El documento describe la transformada de Fourier y sus propiedades. La transformada de Fourier relaciona una función en el dominio del tiempo con su representación en el dominio de la frecuencia. Permite pasar de una representación a otra y viceversa mediante transformadas directa e inversa. Se definen expresiones matemáticas clave y se ilustran conceptos como el efecto del escalado en el ancho de banda del espectro.

1. f (t)

1
F() exp(it)d
2




La transformada
de
Fourier
F() 

f (t) exp(it) dt


2. La transformada de Fourier
Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta
acotada en R.
Se define su transformada de Fourier como:
Siendo la anti-transformada o transformada inversa
Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F() (dominio de la frecuencia) a
partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
F ()



f (t)eit
dt
f (t)  1
2

F()eit
d


3. 2
Notación: A la función F() se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se
denota por Fo fˆ,es decir

F[ f (t)] F ()  fˆ() 
 f (t)eit
dt


En forma similar, a la expresión que nos
permite obtener f(t) a partir de F() se le
llama transformada inversa de Fourier y
se denota por F –1 ,es decir
F1
[F ()] f (t) 


1
F()eit
d


4. Transformadas integrales
– K(,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función
F() en el espacio  o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet,
transformada Z, de Laplace, de
Hilbert, de Radon, etc
F()  a
K(,t) f (t)dt
b

5. Un problema que es difícil de resolver en sus
"coordenadas" (espacio t) originales, a menudo,
es más sencillo de resolver al transformarlo a
espacio .
Después, la transformada inversa nos devuelve la
solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Relatively easy solution Solution in
Transform space
Integral transform Inverse transform
Original
problem
Difficult solution Solution of
original problem

6. 0
1 t
2

Ejemplo. Calcular F() para el pulso
rectangular f(t) siguiente:
f(t)
1
t
-p/2
0p/2
Solución. La expresión en el dominio del
tiempo de la función es:
0
f (t) 


t   p
p p
2 2
 p
 2
 t

7. Integrando:


p /2
F ()
 f (t)eit
dt 
eit
dt
1 it

p / 2
 p/2
1 ip/ 2 ip/ 2
 i e  p /2  i (e  e )
Usando la fórmula
sen p  e e
de Euler: ( / 2)
ip /2

2i
ip/2
F ()
p
sen(p / 2)

psinc(p / 2)
p /2

8. 0
t 
0 t   p

2
f (t)  1


p p
2 2
p
2
F(w) con p=1
En forma gráfica,
la transformada es:
F()  psinc(p /2)
1
0.5
0
-50 0 50 w
p =1
F(w)
t

9. 2
Algunas funciones no poseen
transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de
Fourier de f(x), F() exista es:

 g(x)dx  


es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.

10. F F
2
r  i
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) son
ambas en general complejas.
Ff (x)Fr(k )  iFi (k)
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
Ff (x)F(k) A(k)ei(k )
A F (k) 

A  amplitudo magnitudespectral
  faseespectral
A2
 F  2 2
 espectrode potencia
F 2r  F2
i

11. La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
Fr (k )

Fi (k )

 f (x)cos(kx)dx


 f (x)sin(kx)dx


12. Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t)F
.T .
 ˆf 
g(t)
F

.T .
gˆ
 f(t)  g(t)
F

.T .
 fˆ  gˆ
f (t)F
.T .
 ˆf  (a  ib) f (t)F
.T .
(a ib) fˆ

13. La transformada de Fourier de la
combinación lineal de dos funciones.
f(t) F()
t
g(t)


G() F{af (t)  bg(t)}
t  aF{ f (t)}bF{g(t)}
f(t) + g(t)
t
F() +G()


14. 

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

0 , t 
a
 2
 b a
f (t) 1 ,

 t
2 2
; a  b  0
2 , t 
b
 2
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t)  g(t)  h(t)
 a
0 , t 
 b
 0, t 
donde g(t)   2 ; h(t)   2
1 , t 
a 1 , t 
b
 2  2

15. Luego:
fˆ( ) 

gˆ() 

hˆ()
fˆ ( )  a 2  b 2
sen(
a
) sen(
b
)
a
2
b
2

16. Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
1
0
-a -b 0 b a

17. Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
 0, t  a

1,  a  t  b

0,  b  t  b

1, b  t  a

 0, t  a
f t g(t)  h(t)
g(t) 
0 , t  a

1 , t  a
; h(t) 
0 , t  b

1 , t  b

18. g(t) 


h(t) 
F
.T .

F
.T .

gˆ()  2a
hˆ( )  2b
sen(a)
a
sen(b)
b
fˆ ( )  gˆ()  hˆ( )  2a
sen(a)
 2b
sen(b)
a b
0 , t  a
1 , t  a
0 , t  b

1 , t  b

19. 




Propiedades
2. Escalado:
Ff t fˆ()

Ff at 
 f (at)eit
dt 

1
f (at)e
a
i

(at )
a d (at)

1
 f (t')e
i

t'
a dt' 
1
fˆ 
a  a  a 
Ff at
1
a
fˆ

 
 a 

20. 
Efecto de
la propiedad
de escalado
Esta es la esencia
del principio de
incertidumbre en
mecánica cuántica.
Pulso
corto
Pulso
medio
Pulso
largo
f(t) F()
Mientra más
corto es el
pulso, más
ancho es el
espectro.



t
t
t

21. 3. Traslación en el dominio de tiempos
f (t  a) g(t)
 
gˆ
g(t) e
it
dt


  f

(t a) e
it
dt

gˆ
 f (u) e
i (u a)
du
 e
ia
 f
(u)e
iu
du
gˆe
ia
fˆ()
f (t)F
.T .
 fˆ f (t  a) F
.T .
e
ia
fˆ

22. 4. Producto por exponencial compleja
f (t) eita
g(t)
 
gˆ
g(t) e
it
dt


  f

(t)e
ita
e
 it
dt
gˆ
 f (t)e
 i( a)t
dt
 fˆ( a)
f (t)F
.T .
 fˆ f (t)eita
F
.T.
 fˆ   a

23. 5. Producto por cos(at) o sin(at)
f (t)cos(at) 
( fˆ( a)
2
fˆ( a))
f (t)sin(at) 
( fˆ( a)
2
fˆ( a))i
6. Producto por t
dfˆ d n
fˆ
f (t ) t  i ,
d

f (t)tn
in
dn
ˆ 
fˆ
 f (t)e
 it

dt ;
df
d
 i
tf

(t)e
 it
dt

24. 


7. Identidad de Parseval : 

f
*
(t)g(t)dt

  fˆ*
()gˆ( )d




  ˆ *
() it  
 ˆ i 't 
  f e dg(') e d'dt 
    


 
 
*

i (  't )  

  dfˆ () d'gˆ(') dt e  fˆ*
()gˆ()d
 

En particular:
  
(' )
f (t)  g(t)



f (t) dt 
2



fˆ( )d
2
Teorema de Rayleigh

25. it
dt
 t
8. Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):

 0 

 
fˆ  f (t) e dt   f (t)e it
 
f (t)e
it
dt

 
it
 0 

 
it  
fˆ()  f (t)e dt  f (t)e dt   f (t)e
i
 e
t
dt
 0 0  0

fˆ 2 f (t)cos(t)dt
0
i

26. it
it


9. Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):

 0 it  it
fˆ  f (t) e dt   f (t)e dt  f (t)e dt
  0 



it
 
it
fˆ() f (t)e dt  f (t)e dt  f (t)e
it
 e dt
 0 0  0

fˆ 2i f (t)sen(t)dt
0

27. 
10. Transformadas de Fourier de la derivada, f’(t)
 df
(t) ) 
 

df
 (t) it
dt it f (t )

 dt 


dt
 i  f

(t)e it
dt ifˆ
F e e

28. 
Convolución
Se define la integral de convolución de dos funciones
f(t) y g(t) del siguiente modo:

  f (t u)g(t)du

 f  g(t)  f (u)g(t u)du


30. Ejemplo visual:
rect(x)
* rect(x) = (x)

31. El teorema de convolución o
teorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a
multiplicación en el espacio recíproco.
Ff (t)*g(t) F(w)G(w)