Temario de diseño de máquinas tercer curso IM

Dra. Estivaliz Lozano Minguez
Diseño de Máquinas I
Grado en Ingeniería Mecánica, 3er Curso
CURSO 2017/2018
T1. Ejes
Diseño de Máquinas II
Grado en Ingeniería Mecánica, 3er Curso

2
T1.Ejes
1. Introducción
2. Determinación de fuerzas actuantes
3. Determinación de esfuerzos
4. Estado tensional
5. Diseño a fatiga
6. Otras consideraciones de diseño
Índice

3
Necesariolimitar
Componente que transmite movimiento de rotación y potencia.
DEFORMACIONES:
- Torsión
- Flexión
VIBRACIONES
1. Introducción
Los ejes (también llamados árboles) son componentes rotatorios, que
se utilizan para soportar elementos giratorios.
Sometidos a:
Torsión
Flexión
Axiales

4
Necesario limitar DEFORMACIONES
Los eje deben diseñarse con una rigidez adecuada.
VIBRACIONES
1. Introducción (cont.)
- Rotura frágil (impactos, Tª baja)
- Deformación dúctil (sobrecargas)
- Creep
Otros tipos
de fallos:
Fallo más común: FATIGA
Normalmente el fallo comienza en el punto más
desfavorable, típicamente en un concentrador de
tensiones. Pero también puede producirse en:
marcas o muescas, grietas de temple,
discontinuidades, etc.

5
2
d
T
Fc 
- Potencia transmitida (P)
- Velocidad de rotación() 
P
T  0


cte

motor
2. Determinación de fuerzasactuantes.
2.1.Transmisión por cadena.
Datos
0

T
𝛼
Se debe de cumplir la condición de equilibrio:
- Momento torsor (T)
- Aceleración angular (α)
Un ramal está tenso (transmite
potencia) y el otro descargado
Fc: fuerza del ramal cargado
Transmite potencia entre dos ejes paralelos sin invertir el sentido de giro.
Permite la transmisión de potencia a larga distancia.
𝝎 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒆𝒏 (𝒓𝒂𝒅
𝒔)
𝟏 𝒓𝒑𝒎 =
𝟐 ∙ 𝝅
𝟔𝟎
(𝒓𝒂𝒅)

7
- T1 Par motor
- T2 Par resistente
2
2 2
2
1
1
0
1
d
T
d
T
F
F 


p
F
F
F 

 2
0
1
0
1
F
F
2.2.Transmisión por correade fricción.
F1: fuerza del ramal más cargado
F0: fuerza del ramal menos cargado
Fp: fuerza de pretensado
Si las correas han sido pretensadas tendremos:

8
2.2.Transmisión por correade fricción.
F1: fuerza del ramal más cargado
Fo: fuerza del ramal menos cargado
Fp: fuerza de pretensado

10
2.3.Engranajescilíndricos de dientesrectos.
Ventajas
 Pueden ser utilizados para transmitir gran cantidad de potencia (del orden de 50.000 Kw).
 Son muy fiables.
 Son los más sencillos de diseñar y fabricar. Un proyecto de accionamiento que cuente con
engranajes rectos puede ver la luz con mayor celeridad.
 Ofrecen una relación de velocidad constante y estable.
 Un engranaje de dientes rectos tiende a ser más eficiente si se compara con un helicoidal del
mismo tamaño.
 Al tener los dientes paralelos a su eje, no se produce empuje axial. De esta forma, los ejes de
los engranajes se pueden montar fácilmente con rodamientos de bolas.
Inconvenientes
 Ofrecen baja velocidad.
 Los engranajes rectos producen mucho ruido cuando se opera a altas velocidades.
 Los dientes del plato experimenta una gran cantidad de estrés.
 Solo se pueden usar para la trasmisión de potencia a corta distancia.
 Comparados con otros tipos de engranajes son menos resistentes.
Transmiten potencia entre dos ejes paralelos invirtiendo el
sentido de giro. Sus dientes están montados en ejes paralelos.
Se utilizan para grandes reducciones de engranaje, velocidades
pequeñas y velocidades medias.

12
Fuerzas que aparecen sobre la rueda conducida
𝐹𝑛: Fuerza de contacto entre dos perfiles de evolvente engranados, es normal a
la superficie en el punto de contacto
𝐹𝑡: Fuerza tangencial
𝐹𝑟: Fuerza radial
ángulo de
presión
¿GENERAR TORSIÓN?
La fuerza tangencial 𝑭𝒕 es la única capaz de generar torsión en el eje

13
T1 Par motor
T2 Par resistente
α
tg
F
F
/
d
T
/
d
T
F
t
r
t



2
2 2
2
1
1
a
a
Ft en sentido
contrario a ω
Ft en el mismo
sentido que ω
Iguales y opuestos a los
torsores generados por las Ft

15


a
cos
)
(
2







s
r
s
a
t
s
t
F
F
sen
F
F
tg
F
F
d
T
F
2.4.Engranajescónicos de dientes rectos.
𝑑: diámetro primitivo medio
α: ángulo de presión
γ: semiángulo de cono
𝐹𝑎: Fuerza axial
Transmiten potencia entre dos ejes no paralelos
invirtiendo el sentido de giro. Aparecen fuerzas
axiales.
La fuerza axial Fa
siempre va dirigida
hacia la base del
cono

2.5.Engranajescilíndricos helicoidales.
Ventajas
 Los dientes en ángulo operan de forma más gradual, permiten que el funcionamiento del engrane
se ejecute de forma más suave y silenciosa comparado con los engranajes rectos o ruedas
dentadas.
 Los helicoidales son más duraderos y son ideales para aplicaciones de alta carga, ya que tienen
más dientes en contacto.
 La carga en cualquier momento se distribuye sobre varios ejes, lo que genera menor desgate.
 Pueden transmitir movimiento y potencia bien sea entre los ejes paralelos o ejes en ángulo
recto.
Inconvenientes
 Aparece un empuje resultante a lo largo del eje del engranaje, que necesita ser acomodado por
los cojinetes de empuje adecuados.
 Hay un mayor grado de deslizamiento de fricción entre los dientes. Esto genera un mayor
desgaste al trabajar y la necesidad de sistemas de engrase.
 La eficiencia del engranaje helicoidal es menor debido al contacto entre sus dientes que produce
un empuje axial y genera calor. Una mayor pérdida de energía reduce la eficiencia.
 Mayor coste de fabricación que los engranajes rectos.
Los helicoidales suelen aplicarse en maquinaria donde los
accionamientos han de funcionar con mayores rangos de velocidad
(maquinaria de hostelería) o menores niveles sonoros (automoción,
climatización). También suelen aplicarse en máquinas donde se
necesita una transmisión de par alta con ejes paralelos.

18
Motor
Piñón
motriz

a
tg
F
F
tg
F
F
d
T
d
T
F
t
a
t
t
r
t






2
2 2
2
1
1
2.5.Engranajescilíndricos helicoidales.
Datos básicos de un engranaje helicoidal:
𝑑 diámetro primitivo
β ángulo de inclinación de la hélice
𝛼𝑛 ángulo de presión en el plano normal
𝛼𝑡 ángulo de presión en el plano circunferencial
𝐹𝑎: Fuerza axial
𝑡𝑔𝛼𝑛 = 𝑡𝑔𝛼𝑡 𝑐𝑜𝑠𝛽

21
1.- Calculo de reacciones en apoyos
- Isostático: SF = 0 y SM = 0
- Hiperestático: considerar propiedades elásticas
2.- Cálculo del diagrama de momentos torsores
3.- Cálculo del diagrama de axiales
4.- Cálculo del diagrama de cortantes
5.- Cálculo del diagrama de momentos flectores
El momento flector en una sección es igual al momento de las fuerzas
externas con respecto a dicha sección más los momentos externos
(considerando únicamente un lado del eje a partir de la sección).
- Se consideran las fuerzas aplicadas como concentradas (excepto en ejes
cortos)
- Habitualmente las fuerzas aplicadas sobre un eje no son coplanares
 siendo necesario realizar un análisis de flectores en 2 planos
Obteniendo los momentos flectores totales a partir de su composición
vectorial
6.- Determinación de sección más crítica
- Considerar simultáneamente torsores, flectores y axiales
- Consideración simultánea de los diámetros de los ejes y de los
concentradores de tensión
3. Determinación de esfuerzosen el eje.

22
Una sección de un eje puede estar sometida a:
4. Estadotensional.
Momento Flector (M)
• Tensión máxima se da en los puntos mas alejados de la fibra neutra.
• Flector estacionario + giro  sa  Ma
Esfuerzo Cortante (V)
• Distribución de tensiones tangenciales (t)
• Sección circular maciza 𝛺 =
4
3
• t pequeña (o nula) en puntos de smax y smin
• Generalmente no se considera
Esfuerzo Axial (N)
• Genera s constante en toda la superficie
Momento Torsor (T)
• Distribución de tensiones tangenciales, t, nula en el centro de la sección y
máxima en la superficie.
• El valor máximo se calcula como:
3
32
2 d
π
M
d
I
M
σ 

2
4
d
π
N
A
N
σ 

3
16
2 d
π
T
d
J
T
τ 

𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑉
𝐴
𝛺

23
Una sección de un eje puede estar sometida a esfuerzos:
• Axiales
• Cortantes
• Flectores
• Torsores
En la superficie:
• En general: Estado Bidimensional
• Con cargas superficiales normales o tangenciales Estado Tridimensional
4. Estadotensional(cont).
Consideraremos:
• Secciones transversales circulares → 𝑀𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑀𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑦
2
+ 𝑀𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑧
2
• Estado bidimensional (es el más usual)

24
Se calcula una tensión uniaxial alternante equivalente con las componentes alternantes (ED)
        2
xya
2
xa
2
zxa
2
yza
2
xya
2
xa
za
2
za
2
ya
xa 3
+
+
6
+
-
+
-
+
-
2
1
= t
s
t
t
t
s
s
s
s
s
s
s 


ya
u
a
Se calcula una tensión uniaxial media con las componentes medias
xm
zm
ym
xm
u
m s
s
s
s
s 



Empleando el criterio de Goodman y el concepto de tensión estática equivalente:
X
S
S
S u
u
a
N
u
u
m
eq 

 s
s
s
2
3
2
3
3
2
16
3
32
32
4

























d
T
d
M
S
S
d
M
d
F
X
S a
a
N
u
m
x
u




2
2
3
3
2
4
3
32
32
4
a
a
N
u
m
x
u
T
M
d
S
S
d
M
d
F
X
S













5. Diseño a fatiga.
5.1.Material dúctil.
En el caso más general, sobre los puntos de la superficie de un eje se tiene un
estado tensional definido por tensiones normales medias y alternantes en dirección
del eje x (𝜎𝑥𝑚 y 𝜎𝑥𝑎) y tensiones tangenciales medias y alternantes (𝜏𝑥𝑦𝑚 y 𝜏𝑥𝑦𝑎)
Considerando sección
circular maciza

25
Si no hay momento medio Mm pero si concentrador de tensiones:
Por último, en el caso más habitual que no hay momento medio, y además
T es constante (Ta = 0):
   
3
1
2
2
4
3
32














 a
t
f
a
fl
f
N
T
k
M
k
S
X
d

3
1
32













N
a
fl
f
S
M
k
X
d

Si no hay fuerzas axiales , o estas generan tensiones medias de compresión, no
se consideran en el cálculo a fatiga, y se puede despejar d:
 
3
1
2
2
4
3
1
32




















 a
a
N
u
m
T
M
S
S
M
X
d

2
2
3
3
2
4
3
32
32
4
a
a
N
u
m
x
u
T
M
d
S
S
d
M
d
F
X
S













5.1.Material dúctil(cont.)
𝒌𝒇 = 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒅𝒖𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒃𝒊𝒅𝒐 𝒂 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒍𝒂
𝑺𝑵 se calcula con todos los factores
modificativos pero sin tener en cuenta el
concentrador 𝒌𝒇 que se introducirá en la
fórmula de Goodman multiplicando a las
cargas.

5.2.Material frágil.
Tensión alternante uniaxial equiv. a partir
de las componentes alternantes con el
criterio modificado de Möhr, multiplicada
por su correspondiente kf :
Tensión media uniaxial equiv. a partir
de las componentes medias con el
criterio de M.T.N., multiplicada por su
correspondiente kt:
u
a
s u
m
s
RECTA DE GOODMAN
1
=
+
ut
m
S
SN
a s
s
CURVA DE SMITH
m
ut
m
ut
N
a
S
S
S s

s


s

27
Poca rigidez lateral (deflexión excesivas)  Mal
funcionamiento de elementos del eje  Reducción
de vida
Deformación lateral por flexión excesiva en
engranajes Mayor juego  Mayores choques
Deformación angular excesiva Sobrecarga rodamientos y mal reparto de carga
en el diente del engranaje
Ordenes de magnitud:
Ejes de transmisión: deformación lateral por flexión < 1 mm/m
Ejes de maquinaria industrial sin engranajes < 0,3 mm/m
Engranaje cilíndrico dientes rectos: - pendiente < 0,0005 rad
- separación < 0,01·m ( m módulo en mm)
en helicoidales: - separación < 0,005 ·m
Cojinetes de aceite con L/D<1 : - pendiente < 0,0009 rad
Rodamientos: rígido de bolas - pendiente < 0,0010 – 0,0030 rad
rodillos - pendiente < 0,0005 – 0,0012 rad
6. Otras consideraciones.
6.1.Deflexiones.

28
Opción 1: Elementos finitos: Ansys, Solidworks, Inventor, ..
Opción 2: Teoremas de Mohr
 



B
A
A
B
BA dx
I
E
M



 
 


B
A
B
BA dx
I
E
M
x
x
t
6.1.Deflexiones.Cálculo.
1º Teorema:
2º Teorema:

29
Opción 1: Elementos finitos: Ansys, Solidworks, Inventor, ..
Opción 2: Teoremas de Mohr
 



B
A
A
B
BA dx
I
E
M


  
 


B
A
B
BA dx
I
E
M
x
x
t
 i1 (rad)
t i1 (m)
1º Calcularemos
el diagrama de
Momentos
2º Representaremos las
áreas del diagrama de
Momentos escaladas M/EI
6.1.Deflexiones.Cálculo.
1º Teorema: 2º Teorema:
Método de cálculo

30
1º Momentos
2º M/EI
6.1.Deflexiones.Cálculo.Ejemplo
t i1 (m)
 i1 (rad)
Datos
𝐹2 = 300𝑁
𝐹5 = −500𝑁
𝐸 = 2,06 ∙ 1011
𝑁/𝑚2
𝐼 =
𝜋 ∙ 𝑑4
64

32
Un eje debe diseñarse para ser capaz de transmitir la potencia
de una forma uniforme.
Baja rigidez torsional  Problemas de vibraciones  fallo prematuro
de cojinetes, engranajes.
Aplicaciones concretas (máquina herramienta)  Utilizan árboles muy rígidos
torsionalmente
Ordenes de magnitud máximos de la deformación torsional:
Árboles de maquinaria industrial: 1º en una longitud igual a 20·d (máx. 2º/m)
otras fuentes 0,25 º/m a 2,5 º/m
Árboles de levas de motores: giro menor de 0.5º en toda la longitud
Ángulo girado
Para sección circular maciza:
G
J
L
T
θ



G
d
π
L
T
θ




 4
32
6.2.Rigideztorsional.
G módulo de rigidez torsional
Para el acero 𝐺 = 8,1 ∙
1010𝑁
𝑚2
J momento de inercia polar de la sección
L
Ángulo siempre en radianes

33
Estimación de la velocidad crítica.
En una primera aproximación, se puede despejar la velocidad de giro igualando las
energías potenciales acumuladas y las cinéticas de rotación de masas.
 



i
i
i
p y
g
m
E
2
1
 



i
i
i
c )
y
(
m
E 2
2
1
 



 2
i
i
i
i
y
m
y
m
g

ecuación de Rayleigh
(la velocidad obtenida es mayor que la real)
6.3.Vibraciones.Velocidadcrítica.
Debidos a inexactitud de fabricación el centro de masas no está perfectamente
posicionado en el eje de giro. A mayor velocidad, mayor fuerza centrífuga lo que
puede ocasionar, a partir de una velocidad crítica, el fallo del eje o de los elementos
que soporta.

Referencias
• Capítulo 4 Introducción al Diseño de Máquinas (pag.111-142)
BESA GONZÁLVEZ, A.J. y VALERO CHULIÁ, F.J. (2016). Diseño de
Máquinas. Valencia: Universitat Politècnica de València
(nº 524)

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