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Trabajo Práctico de Matemática de 2 Año (4ta Evaluación de 1er Lapso) 25%
NOMBRE Y APELLIDO: Sutano C.l: 22.222.222 SECCIÓN: yy
1. Juan tiene 21 años menos que Andrés y sabemos que la suma de sus edades es 47.
¿Qué edad tiene cada uno?
Solución: Sea J la edad de Juan, y sea A la edad de Andrés, entonces, según el
enunciado del problema tenemos:
a) Juan tiene 21 años menos que Andrés: J = A-21 (a)
b) Las suma de sus edades es 47: J+A = 47 (b)
Sustituimos (a) en (b) y obtenemos:
J+A=47A-21+A=472A-21=472A=47+212A=68𝐴 =
68
2
→ 𝐴 = 34 (c)
Sustituyendo (c) en (a) obtenemos:
𝐽 = 𝐴 − 21 → 𝐽 = 34 − 21 → 𝐽 = 13
Entonces; Juan Tiene 13 años y Andrés tiene 34 años.
Respuesta: Juan = 13 años y Andrés = 34 años
2. José tiene 14 años más que Pablo. Calcular la edad que tienen si se sabe que dentro
de 10 años el doble de la edad de José es el triple que la de Pablo.
Solución: Sea J la edad de José y sea P la edad de Pablo, entonces, según el enunciado
del problema tenemos:
José tiene 14 años más que Pablo: J=P+14 (a);
Calcular la edad que tienen si se sabe que dentro de 10 años el doble de la edad de José
es el triple que la de Pablo: +10+2J=3P (b).
Sustituyendo (a) en (b) obtenemos:
10 + 2( 𝑃 + 14) = 3𝑃 → 10 + 2𝑃 + 28 = 3𝑃 → 10 + 28 = 3𝑃 − 2𝑃 → 38 = 𝑃 (c)
Sustituyendo (c) en (a) obtenemos:
𝐽 = 𝑃 + 14 → 𝐽 = 38 + 14 → 𝐽 = 52
Entonces tenemos que: José tiene 52 años y Pablo tiene 38 años.
Solución: José = 52 años y Pablo = 38 años
3. Un señor tiene dos hijos, de los cuales uno tiene 6 años más que el otro. Después de
dos años, la edad del padre será doble de la suma de las edades de sus hijos, y hace
6 años su edad era 4 veces la suma de las edades de sus hijos. ¿Cuál es la edad de
cada uno?
Solución:
Sea x la edad actual del primer hijo y sea x+6 la edad actual del segundo hijo del señor,
y sea P la edad del señor, entonces según el enunciado del problema tenemos:
RELACIÓN HACE 6 AÑOS (-6) EDAD ACTUAL DESPUES DE 2
AÑOS(+2)
HIJO MENOR X-6 X X+2
HIJO MAYOR X+6-6X X+6 X+6+2 X+8
PADRE P-6 P P+2
ECUACIÓN P-6=4[(X-6)+X] (1) P+2=2[(X+2)+(X+8)] (2)
De (1) tenemos:
𝑃 − 6 = 4[( 𝑋 − 6) + 𝑋] → 𝑃 − 6 = 4𝑋 − 24 + 4𝑋 → 𝑃 − 6 = 8𝑋 − 24 → 𝑃 = 8𝑋 − 24 + 6
P=8X-18 (1)
De (2) tenemos:
𝑃 + 2 = 2[( 𝑋 + 2) + ( 𝑋 + 8)] → 𝑃 + 2 = 2[ 𝑋 + 2 + 𝑋 + 8] → 𝑃 + 2 = 2[2𝑋 + 10]
𝑃 + 2 = 4𝑋 + 20 → 𝑃 = 4𝑋 + 20 − 2 → 𝑷 = 𝟒𝑿 + 𝟏𝟖 (𝟐)
Igualamos el valor de P en ambas ecuaciones tenemos
8𝑋 − 18 = 4𝑋 + 18 → 8𝑋 − 4𝑋 = 18 + 18 → 4𝑋 = 36 → 𝑋 =
36
4
→ 𝑋 = 9
Luego tenemos:
La edad del menor: 9 años
La edad del mayor: x+69+6=15 años
La edad del Señor, se halla sustituyendo a X = 9 en (1) ó en (2)
Si lo sustituimos en (1) obtenemos: P=8X-18P=8(9)-18P=72-18=54, el señor P=54 años
Si lo sustituimos en (2) obtenemos: P=4X+18P=4(9)+18P=36+18P=54 años
Respuesta: El hijo menor tiene 9años, el hijo mayor tiene 15 años y el padre tiene 54 años.
4. Un hombre legó su fortuna de la siguiente manera: la mitad para su esposa, la
tercera parte para su hijo, la octava parte para su sobrina y 180 mil Bs. a una
institución benéfica ¿Cuánto dinero poseía?
Solución: Sea X la fortuna que legó un hombre. Entonces, según el enunciado del
problema tenemos:
La esposa recibió la mitad, es decir:
1
2
𝑋
El Hijo recibió una tercera parte, es decir:
1
3
𝑋
La Sobrina recibió la octava parte, es decir:
1
8
𝑋
A una Institución benéfica recibió 180.000 Bs.
¿Cuánto dinero poseía?
𝑋 =
1
2
𝑋 +
1
3
𝑋 +
1
8
𝑋 + 180.000 → 𝑋 =
12𝑋+8𝑋+3𝑋+24𝑥180.000
24
24𝑋 = 23𝑋 + 4.320.000 → 𝑋 = 4.320.000
Poseía la siguiente cantidad: 4.320.000.
Entonces:
A la esposa le tocó:
1
2
𝑋 →
4.320.000
2
→ 2.160.000; Esposa: 2.160.000
El Hijo le tocó:
1
3
𝑋 →
4.320.000
3
→ 1.440.000; Hijo: 1.440.000
La Sobrina le tocó:
1
8
𝑋 →
4.320 .000
8
→ 540.000; Sobrina: 540.000 Bs
La Institución Benéfica: 180.000
Comprobación:
4.320.000= 2.160.000 Bs. + 1.440.000 Bs. + 540.000 Bs. + 180.000
4.320.000=4.320.000
5. En un salón hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de
niños. Si en total hay 35 personas ¿Cuántos niños, niñas y adultos hay?
Solución: Sea X el número de personas en el salón. Del enunciado del problema
tenemos: Niños: x; Niñas: 2x y Adultos:
1
2
𝑥
Luego en el salón había en total 35 personas, es decir:
2𝑥 + 𝑥 +
1
2
𝑥 = 35 →
4𝑥 + 2𝑥 + 1
2
= 35 → 7𝑥 = 70 → 𝑥 = 10
Niñas: 2x2(10) Niñas: 20
Adultos:
1
2
𝑥 →
1
2
(10) → 5 Adultos: 5
Solución: Hay en el salón: 10 niños, 20 niñas y 5 adultos.
6. HALLAR EL RESULTADO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
6.1. -4 + 5-{3 + 4-5-[7 + (6 + 4)-7-6]+4}=
Solución:
−4 + 5 − {3 + 4 − 5 − [7 + (6 + 4) − 7 − 6] + 4} =
+1-{7-5-[7+(10)-7-6]+4}=+1-{2-[4]+4}=+1-{2}=+1-2=-1
6.2. 14 + {5^[4 + 3 + (-2 + 4 + 5)]-7 + 8} =
14+{5-[4+3+(-2+4+5)]-7+8}=14+{5-[7+7]-7+8}=14+{5-14+1}=14-8=6
6.3. -1 +{5 +4- 3 - 7+1-9 - [5 + 8-7 - (7+8 + 6 - 9-23)-5] + 3}=
-1+{-9-[6-(21-32)-5]+3}=-1+{-9-[-10]+3}=-1+{4}=3
7. Resuelve los siguientes problemas aplicando el mcm y MCD:
7.1. Una habitación tiene 230 cm de largo por 120cm de ancho. Queremos cubrir el
suelo con baldosas cuadradas. ¿Cuánto tienen que medir estas baldosas?
¿Cuántas baldosas harán falta?
Solución:
Si las baldosas son cuadradas, tienen todos los lados iguales, para cubrir el suelo
sin que haya que partir ninguna baldosa la medida de sus lados debe ser un divisor
de las medidas de la habitación, o dicho de otra forma 230 cm y 120 cm deben ser
múltiplos de la medida del lado de la baldosa. Para ello calculamos los divisores de
230cm y 120cm y vemos si hay algún divisor común. Para hallar todos los
divisores de un número dividimos el Número en producto de sus factores primos,
así tenemos:
230 2 120 2
115 5 60 2
23 23 30 2
1 15 3
5 5
1
230=21·51·231 120=23·31·51
Para hallar todos los divisores de 230 y 120, debemos observar los exponentes de
los factores primos. Para calcular la cantidad de divisores de los números dados
debemos poner entre paréntesis los exponentes de los factores primos, le sumamos
1 y lo multiplicamos entre sí, así nos da la cantidad de divisores de cada número
dado (230 y 120). Asi:
Nº Divisores de 230: (1+1)·(1+1)·(1+1)=2·2·2 = 8, es decir hay 8 divisores
Ahora para calcular los divisores hacemos un cuadro y ponemos en la primera fila
las potencias 2 desde 0 hasta 1 y en la primera columna las potencias de 5 desde 0
hasta 1. Después multiplicamos las potencias de 2 por cada una de las potencias de
5 y escribimos el resultado en la fila y columnas de la forma siguiente:
20=1 21=2
50=1 1 2
51=5 5 10
Ahora hacemos otro cuadro colocando los números que nos han salido en la parte
sombreada del cuadro en la primera fila y las potencias de 23 desde 0 hasta 1 que
era su exponente en la primera columna, así:
1 2 5 10
230=1 1 2 5 10
231=23 23 46 115 230
Todos los números que aparezcan en la parte sombreada del cuadro serán los
divisores de 230. Divisores de 230: 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115, 230
Lo mismo lo hacemos que el número 120, es decir:
Nº Divisores de 120: (3+1)·(1+1)·(1+1)=4·2·2 = 16, es decir hay 16 divisores.
Ahora para calcular los divisores hacemos un cuadro y ponemos en la primera fila
las potencias 2 desde 0 hasta 3 y en la primera columna las potencias de 3 desde 0
hasta 1. Después multiplicamos las potencias de 2 por cada una de las potencias de
3 y escribimos el resultado en la fila y columnas de la forma siguiente:
20=1 21=2 22=4 23=8
30=1 1 2 4 8
31=3 3 6 12 24
Ahora hacemos otro cuadro colocando los números que nos han salido en la parte
sombreada del cuadro en la primera fila y las potencias de 5 desde 0 hasta 1 que era
su exponente en la primera columna, así:
1 2 3 4 6 8 12 24
50=1 1 2 3 4 6 8 12 24
51=5 5 10 15 20 30 40 60 120
Todos los números que aparezcan en la parte sombreada del cuadro serán los
divisores de 120. Divisores de 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 23, 24, 30, 40,
60, 120.
Ahora debemos hallar cuales divisores son comunes a ambos números, es decir:
Divisores 230: 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115, 230
Divisores 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Luego los divisores comunes a los números 230 y 120 son: 1, 2, 5 y 10.
Ahora debemos recordar que las baldosas deben ser cuadradas, es decir, los lados
son iguales, así obtenemos: baldosas cuadradas que tienen las siguientes medidas:
1cm·1cm=1cm2; 2cm·2cm=4cm3; 5cm·5cm=25cm2 y 10cm·10cm=100cm2.
Ahora bien el área o superficie de la habitación es: AH=alturaxancho, es decir:
230cm x 120 cm = 27.600 cm2.
De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2  1 cm2=27.600 baldosas
De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2  4 cm2=6.900 baldosas
De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2  1 cm2=1.104 baldosas
De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2  100 cm2=276 baldosas
Medidas Baldosas Cantidad
1 cm2 27600 baldosas
4 cm2 6900 baldosas
25 cm2 1.104 baldosas
100 cm2 276 baldosas
7.2. Juan tiene la gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas.
Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez. ¿De aquí a cuantas horas
volverá a tomárselos a la vez?
Solución: En este caso utilizaremos el mínimo común múltiplos (m.c.m). Estamos
buscando un número de horas que será mayor o igual a 12, entonces buscamos un
número que sea múltiplo de 8 y 12 a la vez. Hallamos sus factores primos, es decir:
8 2 12 2
4 2 6 2
2 2 3 3
1 1
8=23 12=22·3
El mínimo común múltiplo de 8 y 12, es el producto de los factores primos
comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir:
m.c.m.(8,12)=23·3 m.c.m.(8,12)=24.
De todos los múltiplos que lo cumplen nos interesa el más pequeño
Respuesta: Luego, dentro de 24 horas se tomará ambos medicamentos a la vez.
7.3. Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días. Hoy han coincidido
los dos. ¿De aquí a cuantos días volverán a coincidir en casa de su Abuela?.
Solución: Como la anterior pregunta, esta se resuelve por m.c.m.
Estamos buscando un número de días que será mayor o igual a 15, entonces
buscamos un número que sea múltiplo de 12 y 15 a la vez. Hallamos sus factores
primos, es decir:
12 2 15 3
6 2 5 5
3 3 1
1
12=22·3 15=3·5
El mínimo común múltiplo de 12 y 15, es el producto de los factores primos
comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir:
m.c.m.(12,15)=22·3·5 m.c.m.(12,15)=60.
De todos los múltiplos que lo cumplen nos interesa el más pequeño
Respuesta: Luego, dentro de 60 días Luis y Ana coincidirán a la vez.
7.4. La edad en años que tiene un individuo es múltiplo de dos, más uno; múltiplo
de siete, más seis; y múltiplo de diez menos uno. ¿Qué edad tiene?
Solución:
Los números 2, 7 y 10 son múltiplos de sí mismo respectivamente. Hallamos el
mínimo común múltiplo (mcm) de 2, 7 y 10, para ello hacemos su descomposición
factorial:
2= 2x1: 7=7x1; 10=2x5x1
Ahora calculamos el mcm, recordando que el mcm de los varios números es el
producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir,
mcm(2,7,10)=1x2x5x7 =70
La edad será el número más próximo al mcm que cumpla los tres requisitos así:
Resultado: Edad del individuo: 70-1=69
7.5. Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista es circular. El
primero tarda 10 segundos, el segundo tarda 11 segundos y el tercero tarda 12
segundos a dar una vuelta a la pista. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán
juntos por la línea de salida?
Solución: Como en el caso anterior se trata de un problema similar a los dos
anteriores, es decir, se trata del m.c.m. Debemos hallar los factores primos de los
segundos 10, 11 y 12. Luego tenemos:
10 2 11 11 12 2
5 5 1 6 2
1 3 3
1
10=2·5 11=11·1 12=22·3
Luego m.c.m (10,11,12)=22·3·5·11m.c.m.(10,11,12)=660 segundos
Entonces los tres caballos pasarán juntos por la línea de salida a los 660 segundos.
Caballo 1: 66010=66 vueltas;
Caballo 2: 66011= 60 vueltas;
Caballo 3: 66012=55 vueltas.
7.6. Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16,
20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?
Solución: Este problema se resuelve por m.c.m.
Debemos hallar los factores primos de los grupos de soldados: 16, 20 y 25. Luego
tenemos:
16 2 20 2 25 5
8 2 10 2 5 5
4 2 5 5 1
2 2 1
1
16=24 20=22·5 25=52
Luego m.c.m (16,20,25)=24·52·m.c.m.(16,20,25)= 400
Respuesta: son 400 soldados
8. Para preparar un pastel, se necesita: 1/3 de un paquete de 750 g de azúcar, 3/4 de
un paquete de harina de kilo, 3/5 de una barra de mantequilla de 200 g- Halla, en
gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel.
Solución: Para preparar el pastel se necesitan los siguientes ingredientes:
Productos Paquetes Se Utiliza Porción
Azúcar (A) 750 gr 1
3
𝐴 =
1
3
(750)
250 gr
Harina (H) 1000 gr 3
4
𝐻 =
3
4
(1000)
750 gr
Mantequilla (M) 200 gr 3
5
𝑀 =
3
5
(200)
120 gr
Total Mezcla 1.120 gr
Respuesta: Para preparar el pastel hacen falta 1.120 gr de la mezcla
9. Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual.
¿Qué edad tiene Pedro?
Solución: Sea x la edad actual de Pedro.
24 =
2
3
𝑥 → 72 = 2𝑥 → 36 = 𝑥
Luego Pedro tiene 36 años.
TRUCOS:
COMO SÉ CUANDO EMPLEAR MCD (MÁXIMO COMÚN DIVISOR) Ó mcm
(MINIMO COMÚN MÚLTIPLO). BUENO VA DEPENDER DEL PROBLEMA, ES
DECIR, EMPLEAREMOS:
mcm CUANDO EN EL
PROBLEMAS SE
HABLE DE:
MCD CUANDO EN EL
PROBLEMAS SE
HABLE DE:
“…VUELVEN A COINCIDIR….”
“….SE REPITEN…..”
“…SE ENCUENTRÁN….”
* Lo que me pidencalcularseráun
númeromásalto que losdadosen
el problema.
* El mcm de variosnúmerosesel
productode los factoresprimos
comunesyno comunescon su
mayor exponente.
“…MÁXIMO….”
“….MAYOR…..”
“…EL MÁS GRANDE….”
“…MÁS AMPLIO…”
“…MÁS CABEN…”
* Lo que me pidencalcularseráun
númeroMenora losdadosenel
problema.
* El MCD de variosnúmerosesel
productode los factoresprimos
comunesconsu Menor exponente.

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Trabajo practico de matemática de 2 año

  • 1. Trabajo Práctico de Matemática de 2 Año (4ta Evaluación de 1er Lapso) 25% NOMBRE Y APELLIDO: Sutano C.l: 22.222.222 SECCIÓN: yy 1. Juan tiene 21 años menos que Andrés y sabemos que la suma de sus edades es 47. ¿Qué edad tiene cada uno? Solución: Sea J la edad de Juan, y sea A la edad de Andrés, entonces, según el enunciado del problema tenemos: a) Juan tiene 21 años menos que Andrés: J = A-21 (a) b) Las suma de sus edades es 47: J+A = 47 (b) Sustituimos (a) en (b) y obtenemos: J+A=47A-21+A=472A-21=472A=47+212A=68𝐴 = 68 2 → 𝐴 = 34 (c) Sustituyendo (c) en (a) obtenemos: 𝐽 = 𝐴 − 21 → 𝐽 = 34 − 21 → 𝐽 = 13 Entonces; Juan Tiene 13 años y Andrés tiene 34 años. Respuesta: Juan = 13 años y Andrés = 34 años 2. José tiene 14 años más que Pablo. Calcular la edad que tienen si se sabe que dentro de 10 años el doble de la edad de José es el triple que la de Pablo. Solución: Sea J la edad de José y sea P la edad de Pablo, entonces, según el enunciado del problema tenemos: José tiene 14 años más que Pablo: J=P+14 (a); Calcular la edad que tienen si se sabe que dentro de 10 años el doble de la edad de José es el triple que la de Pablo: +10+2J=3P (b). Sustituyendo (a) en (b) obtenemos: 10 + 2( 𝑃 + 14) = 3𝑃 → 10 + 2𝑃 + 28 = 3𝑃 → 10 + 28 = 3𝑃 − 2𝑃 → 38 = 𝑃 (c) Sustituyendo (c) en (a) obtenemos: 𝐽 = 𝑃 + 14 → 𝐽 = 38 + 14 → 𝐽 = 52 Entonces tenemos que: José tiene 52 años y Pablo tiene 38 años. Solución: José = 52 años y Pablo = 38 años 3. Un señor tiene dos hijos, de los cuales uno tiene 6 años más que el otro. Después de dos años, la edad del padre será doble de la suma de las edades de sus hijos, y hace 6 años su edad era 4 veces la suma de las edades de sus hijos. ¿Cuál es la edad de cada uno? Solución: Sea x la edad actual del primer hijo y sea x+6 la edad actual del segundo hijo del señor, y sea P la edad del señor, entonces según el enunciado del problema tenemos: RELACIÓN HACE 6 AÑOS (-6) EDAD ACTUAL DESPUES DE 2 AÑOS(+2) HIJO MENOR X-6 X X+2 HIJO MAYOR X+6-6X X+6 X+6+2 X+8 PADRE P-6 P P+2 ECUACIÓN P-6=4[(X-6)+X] (1) P+2=2[(X+2)+(X+8)] (2)
  • 2. De (1) tenemos: 𝑃 − 6 = 4[( 𝑋 − 6) + 𝑋] → 𝑃 − 6 = 4𝑋 − 24 + 4𝑋 → 𝑃 − 6 = 8𝑋 − 24 → 𝑃 = 8𝑋 − 24 + 6 P=8X-18 (1) De (2) tenemos: 𝑃 + 2 = 2[( 𝑋 + 2) + ( 𝑋 + 8)] → 𝑃 + 2 = 2[ 𝑋 + 2 + 𝑋 + 8] → 𝑃 + 2 = 2[2𝑋 + 10] 𝑃 + 2 = 4𝑋 + 20 → 𝑃 = 4𝑋 + 20 − 2 → 𝑷 = 𝟒𝑿 + 𝟏𝟖 (𝟐) Igualamos el valor de P en ambas ecuaciones tenemos 8𝑋 − 18 = 4𝑋 + 18 → 8𝑋 − 4𝑋 = 18 + 18 → 4𝑋 = 36 → 𝑋 = 36 4 → 𝑋 = 9 Luego tenemos: La edad del menor: 9 años La edad del mayor: x+69+6=15 años La edad del Señor, se halla sustituyendo a X = 9 en (1) ó en (2) Si lo sustituimos en (1) obtenemos: P=8X-18P=8(9)-18P=72-18=54, el señor P=54 años Si lo sustituimos en (2) obtenemos: P=4X+18P=4(9)+18P=36+18P=54 años Respuesta: El hijo menor tiene 9años, el hijo mayor tiene 15 años y el padre tiene 54 años. 4. Un hombre legó su fortuna de la siguiente manera: la mitad para su esposa, la tercera parte para su hijo, la octava parte para su sobrina y 180 mil Bs. a una institución benéfica ¿Cuánto dinero poseía? Solución: Sea X la fortuna que legó un hombre. Entonces, según el enunciado del problema tenemos: La esposa recibió la mitad, es decir: 1 2 𝑋 El Hijo recibió una tercera parte, es decir: 1 3 𝑋 La Sobrina recibió la octava parte, es decir: 1 8 𝑋 A una Institución benéfica recibió 180.000 Bs. ¿Cuánto dinero poseía? 𝑋 = 1 2 𝑋 + 1 3 𝑋 + 1 8 𝑋 + 180.000 → 𝑋 = 12𝑋+8𝑋+3𝑋+24𝑥180.000 24 24𝑋 = 23𝑋 + 4.320.000 → 𝑋 = 4.320.000 Poseía la siguiente cantidad: 4.320.000. Entonces: A la esposa le tocó: 1 2 𝑋 → 4.320.000 2 → 2.160.000; Esposa: 2.160.000 El Hijo le tocó: 1 3 𝑋 → 4.320.000 3 → 1.440.000; Hijo: 1.440.000 La Sobrina le tocó: 1 8 𝑋 → 4.320 .000 8 → 540.000; Sobrina: 540.000 Bs La Institución Benéfica: 180.000 Comprobación: 4.320.000= 2.160.000 Bs. + 1.440.000 Bs. + 540.000 Bs. + 180.000 4.320.000=4.320.000 5. En un salón hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de niños. Si en total hay 35 personas ¿Cuántos niños, niñas y adultos hay? Solución: Sea X el número de personas en el salón. Del enunciado del problema tenemos: Niños: x; Niñas: 2x y Adultos: 1 2 𝑥 Luego en el salón había en total 35 personas, es decir:
  • 3. 2𝑥 + 𝑥 + 1 2 𝑥 = 35 → 4𝑥 + 2𝑥 + 1 2 = 35 → 7𝑥 = 70 → 𝑥 = 10 Niñas: 2x2(10) Niñas: 20 Adultos: 1 2 𝑥 → 1 2 (10) → 5 Adultos: 5 Solución: Hay en el salón: 10 niños, 20 niñas y 5 adultos. 6. HALLAR EL RESULTADO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: 6.1. -4 + 5-{3 + 4-5-[7 + (6 + 4)-7-6]+4}= Solución: −4 + 5 − {3 + 4 − 5 − [7 + (6 + 4) − 7 − 6] + 4} = +1-{7-5-[7+(10)-7-6]+4}=+1-{2-[4]+4}=+1-{2}=+1-2=-1 6.2. 14 + {5^[4 + 3 + (-2 + 4 + 5)]-7 + 8} = 14+{5-[4+3+(-2+4+5)]-7+8}=14+{5-[7+7]-7+8}=14+{5-14+1}=14-8=6 6.3. -1 +{5 +4- 3 - 7+1-9 - [5 + 8-7 - (7+8 + 6 - 9-23)-5] + 3}= -1+{-9-[6-(21-32)-5]+3}=-1+{-9-[-10]+3}=-1+{4}=3 7. Resuelve los siguientes problemas aplicando el mcm y MCD: 7.1. Una habitación tiene 230 cm de largo por 120cm de ancho. Queremos cubrir el suelo con baldosas cuadradas. ¿Cuánto tienen que medir estas baldosas? ¿Cuántas baldosas harán falta? Solución: Si las baldosas son cuadradas, tienen todos los lados iguales, para cubrir el suelo sin que haya que partir ninguna baldosa la medida de sus lados debe ser un divisor de las medidas de la habitación, o dicho de otra forma 230 cm y 120 cm deben ser múltiplos de la medida del lado de la baldosa. Para ello calculamos los divisores de 230cm y 120cm y vemos si hay algún divisor común. Para hallar todos los divisores de un número dividimos el Número en producto de sus factores primos, así tenemos: 230 2 120 2 115 5 60 2 23 23 30 2 1 15 3 5 5 1 230=21·51·231 120=23·31·51 Para hallar todos los divisores de 230 y 120, debemos observar los exponentes de los factores primos. Para calcular la cantidad de divisores de los números dados debemos poner entre paréntesis los exponentes de los factores primos, le sumamos
  • 4. 1 y lo multiplicamos entre sí, así nos da la cantidad de divisores de cada número dado (230 y 120). Asi: Nº Divisores de 230: (1+1)·(1+1)·(1+1)=2·2·2 = 8, es decir hay 8 divisores Ahora para calcular los divisores hacemos un cuadro y ponemos en la primera fila las potencias 2 desde 0 hasta 1 y en la primera columna las potencias de 5 desde 0 hasta 1. Después multiplicamos las potencias de 2 por cada una de las potencias de 5 y escribimos el resultado en la fila y columnas de la forma siguiente: 20=1 21=2 50=1 1 2 51=5 5 10 Ahora hacemos otro cuadro colocando los números que nos han salido en la parte sombreada del cuadro en la primera fila y las potencias de 23 desde 0 hasta 1 que era su exponente en la primera columna, así: 1 2 5 10 230=1 1 2 5 10 231=23 23 46 115 230 Todos los números que aparezcan en la parte sombreada del cuadro serán los divisores de 230. Divisores de 230: 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115, 230 Lo mismo lo hacemos que el número 120, es decir: Nº Divisores de 120: (3+1)·(1+1)·(1+1)=4·2·2 = 16, es decir hay 16 divisores. Ahora para calcular los divisores hacemos un cuadro y ponemos en la primera fila las potencias 2 desde 0 hasta 3 y en la primera columna las potencias de 3 desde 0 hasta 1. Después multiplicamos las potencias de 2 por cada una de las potencias de 3 y escribimos el resultado en la fila y columnas de la forma siguiente: 20=1 21=2 22=4 23=8 30=1 1 2 4 8 31=3 3 6 12 24 Ahora hacemos otro cuadro colocando los números que nos han salido en la parte sombreada del cuadro en la primera fila y las potencias de 5 desde 0 hasta 1 que era su exponente en la primera columna, así: 1 2 3 4 6 8 12 24 50=1 1 2 3 4 6 8 12 24 51=5 5 10 15 20 30 40 60 120 Todos los números que aparezcan en la parte sombreada del cuadro serán los divisores de 120. Divisores de 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 23, 24, 30, 40, 60, 120. Ahora debemos hallar cuales divisores son comunes a ambos números, es decir:
  • 5. Divisores 230: 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115, 230 Divisores 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Luego los divisores comunes a los números 230 y 120 son: 1, 2, 5 y 10. Ahora debemos recordar que las baldosas deben ser cuadradas, es decir, los lados son iguales, así obtenemos: baldosas cuadradas que tienen las siguientes medidas: 1cm·1cm=1cm2; 2cm·2cm=4cm3; 5cm·5cm=25cm2 y 10cm·10cm=100cm2. Ahora bien el área o superficie de la habitación es: AH=alturaxancho, es decir: 230cm x 120 cm = 27.600 cm2. De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2  1 cm2=27.600 baldosas De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2  4 cm2=6.900 baldosas De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2  1 cm2=1.104 baldosas De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2  100 cm2=276 baldosas Medidas Baldosas Cantidad 1 cm2 27600 baldosas 4 cm2 6900 baldosas 25 cm2 1.104 baldosas 100 cm2 276 baldosas 7.2. Juan tiene la gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez. ¿De aquí a cuantas horas volverá a tomárselos a la vez? Solución: En este caso utilizaremos el mínimo común múltiplos (m.c.m). Estamos buscando un número de horas que será mayor o igual a 12, entonces buscamos un número que sea múltiplo de 8 y 12 a la vez. Hallamos sus factores primos, es decir: 8 2 12 2 4 2 6 2 2 2 3 3 1 1 8=23 12=22·3 El mínimo común múltiplo de 8 y 12, es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir: m.c.m.(8,12)=23·3 m.c.m.(8,12)=24. De todos los múltiplos que lo cumplen nos interesa el más pequeño Respuesta: Luego, dentro de 24 horas se tomará ambos medicamentos a la vez. 7.3. Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días. Hoy han coincidido los dos. ¿De aquí a cuantos días volverán a coincidir en casa de su Abuela?. Solución: Como la anterior pregunta, esta se resuelve por m.c.m. Estamos buscando un número de días que será mayor o igual a 15, entonces buscamos un número que sea múltiplo de 12 y 15 a la vez. Hallamos sus factores primos, es decir:
  • 6. 12 2 15 3 6 2 5 5 3 3 1 1 12=22·3 15=3·5 El mínimo común múltiplo de 12 y 15, es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir: m.c.m.(12,15)=22·3·5 m.c.m.(12,15)=60. De todos los múltiplos que lo cumplen nos interesa el más pequeño Respuesta: Luego, dentro de 60 días Luis y Ana coincidirán a la vez. 7.4. La edad en años que tiene un individuo es múltiplo de dos, más uno; múltiplo de siete, más seis; y múltiplo de diez menos uno. ¿Qué edad tiene? Solución: Los números 2, 7 y 10 son múltiplos de sí mismo respectivamente. Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 2, 7 y 10, para ello hacemos su descomposición factorial: 2= 2x1: 7=7x1; 10=2x5x1 Ahora calculamos el mcm, recordando que el mcm de los varios números es el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir, mcm(2,7,10)=1x2x5x7 =70 La edad será el número más próximo al mcm que cumpla los tres requisitos así: Resultado: Edad del individuo: 70-1=69 7.5. Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista es circular. El primero tarda 10 segundos, el segundo tarda 11 segundos y el tercero tarda 12 segundos a dar una vuelta a la pista. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida? Solución: Como en el caso anterior se trata de un problema similar a los dos anteriores, es decir, se trata del m.c.m. Debemos hallar los factores primos de los segundos 10, 11 y 12. Luego tenemos: 10 2 11 11 12 2 5 5 1 6 2 1 3 3 1 10=2·5 11=11·1 12=22·3 Luego m.c.m (10,11,12)=22·3·5·11m.c.m.(10,11,12)=660 segundos Entonces los tres caballos pasarán juntos por la línea de salida a los 660 segundos. Caballo 1: 66010=66 vueltas; Caballo 2: 66011= 60 vueltas; Caballo 3: 66012=55 vueltas.
  • 7. 7.6. Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son? Solución: Este problema se resuelve por m.c.m. Debemos hallar los factores primos de los grupos de soldados: 16, 20 y 25. Luego tenemos: 16 2 20 2 25 5 8 2 10 2 5 5 4 2 5 5 1 2 2 1 1 16=24 20=22·5 25=52 Luego m.c.m (16,20,25)=24·52·m.c.m.(16,20,25)= 400 Respuesta: son 400 soldados 8. Para preparar un pastel, se necesita: 1/3 de un paquete de 750 g de azúcar, 3/4 de un paquete de harina de kilo, 3/5 de una barra de mantequilla de 200 g- Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel. Solución: Para preparar el pastel se necesitan los siguientes ingredientes: Productos Paquetes Se Utiliza Porción Azúcar (A) 750 gr 1 3 𝐴 = 1 3 (750) 250 gr Harina (H) 1000 gr 3 4 𝐻 = 3 4 (1000) 750 gr Mantequilla (M) 200 gr 3 5 𝑀 = 3 5 (200) 120 gr Total Mezcla 1.120 gr Respuesta: Para preparar el pastel hacen falta 1.120 gr de la mezcla 9. Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro? Solución: Sea x la edad actual de Pedro. 24 = 2 3 𝑥 → 72 = 2𝑥 → 36 = 𝑥 Luego Pedro tiene 36 años.
  • 8. TRUCOS: COMO SÉ CUANDO EMPLEAR MCD (MÁXIMO COMÚN DIVISOR) Ó mcm (MINIMO COMÚN MÚLTIPLO). BUENO VA DEPENDER DEL PROBLEMA, ES DECIR, EMPLEAREMOS: mcm CUANDO EN EL PROBLEMAS SE HABLE DE: MCD CUANDO EN EL PROBLEMAS SE HABLE DE: “…VUELVEN A COINCIDIR….” “….SE REPITEN…..” “…SE ENCUENTRÁN….” * Lo que me pidencalcularseráun númeromásalto que losdadosen el problema. * El mcm de variosnúmerosesel productode los factoresprimos comunesyno comunescon su mayor exponente. “…MÁXIMO….” “….MAYOR…..” “…EL MÁS GRANDE….” “…MÁS AMPLIO…” “…MÁS CABEN…” * Lo que me pidencalcularseráun númeroMenora losdadosenel problema. * El MCD de variosnúmerosesel productode los factoresprimos comunesconsu Menor exponente.