La transformada de Laplace directa e inversa

1. LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE DIRECTA E
INVERSA

2. DEFINICIÓN.
• EL MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ES UN MÉTODO OPERACIONAL QUE PUEDE USARSE
VENTAJOSAMENTE EN LA SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES,
INVARIANTES EN EL TIEMPO

3. PRINCIPAL VENTAJA.
• SU VENTAJA PRINCIPAL ES QUE LA DIFERENCIACIÓN DE
LA FUNCIÓN DEL TIEMPO CORRESPONDE A LA
MULTIPLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA POR UNA
VARIABLE COMPLEJA S, Y ASÍ LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES EN EL TIEMPO SE HACEN ECUACIONES
ALGEBRAICAS EN S.

4. TEOREMAS.
• TEOREMA DE EULER. LAS EXPANSIONES DE SERIES DE
POTENCIA DE COSΘ Y SENΘ SON, RESPECTIVAMENTE,
Y POR LO TANTO,

5. • PUESTO QUE
• VEMOS QUE
• ÉSTA SE CONOCE COMO TEOREMA DE EULER.

6. TRANSFORMADAS DE LAPLACE. DEFINAMOS:

7. • EL PROCESO INVERSO DE ENCONTRAR LA FUNCIÓN DEL TIEMPO F(T)
DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE F(S) SE LLAMA TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE.
• LA NOTACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LA LAPLACE ES:
• ASÍ,

8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
• EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN F(T)
EXISTE SI LA INTEGRAL DE LAPLACE CONVERGE. LA
INTEGRAL CONVERGE SI FLT) ES CONTINUA,
SECCIONALMENTE EN CADA INTERVALO FINITO EN EL
RANGO T > O Y SI ES DE ORDEN EXPONENCIAL CUANDO
T TIENDA A INFINITO.

9. FUNCIÓN EXPONENCIAL.
• CONSIDÉRESE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
• DONDE A Y A SON CONSTANTES. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
DE ESTA FUNCIÓN EXPONENCIAL PUEDE OBTENERSE COMO SIGUE
• AL EFECTUAR ESTA INTEGRACIÓN, SUPUSIMOS QUE LA PARTE REAL
DE S ES MAYOR QUE -A (LA ABSCISA DE CONVERGENCIA) Y POR LO
TANTO, QUE LA INTEGRAL CONVERGE. LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE F(S) DE CUALQUIER FUNCIÓN TRANSFORMABLE POR
• LAPLACE F(T) OBTENIDA DE ESTE MODO ES VÁLIDA EN TODO EL
PLANO S EXCEPTO EN LOS POLOS F(S).

10. FUNCIÓN ESCALÓN.
• CONSIDÉRESE LA FUNCIÓN ESCALÓN
• DONDE A ES UNA CONSTANTE. NÓTESE QUE ES UN CASO ESPECIAL
DE LA FUNCIÓN EXPONENCIA1 AE-A', DONDE CR = O. LA FUNCIÓN
ESCALÓN ES INDEFINIDA EN T = 0. SU TRANSFORMADA DE LAPLACE
ESTÁ DADA POR
• LA FUNCIÓN ESCALÓN CUYA ALTURA ES LA UNIDAD SE LLAMA
FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO. LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO QUE
OCURRE EN T = TO SE ESCRIBE FRECUENTEMENTE 1 (T - T,)

11. FUNCION TRASLADADA.

12. LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ES UN
PROCESO QUE CONSISTE EN ENCONTRAR LA FUNCIÓN
DEL TIEMPO FLT) A PARTIR DE LA CORRESPONDIENTE
TRANSFORMADA DE LAPLACE

13. • MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
PARA ENCONTRAR TRANSFORMADAS INVERSAS DE
LAPLACE. SI F(S), LA TRANSFORMADA DE F(T), SE SEPARA
EN COMPONENTES

14. • DONDE FL(T), F2(T), . . . , FN(T) SON LAS
TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE DE - FL(S), F,(S),
. . . , F,(S), RESPECTIVAMENTE.
• LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE F(S) ASÍ
OBTENIDA ES ÚNICA, EXCEPTO POSIBLEMENTE EN LOS
PUNTOS DONDE LA FUNCIÓRI DEL TIEMPO ES
DISCONTINUA. DONDE QUIERA QUE LA FUNCIÓN DEL
TIEMPO SEA CONTINUA, LA FUNCIÓN DEL TIEMPO F(T) Y
SU TRANSFORMADA DE LAPLACE F(S) TENDRÁN UNA
CORRESPONDENCIA UNO A UNO.

15. • EN LOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS DE SISTEMAS, F(S) OCURRE
FRECUENTEMENTE EN LA FORMA
• DONDE A(S) Y B(S) SON POLINOMIOS EN S Y EL GRADO DE A(S) NO
ES MAYOR QUE E1 DE B(S).

16. • LA VENTAJA DEL ENFOQUE DE LA EXPANSIÓN EN
FRACCIONES PARCIALES ES QUE LOS TÉRMINOS
INDIVIDUALES DE F(S), RESULTANTES DE LA EXPANSIÓN
EN FRACCIONES PARCIALES, SON FUNCIONES MUY
SIMPLES DE S; EN CONSECUENCIA, NO ES NECESARIO
CONSULTAR LA TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
SI MEMORIZAMOS VARIOS PATES DE TRANSFORMADAS DE
LAPLACE SIMPLES.

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