ r M.T. (3,4)
Ejercicio nº 3. Combinación de Reducción al absurdo y Modus Tollens.
1. ¬ p → q |---- r
2. ¬ p
3. q → r
4. ¬ r
5. ¬ q M.T. (3,4)
6. p M.T. (1,5)
7. p ¬ p I.C. (2,6)
|----------------------------------
8. r R.A. (4 -7)
16. b. Regla de Contraposición: de una implicación podemos deducir otra
implicación, en la que el antecedente y el consecuente se inviertan y ambas se nieguen.
AB
|----------------
¬ B ¬ A C.P. Contraposición.
c. Silogismo Disyuntivo: de una disyunción y la negación de una de las
proposiciones que la componen, podemos concluir que la otra es necesariamente
verdadera.
A B A B
¬ A ¬B
|--------- |-----------
B S.D. A S.D.
¬ p ¬ q ¬ p ¬ q
p q
|------------ |------------
¬ q ¬ p
Ejercicio nº 1. Aplicación de Modus Ponens, Modus Tollens y Silogismo
disyuntivo.
1. ¬ p ¬ q
2. q
3. ¬ p r |------ ¬ t
4. s ¬ r
5. s ¬ t
6. ¬ p S.D. (1,2)
7. r M.P. (3,6)
8. ¬ s M.T. (4,7)
|------------------------------
9. ¬ t S.D. (5,8)
17. d. Dilemas: de una disyunción y dos implicaciones tomadas como premisas,
podemos deducir el consecuente de las implicaciones o el antecedente de las
implicaciones, o una disyunción, siguiendo los siguientes esquemas:
A B ¬ A ¬ B
A → C C → ¬A
B → C C → ¬ B
|------------ |---------------
C ¬ C
A B ¬ A ¬ B
A → C C → ¬ A
B → C C → ¬ B
|------------ |---------------
C D ¬ C ¬ D
e. Propiedades de las Conectivas:
Propiedad Conmutativa de la Conjunción: de una conjunción tomada como
premisa podemos concluir otra conjunción en la que las proposiciones que la componen
invierten su lugar.
A B
|-----------
B A C.C.
Propiedad Conmutativa de la Disyunción: de una disyunción tomada como
premisa podemos deducir otra disyunción, en la que la proposición que la componen
invierten su lugar.
A B
|----------
B A C.D.
Propiedad Asociativa de la Conjunción: de una conjunción tomada como
premisa podemos concluir otra conjunción en la que las proposiciones que aparecen se
agrupen con paréntesis de forma diferente.
A (B C)
|---------------------
(A B) C A.C.
Nota: dada esta propiedad aplicamos la ley de economía de paréntesis, es decir,
en las conjunciones no usamos paréntesis.
18. Propiedad Asociativa de la Disyunción: de una disyunción tomada como
premisa, podemos concluir otra disyunción en la que las proposiciones que aparecen se
agrupan con paréntesis de forma diferente.
A (B C)
|----------------
(A B) C A.D.
Propiedad Distributiva de al Conjunción: de una conjunción tomada como
premisa, si una de las proposiciones es una disyunción podemos concluir una
disyunción entre dos conjunciones.
A (B C)
|-------------------------
(A B) (A C) D.C.
Propiedad Distributiva de la Disyunción: de una disyunción tomada como
premisa, si una de las proposiciones es una conjunción podemos concluir una
conjunción entre dos disyunciones.
A (B C)
|--------------------------
(A B) (A C) D.D.
Ejercicio nº 1.
1. (p q) (p r)
2. (p q) → s |----- s t
3. (p r) → s
Por reglas derivadas
4. s t Dile (1,2,3)
Por reglas básicas
4. p q
5. s M.P. (2,4)
6. s t I.D. (5)
7. p r
8. s M.P. (3,7)
9. s t I.D. (8)
|-------------------------------------------------------
10. s t E.D. (1, 4 - 6, 7 - 9)
19. Ejercicio nº 2.
1. p q
2. (q p) → (r s) |----- ¬ t
3. t → ¬( s r)
4. q p C.D. (1)
5. r s M.P. (2,4)
|----------------------------------------
6. ¬ t M.T. (3,5)
Ejercicio nº 3.
1. p (q r)
2. ¬ r |------- (p q) s
3. s
4. (p q) r A.D. (1)
5. p q S.D. (2,4)
|-------------------------------------------
6. (p q) s I.C. (3,5)
Ejercicio nº 4.
1. p ( q ¬ r)
2. ¬ (p ¬ r) |----- s
3. (p q) → s
4. (p q) (p ¬ r) D.D. (1)
5. p q S.D. (2,4)
|-------------------------------------------------
6. s M.P. (3,5)
Propiedad Transitiva de la Implicación o Silogismo Hipotético: de dos
implicaciones tomadas como premisas, si el consecuente de una de ellas es el
antecedente de la otra, se puede concluir una nueva implicación con el antecedente de la
primera y el consecuente de al segunda.
A → B
B → C
|--------------
A → C S.H.
20. f. Leyes de Interdefinición: estas leyes se utilizan para transformar unas
conectivas en otras.
Las más conocidas de estas leyes son las llamadas Leyes de Morgan, que se
utilizan para trasformar conjunciones en disyunciones, y a al inversa. El procedimiento
es el siguiente:
- Se niega la fórmula completa , se niega cada una de las proposiciones que
forman la conjunción o la disyunción, y se cambia la conectiva.
A B
|---------------------
¬ (¬ A ¬ B) D.M.
A B
|---------------------
¬ (¬ A ¬ B) D.M.
Ejercicio nº 1. Trasformar por las Leyes de Morgan las siguientes
proposiciones:
p q
a. |---------------------
¬ (¬ p ¬ q) D.M.
¬ ( p ¬ q)
b. |-------------------------------------------------------
¬ ¬ ( ¬ p ¬ ¬ q) = ( ¬ p q) D.M.
p ¬ q
c. |-----------------
¬ (¬ p q) D.M
21. Ejercicio nº 2.
1. ¬ (p ¬ q)
2. (¬ p q) → r |---------- t
3. s
4. ¬ ( ¬ r ¬ s) → t
5. ¬ p q D.M. (1)
6. r M.P. (2,5)
7. r s I.C. (3,6)
8. ¬ ( ¬ r ¬ s) D.M. (7)
|------------------------------------------
9. t M.P. (4,8)
Ejercicio nº 3.
1. p q
2. r → ¬ q |------------- ¬ (r s)
3. q E.C. (1)
4. ¬ r M.T. (2,3)
5. ¬ r ¬ s I.D. (4)
|---------------------------------------
6. ¬ (r s) D.M. (5)
Interdefinición del Implicador: Una implicación se puede trasformar en una
conjunción negando toda la fórmula, el antecedente se mantiene con el mismo valor y el
consecuente se niega.
A → B
|------------------
¬ (A ¬ B)