El documento explica que una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una constante llamada razón. Presenta la fórmula para calcular el término general y ejemplos de cómo calcular la razón de una progresión y determinar términos específicos. También cubre la interpolación de términos mediante la determinación de la razón.

1. Progresiones
Geométricas
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Se denomina Progresión Geométrica a aquella sucesión en la que
cada término se obtiene multiplicando al anterior por una
constante llamada razón.
Ejemplo:
En la progresión geométrica: 3; 12; 48; 192; 768; …
Se observa que:
• El segundo término que es 12, se obtuvo de multiplicar por 4 el
primer término.
• El tercer término que es 48, se obtiene de multiplicar el segundo
término por 4, y así sucesivamente.

3. TérminoGeneral
Según la definición anterior y el ejemplo de progresión geométrica
que se ha presentado, se verifica:
a2 = a1 ∙ r
a3 = a2 ∙ r = a1 ∙ r ∙ r = a1 ∙ r2
a4 = a3 ∙ r = a1 ∙ r2 ∙ r = a1 ∙ r3
Donde a1; a2; a3; … son los términos de la progresión geométrica.
Luego, reemplazando se tiene: a1; a1 ∙ r2; a1 ∙ r3; …; a1 ∙ rn-1

4. Es decir, que el término enésimo o término general se obtiene de la
siguiente forma:
an = a1 ∙ rn-1
Ejemplo:
¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 5; 15; 45; 135; 405;…?
Resolución:
La razón se obtiene dividiendo cualquiera de los términos por el
anterior, por ejemplo: 15 ÷ 3 = 5. Si se divide otro par de números se
tiene 135 ÷ 45 = 5.

5. Observa que el cociente de cualquier término entre el anterior es siempre de 5.
Por lo tanto la razón de la progresión es 5.
Ejemplo:
¿Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que el primer
término es 2 y la razón es 3?
Resolución
Una forma sería multiplicando el primer término por la razón, y seguir el
mismo procedimiento con el siguiente término hasta obtener el quinto
término: 2 x 3 = 6; 6 x 3 = 18; 18 x 3 = 54; 54 x 3 = 162. Luego, el quinto término
es 162.

6. Otra forma de obtener el quinto término sería utilizando la fórmula
del enésimo término: an = a1 ∙ rn-1 donde:
an: quinto término
a1: primer término
r: razón de la progresión geométrica
n: cantidad de términos, en este caso son 5 términos.
Luego, se reemplaza en la fórmula:
a5 = 2(3)5-1 = 2(3)4 = 162

7. Interpolación deTérminos
Consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Para poder
realizar esta operación se necesita calcular la razón. Los términos
interpolados se denominan medios geométricos.
Ejemplo:
Supongamos que se quiere intercalar entre 3 y 96, cuatro números
a, b, c y d de manera que 3; a; b; c; d; 14 estén en progresión
geométrica.
Se tiene que a1 = 3; a6 = 96 y el número de términos n = 6.

8. Aplica la expresión del término general de una progresión
geométrica y se tiene que:
a6 = a1 ∙ r5 → 96 = 3 ∙ r5 → r = 2
Ahora se puede multiplicar cada término para obtener el siguiente
y resulta la progresión geométrica:
3; 6; 12; 24; 48; 96

9. Ejercicios resueltos
1. El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25%
cada hora. Si al principio había 300 000, ¿cuántas bacterias
habrá al cabo de 5 horas?
Resolución:
De los datos del problema se tiene: a1 = 300 000; r = 0,25 y piden S5.
Entonces, aplica la fórmula: 𝑆 𝑛 =
𝑎1(1−𝑟 𝑛)
1−𝑟
𝑆5 =
300 000 (1 − 0,255
)
1 − 0,25
= 399 609,37

10. 2.Un padre proyecta colocar en un baúl S/ 1 el día que su hijo
cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en
todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su
hijo cumpla 18?
Resolución:
De los datos se tiene: a1 = 1; r = 2. Piden a18.
a18 = a1 ∙ r 17 = 1 ∙ 217 = 131 072
Luego, el día que su hijo cumpla 18 años tendrá que colocar 131 072
soles.

11. 3. Una máquina costó inicialmente S/ 10 480. Al cabo de unos años
se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años, volvió a
venderse por la mitad, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó la
máquina al quinto propietario?
Resolución:
De los datos: a1 = 10 480; r = 0,5. Piden a5.
a5 = a1 ∙ r4 → a5 = 10 480(0,5)4 = 655
Luego, la máquina le costó S/ 655 al quinto propietario.