El resumen del documento en 3 oraciones o menos es:
El documento presenta 6 problemas de matemática resueltos. Los problemas involucran ecuaciones, sistemas de ecuaciones, relaciones entre edades, divisores comunes y más. Se dan las soluciones completas para cada problema con los cálculos necesarios.
El documento explica cómo resolver ecuaciones de primer grado. Indica que este tipo de ecuaciones contienen una incógnita (normalmente x) que no está elevada a ninguna potencia. Explica las dos reglas fundamentales para resolverlas: sumar o restar un mismo número a ambos lados, y multiplicar o dividir ambos lados por un mismo número. También muestra cómo aplicar estas reglas para resolver ecuaciones de ejemplo y problemas verbales.
Este documento presenta una variedad de problemas algebraicos de resolución de ecuaciones involucrando adiciones, sustracciones, multiplicaciones y fracciones. Los problemas cubren temas como números, edades, dinero y distribución de cantidades entre personas. El objetivo es que los estudiantes practiquen resolviendo diferentes tipos de ecuaciones algebraicas de una incógnita.
Este documento presenta los aprendizajes esperados sobre ecuaciones en una sesión de matemáticas. Explica cómo traducir situaciones del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático mediante el uso de símbolos y variables, y cómo plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita para resolver problemas. Incluye ejemplos de traducciones y resolución de ecuaciones.
Este documento proporciona una serie de trucos matemáticos y psicotécnicos para facilitar la realización de tests psicotécnicos. Incluye fórmulas simplificadas para calcular porcentajes, multiplicaciones, divisiones, potencias y otras operaciones matemáticas de forma más rápida. El objetivo es proporcionar alternativas sencillas a métodos más complejos para agilizar los cálculos requeridos en las pruebas.
Solucionario planteo de ecuaciones - 5to SecundariaLeoncito Salvaje
Este documento presenta 13 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas involucran ecuaciones, áreas de figuras geométricas, edades y otras operaciones matemáticas. Cada problema viene con su resolución paso a paso para llegar a la respuesta correcta.
Aplicaciones de las ecuaciones lineales a la resolución de problemas verbalesJonathan Miguel Mendoza
Este manual presenta un tópico matemático que a mi entender resulta interesante y práctico, para los estudiantes del bachillerato, su importancia radica en que es un aporte más sobre un tema en el cual nuestros estudiantes son muy flojos y no ponen mucho empeño, debido a que implica razonamiento y destrezas mentales lógicas y cognitivas. Lo dejo en sus manos si a alguien le sirve me lo deja saber por medio de tus comentarios y, pinchando el corazón.
Este documento presenta varios problemas resueltos con ecuaciones de primer grado. Explica cómo designar incógnitas, plantear ecuaciones y resolverlas para determinar valores desconocidos como la cantidad de estuches que Sandra y Rosa confeccionaron o los metros que Carlos y Angélica recorrieron.
T3 ecuaciones racionales, irracionalesANAALONSOSAN
El documento presenta 14 problemas resueltos de ecuaciones con radicales. Cada problema sigue los pasos de definir la ecuación, despejar el radical, elevar al cuadrado, pasar términos y resolver para encontrar la(s) solución(es). Los problemas van desde ecuaciones con un solo radical hasta ecuaciones con dos radicales, y cubren una variedad de situaciones matemáticas.
El documento explica cómo resolver ecuaciones de primer grado. Indica que este tipo de ecuaciones contienen una incógnita (normalmente x) que no está elevada a ninguna potencia. Explica las dos reglas fundamentales para resolverlas: sumar o restar un mismo número a ambos lados, y multiplicar o dividir ambos lados por un mismo número. También muestra cómo aplicar estas reglas para resolver ecuaciones de ejemplo y problemas verbales.
Este documento presenta una variedad de problemas algebraicos de resolución de ecuaciones involucrando adiciones, sustracciones, multiplicaciones y fracciones. Los problemas cubren temas como números, edades, dinero y distribución de cantidades entre personas. El objetivo es que los estudiantes practiquen resolviendo diferentes tipos de ecuaciones algebraicas de una incógnita.
Este documento presenta los aprendizajes esperados sobre ecuaciones en una sesión de matemáticas. Explica cómo traducir situaciones del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático mediante el uso de símbolos y variables, y cómo plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita para resolver problemas. Incluye ejemplos de traducciones y resolución de ecuaciones.
Este documento proporciona una serie de trucos matemáticos y psicotécnicos para facilitar la realización de tests psicotécnicos. Incluye fórmulas simplificadas para calcular porcentajes, multiplicaciones, divisiones, potencias y otras operaciones matemáticas de forma más rápida. El objetivo es proporcionar alternativas sencillas a métodos más complejos para agilizar los cálculos requeridos en las pruebas.
Solucionario planteo de ecuaciones - 5to SecundariaLeoncito Salvaje
Este documento presenta 13 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas involucran ecuaciones, áreas de figuras geométricas, edades y otras operaciones matemáticas. Cada problema viene con su resolución paso a paso para llegar a la respuesta correcta.
Aplicaciones de las ecuaciones lineales a la resolución de problemas verbalesJonathan Miguel Mendoza
Este manual presenta un tópico matemático que a mi entender resulta interesante y práctico, para los estudiantes del bachillerato, su importancia radica en que es un aporte más sobre un tema en el cual nuestros estudiantes son muy flojos y no ponen mucho empeño, debido a que implica razonamiento y destrezas mentales lógicas y cognitivas. Lo dejo en sus manos si a alguien le sirve me lo deja saber por medio de tus comentarios y, pinchando el corazón.
Este documento presenta varios problemas resueltos con ecuaciones de primer grado. Explica cómo designar incógnitas, plantear ecuaciones y resolverlas para determinar valores desconocidos como la cantidad de estuches que Sandra y Rosa confeccionaron o los metros que Carlos y Angélica recorrieron.
T3 ecuaciones racionales, irracionalesANAALONSOSAN
El documento presenta 14 problemas resueltos de ecuaciones con radicales. Cada problema sigue los pasos de definir la ecuación, despejar el radical, elevar al cuadrado, pasar términos y resolver para encontrar la(s) solución(es). Los problemas van desde ecuaciones con un solo radical hasta ecuaciones con dos radicales, y cubren una variedad de situaciones matemáticas.
Ecuaciones de 1er grado. Solución de problemas.math class2408
El documento presenta nueve problemas resueltos mediante ecuaciones de primer grado. Cada problema contiene un enunciado, el planteamiento mediante variables y la resolución para encontrar los valores buscados. Los problemas involucran sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros y variables.
Este documento presenta una serie de 10 problemas de ecuaciones de primer grado. Cada problema contiene un enunciado y tres opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta. El objetivo es seleccionar la opción correcta para cada problema. Al final, se indica que se han acertado todos los problemas correctamente.
Teoria y problemas de sistema de ecuaciones lineales sd48 ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta 15 problemas resueltos sobre sistemas de ecuaciones. Cada problema presenta una situación wordal y dos ecuaciones correspondientes a las incógnitas planteadas. Los problemas se resuelven mediante el método de reducción para hallar los valores de las incógnitas.
El documento describe ecuaciones de primer grado. Explica cómo expresar situaciones del mundo real en lenguaje algebraico utilizando variables y cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la aplicación de reglas como la suma y el producto. Incluye ejemplos de ecuaciones con paréntesis y denominadores comunes.
Este documento proporciona instrucciones sobre divisibilidad, números primos y compuestos, mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD). Explica las reglas de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Luego describe cómo determinar si un número es primo o compuesto y cómo calcular el MCM y MCD de números mediante la factorización de sus factores primos comunes. Finalmente, incluye ejercicios de práctica relacionados con estos temas.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado, identidades y cómo resolver ecuaciones de primer grado despejando la incógnita. Define ecuaciones como igualdades que solo son ciertas para algunos valores mientras que las identidades son siempre ciertas. Explica cómo clasificar ecuaciones y resuelve ejemplos paso a paso despejando la incógnita.
Este documento presenta información sobre el uso de ecuaciones cuadráticas y la factorización para modelar situaciones y resolver problemas. Explica cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos y no perfectos, así como ecuaciones completas e incompletas de segundo grado. Incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para resolver problemas que involucran áreas, lados de figuras y ecuaciones.
El documento presenta problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica que estos problemas se resuelven planteando y resolviendo una ecuación de primer grado. Aconseja seguir pasos como comprender el enunciado, plantear la ecuación traduciendo el lenguaje ordinario a algebraico, resolver la ecuación y comprobar la solución. Incluye ejemplos resueltos como encontrar un número cuando se le quita 13 o determinar la cantidad de tornillos en cajas de diferentes tamaños.
Este documento describe diferentes tipos de sucesiones numéricas, incluyendo sucesiones de primer grado y segundo grado. Explica cómo encontrar la regla general de una sucesión mediante el cálculo de las diferencias primeras y segundas. También incluye ejemplos y actividades para practicar el análisis de sucesiones y la construcción de desarrollos planos de cilindros.
El documento presenta la resolución de 12 puntos o problemas matemáticos. En el Punto 3 se calcula el área de un rectángulo. En el Punto 4 se calculan los ingresos de dos personas basados en porcentajes. En el Punto 6 se cuenta el número de números de una lista que contienen el dígito 2 en diferentes posiciones.
El documento presenta diferentes tipos de ecuaciones que involucran variables como números enteros, consecutivos, edades, dinero y más. También incluye pasos para resolver problemas planteando la ecuación correspondiente a partir de los datos provistos, operando para resolverla y respondiendo con la solución requerida. Finalmente, propone ejercicios modelo para practicar la resolución de ecuaciones de uno y dos pasos.
El documento presenta información sobre sumas y restas de expresiones algebraicas. Explica cómo sumar y restar monomios y polinomios de forma similar, así como cómo simplificar expresiones algebraicas restando términos semejantes. También incluye ejemplos de cómo representar problemas verbales en lenguaje algebraico y resuelve problemas de suma y resta de expresiones.
El documento proporciona una serie de trucos y explicaciones breves para agilizar los cálculos matemáticos necesarios en los tests psicotécnicos. Incluye trucos para calcular porcentajes, realizar multiplicaciones y divisiones rápidas, y operar con potencias y números de varios dígitos de manera más sencilla. El objetivo es reemplazar métodos complejos por otros más simples que permitan realizar los cálculos de forma más rápida.
Ejemplos de ecuaciones aplicados en situaciones reales deBrenFioShel
El documento presenta dos ejemplos de problemas de la vida real resueltos mediante ecuaciones. En el primer ejemplo, se reparten 290 naranjas entre Juan y Pedro de forma que Pedro reciba 40 más que Juan. La solución es que Juan recibe 125 naranjas y Pedro 165 naranjas. En el segundo ejemplo, la edad de María es el doble que la de Juana y suman 45 años. La solución es que Juana tiene 15 años y María 30 años.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones algebraicas. Define una ecuación como una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo se cumple para ciertos valores de las incógnitas. Da un ejemplo de una ecuación de una incógnita. Explica que para plantear una ecuación correctamente es importante usar la coma. Luego presenta formas verbales y simbólicas para plantear ecuaciones con una o más incógnitas. Finalmente da tres ejemplos de ecuaciones para resolver.
El documento presenta tres oraciones principales:
1) La práctica constante es el secreto para dominar una habilidad.
2) Sólo la práctica hace al maestro.
3) Se debe practicar constantemente para ser el mejor.
Este documento contiene una serie de problemas de construcciones y lógica matemática. Presenta figuras geométricas con círculos vacíos y pide al lector que coloque números en los círculos de tal manera que satisfagan ciertas condiciones sobre las sumas de los números. También incluye instrucciones para dividir figuras en partes iguales y encontrar el número de cuadrados cortados por una diagonal. El documento proporciona soluciones a los problemas planteados.
Este documento explica las ecuaciones lineales, que son igualdades que establecen una relación entre dos expresiones con al menos una variable. Incluye ejemplos de cómo resolver ecuaciones y traducir enunciados verbales a su forma simbólica. También presenta problemas resueltos para practicar la resolución de ecuaciones lineales.
El documento presenta la solución a 6 problemas de álgebra resueltos mediante el método de sistemas de ecuaciones. El primer problema involucra determinar las edades de una madre e hija basado en dos condiciones. El segundo problema busca determinar la cantidad de hombres, mujeres y niños en un grupo de 20 personas. El último problema involucra determinar la cantidad de personas en tres categorías (infantiles, cadetes y juveniles) en una competición deportiva con 50 atletas.
1) El documento presenta un módulo de capacitación docente sobre álgebra de números reales y complejos. 2) Incluye tablas con fórmulas físicas, ejercicios de representación algebraica y sucesiones numéricas. 3) Los ejercicios propuestos abarcan temas como expresiones algebraicas, identidades, permutaciones, sucesiones aritméticas y construcción de figuras con cerillas.
Este documento contiene varios problemas y ejercicios de álgebra resueltos. El primer problema involucra encontrar el ancho de un jardín que rodea una casa rectangular. El segundo problema trata sobre la velocidad a la que un ciclista escapado y un pelotón se acercan a la meta. El último problema pide encontrar el número de fichas cuadradas necesarias para formar cuadrados completos o incompletos.
Ecuaciones de 1er grado. Solución de problemas.math class2408
El documento presenta nueve problemas resueltos mediante ecuaciones de primer grado. Cada problema contiene un enunciado, el planteamiento mediante variables y la resolución para encontrar los valores buscados. Los problemas involucran sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros y variables.
Este documento presenta una serie de 10 problemas de ecuaciones de primer grado. Cada problema contiene un enunciado y tres opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta. El objetivo es seleccionar la opción correcta para cada problema. Al final, se indica que se han acertado todos los problemas correctamente.
Teoria y problemas de sistema de ecuaciones lineales sd48 ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta 15 problemas resueltos sobre sistemas de ecuaciones. Cada problema presenta una situación wordal y dos ecuaciones correspondientes a las incógnitas planteadas. Los problemas se resuelven mediante el método de reducción para hallar los valores de las incógnitas.
El documento describe ecuaciones de primer grado. Explica cómo expresar situaciones del mundo real en lenguaje algebraico utilizando variables y cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la aplicación de reglas como la suma y el producto. Incluye ejemplos de ecuaciones con paréntesis y denominadores comunes.
Este documento proporciona instrucciones sobre divisibilidad, números primos y compuestos, mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD). Explica las reglas de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Luego describe cómo determinar si un número es primo o compuesto y cómo calcular el MCM y MCD de números mediante la factorización de sus factores primos comunes. Finalmente, incluye ejercicios de práctica relacionados con estos temas.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado, identidades y cómo resolver ecuaciones de primer grado despejando la incógnita. Define ecuaciones como igualdades que solo son ciertas para algunos valores mientras que las identidades son siempre ciertas. Explica cómo clasificar ecuaciones y resuelve ejemplos paso a paso despejando la incógnita.
Este documento presenta información sobre el uso de ecuaciones cuadráticas y la factorización para modelar situaciones y resolver problemas. Explica cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos y no perfectos, así como ecuaciones completas e incompletas de segundo grado. Incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para resolver problemas que involucran áreas, lados de figuras y ecuaciones.
El documento presenta problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica que estos problemas se resuelven planteando y resolviendo una ecuación de primer grado. Aconseja seguir pasos como comprender el enunciado, plantear la ecuación traduciendo el lenguaje ordinario a algebraico, resolver la ecuación y comprobar la solución. Incluye ejemplos resueltos como encontrar un número cuando se le quita 13 o determinar la cantidad de tornillos en cajas de diferentes tamaños.
Este documento describe diferentes tipos de sucesiones numéricas, incluyendo sucesiones de primer grado y segundo grado. Explica cómo encontrar la regla general de una sucesión mediante el cálculo de las diferencias primeras y segundas. También incluye ejemplos y actividades para practicar el análisis de sucesiones y la construcción de desarrollos planos de cilindros.
El documento presenta la resolución de 12 puntos o problemas matemáticos. En el Punto 3 se calcula el área de un rectángulo. En el Punto 4 se calculan los ingresos de dos personas basados en porcentajes. En el Punto 6 se cuenta el número de números de una lista que contienen el dígito 2 en diferentes posiciones.
El documento presenta diferentes tipos de ecuaciones que involucran variables como números enteros, consecutivos, edades, dinero y más. También incluye pasos para resolver problemas planteando la ecuación correspondiente a partir de los datos provistos, operando para resolverla y respondiendo con la solución requerida. Finalmente, propone ejercicios modelo para practicar la resolución de ecuaciones de uno y dos pasos.
El documento presenta información sobre sumas y restas de expresiones algebraicas. Explica cómo sumar y restar monomios y polinomios de forma similar, así como cómo simplificar expresiones algebraicas restando términos semejantes. También incluye ejemplos de cómo representar problemas verbales en lenguaje algebraico y resuelve problemas de suma y resta de expresiones.
El documento proporciona una serie de trucos y explicaciones breves para agilizar los cálculos matemáticos necesarios en los tests psicotécnicos. Incluye trucos para calcular porcentajes, realizar multiplicaciones y divisiones rápidas, y operar con potencias y números de varios dígitos de manera más sencilla. El objetivo es reemplazar métodos complejos por otros más simples que permitan realizar los cálculos de forma más rápida.
Ejemplos de ecuaciones aplicados en situaciones reales deBrenFioShel
El documento presenta dos ejemplos de problemas de la vida real resueltos mediante ecuaciones. En el primer ejemplo, se reparten 290 naranjas entre Juan y Pedro de forma que Pedro reciba 40 más que Juan. La solución es que Juan recibe 125 naranjas y Pedro 165 naranjas. En el segundo ejemplo, la edad de María es el doble que la de Juana y suman 45 años. La solución es que Juana tiene 15 años y María 30 años.
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Este documento contiene una serie de problemas de construcciones y lógica matemática. Presenta figuras geométricas con círculos vacíos y pide al lector que coloque números en los círculos de tal manera que satisfagan ciertas condiciones sobre las sumas de los números. También incluye instrucciones para dividir figuras en partes iguales y encontrar el número de cuadrados cortados por una diagonal. El documento proporciona soluciones a los problemas planteados.
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El documento presenta la solución a 6 problemas de álgebra resueltos mediante el método de sistemas de ecuaciones. El primer problema involucra determinar las edades de una madre e hija basado en dos condiciones. El segundo problema busca determinar la cantidad de hombres, mujeres y niños en un grupo de 20 personas. El último problema involucra determinar la cantidad de personas en tres categorías (infantiles, cadetes y juveniles) en una competición deportiva con 50 atletas.
1) El documento presenta un módulo de capacitación docente sobre álgebra de números reales y complejos. 2) Incluye tablas con fórmulas físicas, ejercicios de representación algebraica y sucesiones numéricas. 3) Los ejercicios propuestos abarcan temas como expresiones algebraicas, identidades, permutaciones, sucesiones aritméticas y construcción de figuras con cerillas.
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El documento presenta una serie de 10 problemas de matemáticas resueltos. Cada problema contiene la descripción de la situación problémica, las variables e igualdades involucradas, y los pasos para encontrar la solución. Los problemas abarcan temas como ecuaciones, geometría, probabilidad y estadística.
Este documento presenta 15 problemas de ecuaciones de segundo grado para resolver. Los problemas incluyen encontrar números dados sus propiedades algebraicas o geométricas, como números cuyo quíntuplo aumentado en 6 es igual a su cuadrado. También incluye problemas que requieren el Teorema de Pitágoras o la fórmula del espacio recorrido por un móvil con movimiento uniformemente acelerado.
Este documento presenta 15 problemas de ecuaciones de segundo grado para resolver. Los problemas incluyen encontrar números dados sus propiedades algebraicas o geométricas, como números cuyo quíntuplo aumentado en 6 es igual a su cuadrado. También incluye problemas que requieren el Teorema de Pitágoras o la fórmula del espacio recorrido por un móvil con movimiento uniformemente acelerado.
El documento presenta una introducción a varios temas fundamentales de álgebra y geometría, incluyendo ecuaciones lineales, factorización, sistemas de ecuaciones, funciones trigonométricas, y geometría analítica. Incluye ejemplos resueltos de cada tema así como evaluaciones para medir la comprensión de los estudiantes. El documento parece ser apuntes de clase de un profesor para varios temas básicos de matemáticas.
El documento presenta varios ejemplos de modelación algebraica y resolución de ecuaciones. Incluye la expresión verbal de un problema en términos algebraicos, representaciones de expresiones algebraicas y ecuaciones, y la solución de ecuaciones a través de la aplicación de propiedades y equivalencias algebraicas. También contiene problemas contextualizados y su resolución mediante la formulación y resolución de ecuaciones.
El documento presenta información sobre ecuaciones, incluyendo diferentes tipos de ecuaciones como ecuaciones literales, con radicales, enteras y fraccionarias. También explica reglas para resolver ecuaciones como la regla de la suma y el producto. Finalmente, proporciona ejemplos de cómo aplicar estas reglas para resolver ecuaciones.
El documento presenta varios ejercicios de ecuaciones resueltos por alumnos de 3o de ESO. Incluye problemas sobre sistemas de ecuaciones, ecuaciones de segundo grado y problemas de la vida real expresados como ecuaciones. Los estudiantes muestran los pasos para plantear y resolver cada ejercicio de manera sistemática.
El documento presenta 14 problemas de aritmética y álgebra resueltos. Los problemas incluyen sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, fracciones, porcentajes y sistemas de ecuaciones. El documento proporciona las soluciones completas a cada uno de los problemas planteados.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
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Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si ciertas expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El documento continúa explicando cómo convertir números mixtos a fracciones y comparar cantidades de pizza compradas.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
Este documento presenta varios ejercicios de fracciones. El primer ejercicio pide determinar si pares de expresiones son equivalentes. El segundo ejercicio involucra dividir expresiones y reducir fracciones. El tercer ejercicio trata sobre obtener fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación. El cuarto ejercicio compara cantidades de pizza compradas como números mixtos y fracciones.
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1) La ecuación representa una hipérbola vertical con centro en (-3,4) y excentricidad 2.
2) Los vértices transversales son V2(-3,4-5/6√3) y V1(-3,4+5/6√3). Los focos son F2(-3,4-5/3√3) y F1(-3,4+5/3√3).
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La hipérbola tiene ecuación 36y2 - 20x2 - 144 = 0, con excentricidad 2.49. Sus asíntotas son y = ±5/3x. Tiene vértices en (0, -2) y (0, 2), y focos en (0, -2/5√35) y (0, 2/5√35).
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1. Juan tiene 21 años menos que Andrés y sabemos que la suma de sus edades es 47.
¿Qué edad tiene cada uno?
Solución: Sea J la edad de Juan, y sea A la edad de Andrés, entonces, según el
enunciado del problema tenemos:
a) Juan tiene 21 años menos que Andrés: J = A-21 (a)
b) Las suma de sus edades es 47: J+A = 47 (b)
Sustituimos (a) en (b) y obtenemos:
J+A=47A-21+A=472A-21=472A=47+212A=68𝐴 =
68
2
→ 𝐴 = 34 (c)
Sustituyendo (c) en (a) obtenemos:
𝐽 = 𝐴 − 21 → 𝐽 = 34 − 21 → 𝐽 = 13
Entonces; Juan Tiene 13 años y Andrés tiene 34 años.
Respuesta: Juan = 13 años y Andrés = 34 años
2. José tiene 14 años más que Pablo. Calcular la edad que tienen si se sabe que dentro
de 10 años el doble de la edad de José es el triple que la de Pablo.
Solución: Sea J la edad de José y sea P la edad de Pablo, entonces, según el enunciado
del problema tenemos:
José tiene 14 años más que Pablo: J=P+14 (a);
Calcular la edad que tienen si se sabe que dentro de 10 años el doble de la edad de José
es el triple que la de Pablo: +10+2J=3P (b).
Sustituyendo (a) en (b) obtenemos:
10 + 2( 𝑃 + 14) = 3𝑃 → 10 + 2𝑃 + 28 = 3𝑃 → 10 + 28 = 3𝑃 − 2𝑃 → 38 = 𝑃 (c)
Sustituyendo (c) en (a) obtenemos:
𝐽 = 𝑃 + 14 → 𝐽 = 38 + 14 → 𝐽 = 52
Entonces tenemos que: José tiene 52 años y Pablo tiene 38 años.
Solución: José = 52 años y Pablo = 38 años
3. Un señor tiene dos hijos, de los cuales uno tiene 6 años más que el otro. Después de
dos años, la edad del padre será doble de la suma de las edades de sus hijos, y hace
6 años su edad era 4 veces la suma de las edades de sus hijos. ¿Cuál es la edad de
cada uno?
Solución:
Sea x la edad actual del primer hijo y sea x+6 la edad actual del segundo hijo del señor,
y sea P la edad del señor, entonces según el enunciado del problema tenemos:
RELACIÓN HACE 6 AÑOS (-6) EDAD ACTUAL DESPUES DE 2
AÑOS(+2)
HIJO MENOR X-6 X X+2
HIJO MAYOR X+6-6X X+6 X+6+2 X+8
PADRE P-6 P P+2
ECUACIÓN P-6=4[(X-6)+X] (1) P+2=2[(X+2)+(X+8)] (2)
2. De (1) tenemos:
𝑃 − 6 = 4[( 𝑋 − 6) + 𝑋] → 𝑃 − 6 = 4𝑋 − 24 + 4𝑋 → 𝑃 − 6 = 8𝑋 − 24 → 𝑃 = 8𝑋 − 24 + 6
P=8X-18 (1)
De (2) tenemos:
𝑃 + 2 = 2[( 𝑋 + 2) + ( 𝑋 + 8)] → 𝑃 + 2 = 2[ 𝑋 + 2 + 𝑋 + 8] → 𝑃 + 2 = 2[2𝑋 + 10]
𝑃 + 2 = 4𝑋 + 20 → 𝑃 = 4𝑋 + 20 − 2 → 𝑷 = 𝟒𝑿 + 𝟏𝟖 (𝟐)
Igualamos el valor de P en ambas ecuaciones tenemos
8𝑋 − 18 = 4𝑋 + 18 → 8𝑋 − 4𝑋 = 18 + 18 → 4𝑋 = 36 → 𝑋 =
36
4
→ 𝑋 = 9
Luego tenemos:
La edad del menor: 9 años
La edad del mayor: x+69+6=15 años
La edad del Señor, se halla sustituyendo a X = 9 en (1) ó en (2)
Si lo sustituimos en (1) obtenemos: P=8X-18P=8(9)-18P=72-18=54, el señor P=54 años
Si lo sustituimos en (2) obtenemos: P=4X+18P=4(9)+18P=36+18P=54 años
Respuesta: El hijo menor tiene 9años, el hijo mayor tiene 15 años y el padre tiene 54 años.
4. Un hombre legó su fortuna de la siguiente manera: la mitad para su esposa, la
tercera parte para su hijo, la octava parte para su sobrina y 180 mil Bs. a una
institución benéfica ¿Cuánto dinero poseía?
Solución: Sea X la fortuna que legó un hombre. Entonces, según el enunciado del
problema tenemos:
La esposa recibió la mitad, es decir:
1
2
𝑋
El Hijo recibió una tercera parte, es decir:
1
3
𝑋
La Sobrina recibió la octava parte, es decir:
1
8
𝑋
A una Institución benéfica recibió 180.000 Bs.
¿Cuánto dinero poseía?
𝑋 =
1
2
𝑋 +
1
3
𝑋 +
1
8
𝑋 + 180.000 → 𝑋 =
12𝑋+8𝑋+3𝑋+24𝑥180.000
24
24𝑋 = 23𝑋 + 4.320.000 → 𝑋 = 4.320.000
Poseía la siguiente cantidad: 4.320.000.
Entonces:
A la esposa le tocó:
1
2
𝑋 →
4.320.000
2
→ 2.160.000; Esposa: 2.160.000
El Hijo le tocó:
1
3
𝑋 →
4.320.000
3
→ 1.440.000; Hijo: 1.440.000
La Sobrina le tocó:
1
8
𝑋 →
4.320 .000
8
→ 540.000; Sobrina: 540.000 Bs
La Institución Benéfica: 180.000
Comprobación:
4.320.000= 2.160.000 Bs. + 1.440.000 Bs. + 540.000 Bs. + 180.000
4.320.000=4.320.000
5. En un salón hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de
niños. Si en total hay 35 personas ¿Cuántos niños, niñas y adultos hay?
Solución: Sea X el número de personas en el salón. Del enunciado del problema
tenemos: Niños: x; Niñas: 2x y Adultos:
1
2
𝑥
Luego en el salón había en total 35 personas, es decir:
3. 2𝑥 + 𝑥 +
1
2
𝑥 = 35 →
4𝑥 + 2𝑥 + 1
2
= 35 → 7𝑥 = 70 → 𝑥 = 10
Niñas: 2x2(10) Niñas: 20
Adultos:
1
2
𝑥 →
1
2
(10) → 5 Adultos: 5
Solución: Hay en el salón: 10 niños, 20 niñas y 5 adultos.
6. HALLAR EL RESULTADO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
6.1. -4 + 5-{3 + 4-5-[7 + (6 + 4)-7-6]+4}=
Solución:
−4 + 5 − {3 + 4 − 5 − [7 + (6 + 4) − 7 − 6] + 4} =
+1-{7-5-[7+(10)-7-6]+4}=+1-{2-[4]+4}=+1-{2}=+1-2=-1
6.2. 14 + {5^[4 + 3 + (-2 + 4 + 5)]-7 + 8} =
14+{5-[4+3+(-2+4+5)]-7+8}=14+{5-[7+7]-7+8}=14+{5-14+1}=14-8=6
6.3. -1 +{5 +4- 3 - 7+1-9 - [5 + 8-7 - (7+8 + 6 - 9-23)-5] + 3}=
-1+{-9-[6-(21-32)-5]+3}=-1+{-9-[-10]+3}=-1+{4}=3
7. Resuelve los siguientes problemas aplicando el mcm y MCD:
7.1. Una habitación tiene 230 cm de largo por 120cm de ancho. Queremos cubrir el
suelo con baldosas cuadradas. ¿Cuánto tienen que medir estas baldosas?
¿Cuántas baldosas harán falta?
Solución:
Si las baldosas son cuadradas, tienen todos los lados iguales, para cubrir el suelo
sin que haya que partir ninguna baldosa la medida de sus lados debe ser un divisor
de las medidas de la habitación, o dicho de otra forma 230 cm y 120 cm deben ser
múltiplos de la medida del lado de la baldosa. Para ello calculamos los divisores de
230cm y 120cm y vemos si hay algún divisor común. Para hallar todos los
divisores de un número dividimos el Número en producto de sus factores primos,
así tenemos:
230 2 120 2
115 5 60 2
23 23 30 2
1 15 3
5 5
1
230=21·51·231 120=23·31·51
Para hallar todos los divisores de 230 y 120, debemos observar los exponentes de
los factores primos. Para calcular la cantidad de divisores de los números dados
debemos poner entre paréntesis los exponentes de los factores primos, le sumamos
4. 1 y lo multiplicamos entre sí, así nos da la cantidad de divisores de cada número
dado (230 y 120). Asi:
Nº Divisores de 230: (1+1)·(1+1)·(1+1)=2·2·2 = 8, es decir hay 8 divisores
Ahora para calcular los divisores hacemos un cuadro y ponemos en la primera fila
las potencias 2 desde 0 hasta 1 y en la primera columna las potencias de 5 desde 0
hasta 1. Después multiplicamos las potencias de 2 por cada una de las potencias de
5 y escribimos el resultado en la fila y columnas de la forma siguiente:
20=1 21=2
50=1 1 2
51=5 5 10
Ahora hacemos otro cuadro colocando los números que nos han salido en la parte
sombreada del cuadro en la primera fila y las potencias de 23 desde 0 hasta 1 que
era su exponente en la primera columna, así:
1 2 5 10
230=1 1 2 5 10
231=23 23 46 115 230
Todos los números que aparezcan en la parte sombreada del cuadro serán los
divisores de 230. Divisores de 230: 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115, 230
Lo mismo lo hacemos que el número 120, es decir:
Nº Divisores de 120: (3+1)·(1+1)·(1+1)=4·2·2 = 16, es decir hay 16 divisores.
Ahora para calcular los divisores hacemos un cuadro y ponemos en la primera fila
las potencias 2 desde 0 hasta 3 y en la primera columna las potencias de 3 desde 0
hasta 1. Después multiplicamos las potencias de 2 por cada una de las potencias de
3 y escribimos el resultado en la fila y columnas de la forma siguiente:
20=1 21=2 22=4 23=8
30=1 1 2 4 8
31=3 3 6 12 24
Ahora hacemos otro cuadro colocando los números que nos han salido en la parte
sombreada del cuadro en la primera fila y las potencias de 5 desde 0 hasta 1 que era
su exponente en la primera columna, así:
1 2 3 4 6 8 12 24
50=1 1 2 3 4 6 8 12 24
51=5 5 10 15 20 30 40 60 120
Todos los números que aparezcan en la parte sombreada del cuadro serán los
divisores de 120. Divisores de 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 23, 24, 30, 40,
60, 120.
Ahora debemos hallar cuales divisores son comunes a ambos números, es decir:
5. Divisores 230: 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115, 230
Divisores 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Luego los divisores comunes a los números 230 y 120 son: 1, 2, 5 y 10.
Ahora debemos recordar que las baldosas deben ser cuadradas, es decir, los lados
son iguales, así obtenemos: baldosas cuadradas que tienen las siguientes medidas:
1cm·1cm=1cm2; 2cm·2cm=4cm3; 5cm·5cm=25cm2 y 10cm·10cm=100cm2.
Ahora bien el área o superficie de la habitación es: AH=alturaxancho, es decir:
230cm x 120 cm = 27.600 cm2.
De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2 1 cm2=27.600 baldosas
De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2 4 cm2=6.900 baldosas
De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2 1 cm2=1.104 baldosas
De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2 100 cm2=276 baldosas
Medidas Baldosas Cantidad
1 cm2 27600 baldosas
4 cm2 6900 baldosas
25 cm2 1.104 baldosas
100 cm2 276 baldosas
7.2. Juan tiene la gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas.
Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez. ¿De aquí a cuantas horas
volverá a tomárselos a la vez?
Solución: En este caso utilizaremos el mínimo común múltiplos (m.c.m). Estamos
buscando un número de horas que será mayor o igual a 12, entonces buscamos un
número que sea múltiplo de 8 y 12 a la vez. Hallamos sus factores primos, es decir:
8 2 12 2
4 2 6 2
2 2 3 3
1 1
8=23 12=22·3
El mínimo común múltiplo de 8 y 12, es el producto de los factores primos
comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir:
m.c.m.(8,12)=23·3 m.c.m.(8,12)=24.
De todos los múltiplos que lo cumplen nos interesa el más pequeño
Respuesta: Luego, dentro de 24 horas se tomará ambos medicamentos a la vez.
7.3. Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días. Hoy han coincidido
los dos. ¿De aquí a cuantos días volverán a coincidir en casa de su Abuela?.
Solución: Como la anterior pregunta, esta se resuelve por m.c.m.
Estamos buscando un número de días que será mayor o igual a 15, entonces
buscamos un número que sea múltiplo de 12 y 15 a la vez. Hallamos sus factores
primos, es decir:
6. 12 2 15 3
6 2 5 5
3 3 1
1
12=22·3 15=3·5
El mínimo común múltiplo de 12 y 15, es el producto de los factores primos
comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir:
m.c.m.(12,15)=22·3·5 m.c.m.(12,15)=60.
De todos los múltiplos que lo cumplen nos interesa el más pequeño
Respuesta: Luego, dentro de 60 días Luis y Ana coincidirán a la vez.
7.4. La edad en años que tiene un individuo es múltiplo de dos, más uno; múltiplo
de siete, más seis; y múltiplo de diez menos uno. ¿Qué edad tiene?
Solución:
Los números 2, 7 y 10 son múltiplos de sí mismo respectivamente. Hallamos el
mínimo común múltiplo (mcm) de 2, 7 y 10, para ello hacemos su descomposición
factorial:
2= 2x1: 7=7x1; 10=2x5x1
Ahora calculamos el mcm, recordando que el mcm de los varios números es el
producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir,
mcm(2,7,10)=1x2x5x7 =70
La edad será el número más próximo al mcm que cumpla los tres requisitos así:
Resultado: Edad del individuo: 70-1=69
7.5. Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista es circular. El
primero tarda 10 segundos, el segundo tarda 11 segundos y el tercero tarda 12
segundos a dar una vuelta a la pista. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán
juntos por la línea de salida?
Solución: Como en el caso anterior se trata de un problema similar a los dos
anteriores, es decir, se trata del m.c.m. Debemos hallar los factores primos de los
segundos 10, 11 y 12. Luego tenemos:
10 2 11 11 12 2
5 5 1 6 2
1 3 3
1
10=2·5 11=11·1 12=22·3
Luego m.c.m (10,11,12)=22·3·5·11m.c.m.(10,11,12)=660 segundos
Entonces los tres caballos pasarán juntos por la línea de salida a los 660 segundos.
Caballo 1: 66010=66 vueltas;
Caballo 2: 66011= 60 vueltas;
Caballo 3: 66012=55 vueltas.
7. 7.6. Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16,
20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?
Solución: Este problema se resuelve por m.c.m.
Debemos hallar los factores primos de los grupos de soldados: 16, 20 y 25. Luego
tenemos:
16 2 20 2 25 5
8 2 10 2 5 5
4 2 5 5 1
2 2 1
1
16=24 20=22·5 25=52
Luego m.c.m (16,20,25)=24·52·m.c.m.(16,20,25)= 400
Respuesta: son 400 soldados
8. Para preparar un pastel, se necesita: 1/3 de un paquete de 750 g de azúcar, 3/4 de
un paquete de harina de kilo, 3/5 de una barra de mantequilla de 200 g- Halla, en
gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel.
Solución: Para preparar el pastel se necesitan los siguientes ingredientes:
Productos Paquetes Se Utiliza Porción
Azúcar (A) 750 gr 1
3
𝐴 =
1
3
(750)
250 gr
Harina (H) 1000 gr 3
4
𝐻 =
3
4
(1000)
750 gr
Mantequilla (M) 200 gr 3
5
𝑀 =
3
5
(200)
120 gr
Total Mezcla 1.120 gr
Respuesta: Para preparar el pastel hacen falta 1.120 gr de la mezcla
9. Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual.
¿Qué edad tiene Pedro?
Solución: Sea x la edad actual de Pedro.
24 =
2
3
𝑥 → 72 = 2𝑥 → 36 = 𝑥
Luego Pedro tiene 36 años.
8. TRUCOS:
COMO SÉ CUANDO EMPLEAR MCD (MÁXIMO COMÚN DIVISOR) Ó mcm
(MINIMO COMÚN MÚLTIPLO). BUENO VA DEPENDER DEL PROBLEMA, ES
DECIR, EMPLEAREMOS:
mcm CUANDO EN EL
PROBLEMAS SE
HABLE DE:
MCD CUANDO EN EL
PROBLEMAS SE
HABLE DE:
“…VUELVEN A COINCIDIR….”
“….SE REPITEN…..”
“…SE ENCUENTRÁN….”
* Lo que me pidencalcularseráun
númeromásalto que losdadosen
el problema.
* El mcm de variosnúmerosesel
productode los factoresprimos
comunesyno comunescon su
mayor exponente.
“…MÁXIMO….”
“….MAYOR…..”
“…EL MÁS GRANDE….”
“…MÁS AMPLIO…”
“…MÁS CABEN…”
* Lo que me pidencalcularseráun
númeroMenora losdadosenel
problema.
* El MCD de variosnúmerosesel
productode los factoresprimos
comunesconsu Menor exponente.