Unidad I sistemas de fuerzas, momentos y medicion

Universidad Autónoma de San Luis Potosí
Facultad del Hábitat
Licenciado en Edificación y Administrador de Obras
Propiedades y Laboratorio de Materiales
Ing. Elma Farías Oliva
Junio 2015
UNIDAD I
SISTEMA DE FUERZAS, MOMENTOS Y MEDICIÓN
INTRODUCCIÓN A LA ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES
¿QUE ES LA MECÁNICA?
Rama de la física que puede definirse como la ciencia que describe y predice las
condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Se divide en
tres partes:
La mecánica tiene aplicación en múltiples campos profesionales, sobre todo en la
astronomía, en la cual se estudian las leyes de los movimientos de los cuerpos celestes; en
la ingeniería mecánica, eléctrica, electrónica, civil, aeronáutica y del espacio, etc., así
como en todas las obras de arquitectura que para su estabilidad, tanto de los cimientos
como de la construcción en general, requieren de la correcta aplicación de todos los
principios y leyes que rigen a esta rama de la física.
Cuerpos Rígidos
Cuerpos Deformables
Mecánica de Fluidos
(Gas y Líquidos
Estática: cuerpos en reposo
Dinámica: cuerpos en movimiento
Resistencia de Materiales
Incomprensible
Comprensibles
Hidráulica, cuando
se trata del agua.
Mecánica

Junio 2015
ESTÁTICA
 Estudia los cuerpos en estado de reposo o equilibrio
El concepto de equilibrio o reposo es relativo porque cualquier cuerpo sobre la tierra que
este en tal caso, en realidad está en movimiento debido a la rotación y traslación de
nuestro planeta; sin embrago, con respecto a la tierra si puede estar en reposos y,
precisamente, este es el fenómeno que estudia la estática
RESEÑA HISTÓRICA
Nos remontamos a las primeras nociones que se tienen respecto a la ciencia llamada
estática. Al ilustre matemática y físico Arquímedes (287-212 a.c) se debe el planteamiento
científico del equilibrio y teoría de la palanca.
Fue Leonardo Da Vinci (1452-1519) quien dio un paso adelante en la afirmación de tal
concepto, estableciendo que para las condiciones de equilibrio en la palanca, no es
preciso tener en cuenta solo las longitudes de los brazos, sino las distancias
perpendiculares del punto de apoyo a las rectas, según las cuales actúan las fuerzas.
Galileo Galilei formulo las leyes que rigen la aceleración en la caída de los cuerpos después
de Isaac Newton (1642-1727), con sus famosas leyes de Newton, da a conocer el método
de las tangentes y el cálculo diferencial en sus inicios.
La estática y sus leyes fundamentales tuvieron aplicación práctica hasta fines del siglo
XVIII, ya que solo la conocía un reducido grupo de sabios e investigadores y, como los
constructores desconocían esa ciencia, usaban las formas y materiales tradicionales, como
son la piedra y la madera.
La introducción del acero como material de construcción en la segunda mitad del siglo XIX
adquiere una importancia enorme y permite considerarlo como un nuevo y perfecto
elemento estructural resistente; a partir de ese tiempo comienza en la ingeniería y en la
arquitectura la asimilación de las normas de la Estática.
Con el dominio de las estructuras metálicas florece la estática aplicada y a aquellas se las
considera su principal propulsor al utilizarse en la construcción de todo género de
edificios; posteriormente recibe el apoyo definitivo y decisivo a través del concreto
reforzado. Es importante hacer notar que también la estática aplicada tiene un gran
empleo en el cálculo de cimentaciones, muros, cubiertas, etc., de materiales tales como
tabique, piedra, madera y en general cualquier material de construcción.

Junio 2015
RESISTENCIA DE MATERIALES
La resistencia de materiales amplia el estudio de las fuerzas que se inicia en la mecánica,
pero existe una clara diferencia entre ambas materias. El campo de la mecánica abarca
fundamentalmente las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido.
El contraste con la mecánica, la resistencia de materiales estudia y establece las relaciones
entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos. Además no
supone que los sólidos son idealmente rígidos, como en la mecánica, sino que las
deformaciones por pequeñas que sean, tienen gran interés. Las propiedades del material
de que se construye una estructura o maquina afectan tanto a su elección como a su
dimensionado, ya que deben de satisfacer ciertas condiciones de resistencia y rigidez.
Las maquinas o estructuras de ingeniería, como automóviles, aeroplanos, puentes,
edificios, generadores eléctricos y turbinas de vapor, se construyen generalmente uniendo
o ensamblando diversos cuerpos, llamados piezas o miembros, de una manera tal que la
estructura, montaje o máquina, desarrolle una función determinada. En muchas de dichas
estructuras, la función principal de un miembro es resistir las fuerzas externas, llamadas
cargas, que le son aplicables.
Frecuentemente se les llama miembros resistentes a las cargas, pues aunque pueden
tener otras funciones en la estructura, la principal condición que deben satisfacer, es que
resistan las cargas sin motivar que la estructura deje de trabajar satisfactoriamente.
Las teorías de la resistencia de materiales tienen como objetivo establecer los criterios
que nos permitan determinar el material más conveniente, la forma y las dimensiones
más adecuadas que hay que dar a los elementos de una construcción o de una máquina
para que puedan resistir la acción de las fuerzas exteriores que la solicitan, así como
obtener este resultado de la forma más económica posible.
UNIDADES DE MEDICIÓN Y CONVERSIONES
Sistemas de Unidades
Con los cuatros conceptos fundamentales introducidos en la sección anterior se asocian
las llamadas unidades cinéticas, es decir de longitud, tiempo, masa y fuerza. Tres de ellas
pueden definirse arbitrariamente; se les llama unidades básicas. La cuarta unidad, sin
embrago, se identifica como unidad derivada. Se dice que las unidades cinéticas así
seleccionadas forman un sistema congruente de unidades.

Junio 2015
El sistema internacional de unidades (SI)
En este sistemas, será de uso universal cuando los Estados Unidos completen su
conversión actual, las unidades básicas son las de longitudes masa y tiempo, y se llaman,
respectivamente, metro /(m), kilogramo (kg) y segundo (s). Las tres están definidas
arbitrariamente. El segundo, que representa la 1/86 400 parte del día solar medio, se
define como la duración de 9 192 631 770 ciclos de la radiación emitida en una transición
especifica del átomo de cesio. El metro, que intento representar una diezmillonésima
parte de la distancia del ecuador al polo, se define ahora como 1 650763.73 longitudes de
onda de la línea naranja roja del criptón 86. El kilogramo, que es aproximadamente igual a
la masa de 0.0001m3
de agua, se define como la masa de un patrón de platino.
El sistema internacional de unidades es en esencia el mismo que se reconoce como
sistema métrico. El comité internacional de pesas y medidas ha establecido siete
cantidades básicas y ha asignado unidades básicas oficiales a cada cantidad.
Cantidad Unidad Símbolo
Longitud Metro M
Masa Kilogramo Kg
Tiempo Segundos S
Corriente eléctrica Ampere A
Temperatura Kelvin K
Intensidad luminosa Candela Cd
Cantidad de
sustancia
Mol mol
UNIDADES COMPLEMENTARIAS
Cantidad Unidad Símbolo
Ángulo plano Radian rad
Ángulo solido Estereorradián sr
Cada una de las unidades que aparecen en la tabla tiene una definición medible y
específica que puede ser duplicada en cualquier parte del mundo. De estas unidades
básicas solo una, el kilogramo, se define en general en términos de una muestra física
individual. Esta muestra estándar se guarda en la oficina internacional de pesos y medidas
en Francia.

Junio 2015
Es posible medir muchas cantidades tales como volumen, presión, velocidad y
fuerza, que son combinaciones de dos o más cantidades fundamentales. Sin embargo,
nadie ha encontrado jamás una medida que no pueda ser expresada en términos de
longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura, intensidad luminosa o cantidad
de sustancia. Las combinaciones de estas unidades se denominan cantidades derivadas, y
se miden en unidades derivadas.
Se dice que el sistema internacional de unidades forma un sistema absoluto de unidades:
esto significa que las tres unidades básicas son independientes del lugar en donde se
utilicen las medidas. El metro, el kilogramo y el segundo pueden utilizarse enn cualquier
lugar de la tierra; incluso pueden emplearse en cualquier lugar de la tierra; incluso pueden
emplearse en cualquier planeta y seguirán siendo las mismas.

Junio 2015
Principales unidades del SI empleadas en mecánica
Cantidad Unidad Símbolo Fórmula
Aceleración Metro por
segundo al
cuadrado
m/s2
---
Angulo Radian rad
Aceleración
angular
Radian por
segundo al
cuadrado
rad/s2
Velocidad
angular
Radian por
segundo
rad/s ---
Área Metro
cuadrado
m2
---
Densidad Kilogramo por
metro cubico
kg/m3
---
Energía Joule N. m J
Fuerza Newton kg.m/s2
N
Frecuencia Hertz s-1
Hz
Impulso Newton-
segundo
Kg.m/s2
---
Longitud Metro m
Masa Kilogramo kg
Momento de
una fuerza
Newton-
metro
N-m ---
Potencia Watt J/s W
Presión Pascal N/m2
Pa
Esfuerzo Pascal N/m2
Pa
Tiempo Segundo s
Velocidad Metro por
segundo
m/s ---
Volumen,
solidos
Metro cúbico m3
---
Líquidos Litro 10-3
m3
L
Trabajo Joule Nm J
Sistema ingles de uso común en Estados Unidos (UseS)
La mayoría de los ingenieros estadounidenses continúan usando un sistema en el que las
unidades básicas son las unidades de longitud, fuerza y tiempo. Estas unidades son,

Junio 2015
respectivamente, el pie* (ft), la libra (lb), y el segundo (s). El segundo (s) es
idéntico a la unidad del SI. El pie se define como 0.3048m. La libra está definida como el
peso de un patrón de platino llamado libra estándar y que está en el National Bureau of
Standards en Washington; su masa es de 0.453 59243 kg. Como el peso de un cuerpo
depende de la atracción gravitacional de la Tierra, la cual varia con la ubicación, se
especifica que la libra estándar debe estar colocada al nivel del mar y a una altura de 45°
para definir correctamente la fuerza de una libra. Estas unidades no forman un sistema de
unidades absoluto: a causa de su dependencia respecto de la atracción terrestre
constituyen un sistema de unidades gravitacional.
Conversión de un sistema de unidades en otro
Existen muchas situaciones en las que un ingeniero necesita convertir las unidades del SI
un resultado numérico obtenido en las unidades de uso común en Estados Unidos o
viceversa. Como la unidad de tiempo es la misma en ambos sistemas solo se necesita
transformar dos unidades básicas y, puesto que todas las demás unidades cinéticas
pueden derivarse de estas unidades básicas, solo se requiere dos factores de conversión.
Unidades de longitud. Por definición, la unidad de longitud de eso común en Estados
Unidos es
Unidades de fuerza. Si recordamos que la unidad de fuerza de uso común en Estados
Unidos (la libra) está definida como el peso de una libra estándar (de masa 0.4536kg) al
nivel del mar y a una latitud de 45° (donde g= 9.807 m/s2
), y usando la ecuación (W= mg),
escribimos
O bien
Se sigue que c1 ft==.3048m
1 mi = 5280 ft = 5280(0.3048m) = 1609m
1 mi = 1609 km
También
O bien
1 in = (1/12)ft = (1/12)0.3048 m = 0.0254m
1 in = 25.4 mm

Junio 2015
Unidades de masa. La unidad de masa en el sistema de uso común en Estados Unidos (el
slug) es una unidad derivada. Así, que podemos escribir
Aunque no puede usarse como unidad de masa consistente, recordemos que la masa de la
libra estándar es, por definición
Esta constante puede usarse para determinar la masa en unidades SI (kilogramos) de un
cuerpo que este caracterizado por su peso en el sistema de unidades de uso común en
Estados Unidos (libras).
Para convertir una unidad derivada de uso común en Estados Unidos en una unidad del SI,
simplemente se multiplica o se divide por los factores de conversión apropiados. Por
ejemplo, para convertir al sistema SI el momento de una fuerza de M = 47lb.in, escribimos
M = 47lb.in = 47 (4.448N)(25.4mm) = 5310 N – mm = 5.31 N – m
FUERZAS Y SUS ACCIONES
Concepto de fuerza:
La idea de fuerza es uno de los conceptos fundamentales sobres los que descansa la
mecánica
 Fuerza: es la acción que se ejerce sobre un cuerpo, y que cambia o tiende a
cambiar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo libre sobre el que
actúa.
1 lb = 4.448 N
W = mg
1lb = (0.4536kg) (9.807m/s2
) = 4.448kg-m/s2
O bien
1 slug = 1 lb.s2
/ft = 14.59kg
1 masa de libra = 0.4536kg

Junio 2015
Características de una fuerza:
 Magnitud
 Dirección
 Sentido
 Posición o punto de aplicación
Una fuerza es un vector:
La posición puede quedar determinada por las coordenadas (x,y) de un punto que
pertenezca a la línea de acción de la fuerza, por la ordenada al origen, b, o por la distancia
al origen p (desde la recta de referencia hasta 0[0.0].
Efectos externos de una fuerza:
Cuando sobre un cuerpo se aplica
una fuerza o un sistema de fuerzas,
estas producen en el cuerpo un
movimiento o una aceleración, pero
si el cuerpo está imposibilitado a
moverse aparecerán ciertas
reacciones que van a equilibrar a las
primeras fuerzas (para que el cuerpo
quede estático). Estas reacciones son los efectos externos que produjeron una fuerza o
cualquier sistema de fuerzas.
Línea de Acción
Magnitud
Sentido
Dirección
Ø

Junio 2015
Efectos internos de una fuerza:
Cuando se ha aplicado una fuerza sobre un cuerpo y este está imposibilitado para
moverse, el cuerpo sufre ciertas deformaciones en su material; estas deformaciones son
los efectos internos de la fuerza.
El movimiento de un cuerpo lo determina la resultante de las fuerzas que actúan sobre el
mismo. Por consiguiente, para estudiar los movimientos de los cuerpos físicos es preciso
partir del conocimiento de la resultante de los diversos sistemas de fuerzas, y de los
métodos para expresar las características de las resultantes en función de las fuerzas del
sistema.
FUERZAS SOBRE LAS ESTRUCTURAS
 Acción de la estructura: Flujo de fuerzas y trasmisión de cargas
Las estructuras naturales y técnicas tienen como misión, no solo soportar el peso propio
de objeto, sino también las cargas adicionales (sobrecargas). Este proceso se describe
como transmisión de fuerzas.
Sin embargo, lo esencial del proceso de transmisión de cargas no es la acción, fácilmente
imaginable, de la recepción de esfuerzos, sino el proceso interno de transmisión de
esfuerzos. Sin la capacidad para transmitir las cargas, un elemento no es estable, ni frente
a su peso propio, ni mucho menos frente a las sobre cargas
Por lo tanto, una estructura trabaja a tres niveles consecutivos:
1. Recepción de cargas
2. Flujo de cargas
3. Transmisión de cargas
Este proceso se describe como FLUJO DE FUERZAS. Es la idea básica para el diseño de
estructuras. A partir del recorrido de las cargas también se puede valorar la rentabilidad
de una estructura.
El flujo de fuerzas no plantea problemas en tanto que la forma del objeto se adapte a la
dirección de las solicitaciones. En el caso de las cargas gravitacionales se daría este caso si
la materia estuviera relacionada de la manera más directa y a la menor distancia posible
con tierra, el punto de descarga de las solicitaciones. Sin embargo, aparece un problema
cuando la transmisión de cargas no se lleva a cabo tan directamente y ha de recorrer
caminos secundarios.
El diseño de estructuras en el campo de la técnica tiene como misión desarrollar un
sistema de flujo de fuerzas que responda a una imagen funcional prefijada, o, como

Junio 2015
mínimo, se aproxime mucho a ella. Se trata de transformar la imagen de las
fuerzas actuantes en una nueva imagen de fuerzas con una acción global similar mediante
la materia ya sea transformando la propia forma funcional, reforzando la materia de la
forma o mediante construcciones auxiliares.
Una nueva configuración de fuerzas se crea menos por el cambio dela dimensión de la
fuerza que por la nueva orientación de la dirección de la fuerza en el espacio. Así, esta
última es determinante para la dimensión de los esfuerzos que inciden en el objeto.
El cambio de dirección de los esfuerzos (o fuerzas
que fluyen en el interior de la estructura) es la
premisa mediante la cual se crean nuevas
configuraciones de esfuerzos. Con otras palabras: la
transmisión de los esfuerzos se debe realizar por
nuevas vías, o sea, debe ser desviado. EL DESVIO DE
LOS ESFUERZOS es, por ello, el principio de guiado
del flujo de fuerzas en el objeto.
Como conclusión: el conocimiento de los
mecanismos existentes para desviar las fuerzas en
otra dirección es la premisa fundamental para el
desarrollo de nuevas configuraciones de fuerzas. La
ciencia de las posibilidades del desvió de fuerzas es el
nuevo de las estructuras y el fundamento para un
orden de los sistema estructurales.
Se consideran como cargas muertas los pesos de
todos los elementos constructivos, de los acabados
y de todos los elementos que ocupan posición
permanente y tienen un peso que no cambia
sustancialmente con el tiempo.

Junio 2015
Para la evaluación de las cargas muertas se emplearan las dimensiones
especificadas de los elementos constructivos y los pesos unitarios de los materiales. Para
estos últimos se utilizaran valores mínimos probables cuando sea más desfavorable para
la estabilidad de la estructura considerar una carga muerta menor, como en el caso de
volteo, flotación, lastre y succión producida por viento. En otros casos se emplearan
valores máximos probables.
El peso muerto calculado de losas de concreto de peso normal coladas en lugar se
incrementará en 20 kg/m2.
Cuando sobre una losa colada en el lugar o pre colada, se
coloque una capa de mortero de peso normal, el peso calculado de esta capa se
incrementara también en 20 kg/m2
, de manera que el incremento total será 40 kg/m2
.
Tratándose de losas y morteros que poseen pesos volumétricos diferentes del normal,
estos valores se modificaran en proporción a los pesos volumétricos.
Estos aumentos no se aplicaran cuando el efecto de la carga muerta sea favorable a la
estabilidad de la estructura.
Cargas Vivas
Se consideran cargas vivas las fuerzas que se
producen por el uso y ocupación de las
edificaciones y que no tienen carácter
permanente. A que se justifiquen
racionalmente otros valores, estas cargas se
tomaran iguales las especificaciones en el
siguiente párrafo. Las cargas especificadas no
incluyen el peso de muros divisorios de
mampostería o de otros materiales, ni el de
muebles, equipos u objetos de peso fuera de lo
común, como cajas fuertes de gran tamaño,
archivos importantes, libreros pesados o cortinajes en salas de espectáculos. Cuando se
prevean tales cargas deberán cuantificarse y tomarse en cuenta en el diseño en forma
independiente de la carga viva especificada. Los valores adoptados deberán justificarse en
la memoria de cálculo e indicarse en los planos estructurales.

Junio 2015
Para la aplicación de las cargas vivas unitarias se deberá tomar en consideración las
siguientes disposiciones:
I. La carga viva máxima Wm se deberá emplear para diseño estructural por fuerzas
gravitacionales y para calcular asentamientos inmediatos en suelos, así como en el
diseño estructural de los cimientos ante cargas gravitacionales;
II. La carga instantánea Wa se deberá usar para diseño sísmico y por viento y cuando
se revisen distribuciones de carga más desfavorables que la uniformemente
repartida sobre todo el área;
III. La carga media W se deberá emplear en el cálculo de asentamientos diferidos y
para el cálculo de flechas diferidas.
IV. Cuando el efecto de la carga viva sea favorable para la estabilidad de la estructura
como en el caso de problemas de flotación, volteo y de succión por viento, su
intensidad se considerara nula sobre toda el área, a menos que pueda justificarse
otro valor acorde con la definición del artículo 187 de este Reglamento, y
V. Las cargas uniformes de la tabla que se muestra a continuación, se considerarán
distribuidas sobre el área tributaria de cada elemento.

Junio 2015
Tabla B. de cargas vivas unitarias, en kg/m2

Junio 2015
Observaciones a la tabla de cargas vivas unitarias:
1. Para elementos con área tributaria mayor de 36m2
, Wm podrá reducirse,
tomándola igual a 100 + 420 A (-1/2) (A es el área tributaria en m2
). Cuando sea
más desfavorable se considerara en lugar de Wm, una carga de 500kg aplicada
sobre un área de 50x50 cm en la posición más crítica.
Para sistemas de pisos ligeros con cubierta rigidizante, se considerara en lugar de
Wm, cuando sea más desfavorable, una carga concentrada de 250Kg para el baño
de los elementos de soporte y de 100kg para el diseño de la cubierta, en ambos
casos ubicadas en la posición más desfavorable.
Se consideraran sistemas de piso ligero aquellos formados por tres o más
miembros aproximadamente paralelos y deparados entre si no más de 80 cm y
unidos con una cubierta de madera contrachapada, de duelas de madera bien
clavadas u otro material que proporcione una rigidez equivalente.
2. Para elementos con área tributaria mayor de 36m2
, Wm podrá reducirse,
tomándola igual a 180+420 A (-1/2) (A es el área tributaria en m2
). Cuando se más
desfavorable se considerara en lugar de Wm, cuando sea más desfavorable, una
carga concentrada de 500kg, para el diseño delos elementos de soporte y de 150kg
para el diseño de la cubierta, ubicadas en la posición desfavorable.
3. En áreas de comunicación de casas de habitación y edificios de departamentos se
considerara la misma carga viva en el caso de la tabla B
4. Para el diseño de los pretiles y barandales en escaleras, rampas, pasillos y
balcones, se deberá fijar una carga por metro lineal no menor de 100kg/ml
actuando al nivel de pasamanos y en la dirección más desfavorable.
5. En estos casos deberá presentarse particular atención a revisión de los estados
límite de servicio relativos a vibraciones
6. Atendiendo al destino del piso se determinará con los criterios siguientes, la carga
unitaria, Wm, que no será inferior a 350kg/m2
, deberá especificarse en los planos
estructurales y en placas colocadas en lugares fácilmente visibles de la edificación
7. Las cargas vivas especificadas para cubiertas y azoteas no incluyen las cargas
producidas por tinacos y anuncios, ni las que se deben a equipos u objetos pesados
que puedan apoyarse en o colgarse del techo. Estas cargas deben preverse por
separado y especificarse en los planos estructurales. Adicionalmente, los
elementos de las cubiertas y azoteas, deberán revisarse con una carga concentrada
de 100kg en la posición más crítica.
8. Además, en el fondo de los valles de techos inclinados se considerará una carga,
debida al granizo de 30kg por cada metro cuadrado de proyección horizontal del
techo que desagüe hacia el valle. Esta carga se considerará como una acción

Junio 2015
accidental para fines e revisión de la seguridad y se le aplicaran los factores de
cargos correspondientes.
9. Más una concentración de 100kg, en el lugar más desfavorable del miembro
estructural de que se trate.
Se han incrementado notablemente los valores de las cargas vivas en Oficinas,
estacionamientos y lugares de reunión.
Durante el proceso de edificación deberán considerarse las cargas vivas transitorias que
puedan producirse; estas incluirán el peso de los materiales que se almacenes
temporalmente, el de los vehículos y equipo, el de colado plantas superiores que se
apoyen en la planta que se analiza y del personal necesario, no siendo este último peso
menor que 150kg/m2
. Se considerara además una concentración de 150 kg en el lugar más
desfavorable.
El propietario o poseedor será responsable de los prejuicios que ocasione el cambio de
uso de una edificación, cuando produzca cargas muertas o vivas mayores o con una
distribución más desfavorable que las del diseño aprobado.
El propietario, deberá vigilar las cargas a las que se someta su propiedad por terceros, de
modificarse éstas, el D.R.0., y sus Corresponsables en su caso no tendrán, ninguna
responsabilidad en caso de falla de la estructura, el D.R.0., deberá hacer notar al
Departamento si las cargas, han sido modificadas por los arrendatarios o el propietario
para deslindar su responsabilidad.
FUERZAS COLINEALES
Las fuerzas colineales son aquellas que trabajan sobre la misma línea de acción, es decir
que siguen la misma trayectoria. Ejemplo:
 Se tiene una familia que pasea una bicicleta múltiple como se muestra en la figura:
De izquierda a derecha tenemos que la niña coopera con un impulso de 6kg, el jovencito
coopera con 8kg, la esposa coopera con 10kg y al frente el papá coopera con 12kg. Cada
uno de estos impulsos para mover la bicicleta son ejemplos de fuerzas coplanares, porque
todas coinciden con la misma línea de acción.

Junio 2015
 En la siguiente figura tenemos la representación gráfica del sistema de fuerzas a
escala:
FUERZAS CONCURRENTES
La resultante de un sistema de fuerzas cuyas líneas de acción se intersecan en un punto
(fuerzas concurrentes) se define como la fuerza única que reemplazara completamente
todas las fuerzas originales.
Esto son las fuerzas concurrentes, fuerzas que tienen un punto de concurrencia en común
donde al mostrarse gráficamente se intersectan en un punto.
P4
1.5cm 2 cm 2.5 cm 3 cm
P1 P2 P3
a b c d e

Junio 2015
FUERZAS COPLANARES Y NO COPLANARES
Los sistemas de fuerzas que se estudiaran pueden clasificarse de la siguiente manera:
Las fuerzas coplanares son las que están contenidas en un solo plano, en este caso los
sistemas de dos o más fuerzas solo serán coplanares si se encuentran localizadas en un
mismo plano; de lo contrario, será un sistema de fuerzas no coplanares.
Coplanares
No Coplanares
Colineales
Concurrentes
Paralelas
Ni paralelas ni concurrentes
Colineales
Concurrentes
Paralelas
Ni paralelas ni
concurrentes
Sistemas
de Fuerzas

Junio 2015
COPLANARES
Colineales:
Todas las fuerzas están sobre una misma línea de acción
Concurrentes:
Todas las líneas de acción concurren en un mismo punto
Paralelas:
Las líneas de acción de todas las fuerzas son paralelas

Junio 2015
Ni paralelas ni concurrentes
Las líneas de acción de todas las fuerzas no son ni concurrentes ni paralelas
FUERZAS NO COPLANARES
Las líneas de acción de las fuerzas están en planos diversos
Concurrentes:
Las líneas de acción están en varios planos diversos y concurren en un mismo plano

Junio 2015
Paralelas:
Las líneas de acción de las fuerzas son paralelas y están en varios planos
Ni paralelas ni concurrentes (caso general)
Estando en diversos planos, las líneas de acción de las fuerzas no son ni paralelas ni
concurrentes

Junio 2015
PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA
El célebre matemático, físico y astrónomo ingles Sir Issac Newton (1642-1727), fue un
genio que dio a la humanidad notables descubrimientos, fue profesor de matemáticas de
la universidad de Cambridge y miembro de la Royal Society, de la que fue presiente.
A fines del siglo XVII formulo tres leyes conocidas como las tres leyes de Newton, que son
la piedra angular, básica y fundamental de la mecánica y que describimos a continuación.
Primera Ley de Newton
“Un cuerpo se encuentra en estado de movimiento uniforme o en estado de reposo,
permanecerá siempre en ese estado a menos que se le aplique una fuerza”
Segunda Ley de Newton
“Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo rígido en estado de reposo, el movimiento que
sufre este es proporcional a la fuerza aplicada y se efectúa en la dirección en que actúa la
mencionada fuerza”
Tercera Ley de Newton
“A toda acción corresponde una reacción de igual intensidad pero en sentido contrario”
La solución a los problemas que se presentan en la estática aplicada, se encuentra a través
de los axiomas conocidos como principios de la estática; que son:

Junio 2015
Ley del Paralelogramo
Esta ley fue enunciada por Stevin en 1586 y dice: “si dos fuerzas P y Q actúan sobre un
mismo punto material, sus acciones y efectos son equivalentes a una tercera fuerza R, que
es la diagonal al paralelogramo construido o trazado tomando en cuenta como lados los
vectores P y Q.
Como consecuencia de la ley del paralelogramo se puede establecer que: “La resultante
de dos fuerzas que se aplican en un mismo punto de un cuerpo, es el tercer lado de un
Primer principio: “Ley del Paralelogramo”
Segundo principio: “De los dos sistemas nulos”
Tercer principio: “Adición de sistemas nulos”
Cuarto principio: “Acción y reacción”

Junio 2015
triángulo cuyos otros dos lados son las fuerzas o vectores aplicados sobre dicho
cuerpo.” A esto se le llama ley del triángulo.
Los vectores se colocan uno a uno a continuación del otro de tal manera que donde
termine uno, comience el otro y la resultante principia en el inicio de la primera fuerza y
termina en el final de la segunda, formándose así el triángulo de fuerzas.
Ley de los sistemas nulos
Para que dos fuerzas se equilibren es necesario que sean opuestas, de igual intensidad y
que estén contenidas en la misma línea de acción, cuando esto ocurre, se dice que es un
sistema de fuerzas nulo.
En la figura en la parte I tenemos dos fuerzas F1 y F2 , ambas con una magnitud de 50
kilogramos; a su vez están contenidas en una misma línea de acción con dirección de 30º ,
como ambas fuerzas son iguales y colineales, se contrarrestan y no provocan movimiento
alguno, provocando con esto un sistema de fuerzas nulo.
Ahora en la figura, en la parte 2 se han hecho coincidir el punto B de la fuerza F1, con el C
de la fuerza F2 logrando con esto que ambas fuerzas tengan un punto de aplicación común
el cual permanecerá inmóvil, o sea en estado de reposo, originando con esto un sistema
de fuerzas nulo.

Junio 2015
Adición de los sistemas nulos
El efecto de un sistema de fuerzas dado sobre un cuerpo rígido no se modifica, si a dicho
sistema se agrega o quita un sistema de fuerzas nulo
En la figura tenemos dos fuerzas con los datos siguientes:

Junio 2015
Fuerza Magnitud Dirección Sentido
F1 20kg 45° Izquierda a
derecha (AB)
F2 20kg 135° Derecha a
izquierda
(AC)
Al aplicar el primer principio de la estática se puede ver que la resultante (siguiendo la
escala 1cm=5 kg. R tiene los valores siguientes:
R = 28.3 Kg. 90° de abajo hacia arriba. (AD)
En la siguiente figura tenemos un par de fuerzas que forman un sistema de fuerzas nulo,
con los datos siguientes: (se usa la misma escala)
F3 15 kg 0° De izquierda
a derecha
(AE)
F4 15 kg 180° De derecha a
izquierda
(AF)
Si ahora hacemos coincidir el punto A del primer sistema con el punto a del segundo,
podremos constar que el sistema original de fuerzas no se altera si le sumamos un sistema
de fuerzas nulo.

Junio 2015
PRINCIPIOS DE ACCIÓN Y REACCIÓN
Toda acción implica la existencia de una reacción de igual intensidad y de sentido
contrario.

Junio 2015
RESULTANTE DE SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES
La resultante de un sistema de fuerzas cuya líneas de acción se intersectan en un punto
(fuerzas concurrentes) se define como una fuerza única que reemplazara completamente
todas las fuerzas originales.
APLICACIONES DE LA LEY DEL PARALELOGRAMO
Mediante el método de la ley del paralelogramo sumar en un plano una fuerza de 120 Kg
a 30° con una fuerza de – 100kg a 90° (ver figura)
Dibujar un esquema del problema, no necesariamente a escala. El signo negativo indica
que la fuerza de 100Kg actúa a lo largo de la recta de 90° pero hacia abajo. Esta fuerza es
equivalente a otra positiva de 100Kg dirigida a lo largo de la línea de 270°, de acuerdo con
el principio de transmisibilidad. Como se presenta en la siguiente figura , se colocan los
dos extremos posteriores en un punto común, se dibujan los vectores a escala adecuada y
se completa el paralelogramo. La resultante R mide en la escala utilizada en este caso
111Kg. Mediante un transportador se ve que forma con el eje de las x un ángulo de 339°.
30°
120kg 100kg
90°
x
100Kg
30° x
y
339°

Junio 2015
LEY DEL TRIANGULO
Ahora aplicamos la ley del triángulo al problema anterior por lo tanto volvemos a usar la
misma figura:
Solución:
Carece de importancia el vector que se escoge primero. En este caso se tomó primero el
vector de 120Kg. En su extremo anterior se coloca el posterior de la fuerza de 100Kg. Se
dibuja la resultante desde el origen de la fuerza de 120Kg hasta la punta de la fuerza de
100Kg. Cuando se mide su valor con la escala seleccionad, y se determina su dirección se
tienen los mismos resultados que en el método de la ley del paralelogramo, es decir 111
Kg a 339°.
POLIGONO VECTORIAL
Primeramente se trazan las fuerzas y a este diagrama se le llama diagrama de espacios; a
los espacios entre fuerza y fuerza se les designa con una letra mayúscula, comenzando con
A,B,C, etc., después se traza el diagrama conocido como polígono vectorial, comenzando
por trazar a escala con la misma magnitud, dirección y sentido a la fuerza F1 partiendo del
punto a y terminando en el punto b, después partiendo de b, trasladamos a la fuerza F2,
que terminara en el punto c y así sucesivamente como se muestra en la figura.
120kg 100kg
90°
x
30°kg
100kg
x
y
Ɵ°

Junio 2015
Para encontrar la resultante del sistema basta con unir por medio de una línea recta el
punto inicial a con el punto final, esta representa a un vector que equivale a la magnitud,
dirección y sentido a la resultante.
Al tomar medidas tenemos que la resultante R vale 3.1 ton y la dirección 161°.
Si desea puede trasladar la resultante al diagrama de espacios, haciendo coincidir al punto
a con el punto de donde parten todas las fuerzas, ya que es un sistema de fuerzas
coplanares concurrentes.
A lo anteriormente descrito también se le conoce como notación de Bow.
Ahora, en un sistema de fuerzas concurrentes, los pasos para la solución de un problema
mediante el uso del polígono vectorial se enlistan a continuación:
A
B
C
D
E
60°
60°
150°
90° F1
F2
F3
F4
a b
c
d
e
161°
F1
F2
F3F4

Junio 2015
 Se trazan las fuerzas del sistema a una escala previamente escogida y con
las direcciones y sentidos indicados.
Se transporta a escala y con la misma dirección, la fuerza F1 (ab), donde termina iniciamos,
de la misma forma, el trazo de la fuerza F2 (bc). El vector que parte de a hacia c es la
resultante R del sistema. Después elegimos un punto O en forma arbitraria a la derecha
del polígono vectorial, y unimos por medio de líneas rectas O con a, O con b y O con c,
denotando a estas rectas con los números 1,2 y 3 respectivamente.
Solución Matemática
Se puede determinar la resultante de dos fuerzas concurrentes analíticamente, como
aplicación de la ley de paralelogramo (por lo tanto también de la ley del triángulo). Sean
fuerzas P y Q concurrentes en un punto y R su resultante:
Escala 1cm: 1kg
A
B
C
F1
F2
4cm
60° 90°
6.8cm
R
b
a
c
1
2
3
0
F1
F2
A
B
αƟ
R
C
O
D
P E
α

Junio 2015

Junio 2015
Ejemplo:
Se tienen dos fuerzas concurrentes P y Q de 40T y 30 T respectivamente, y describen
entre ellas un ángulo de 60º.
Encontrar el valor de la resultante y el ángulo que define la dirección de su linea de acción.
RESULTANTE DE SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES
Un sistema de fuerzas no concurrentes es un sistema donde, como ya se mencionó
anteriormente, las fuerzas no se entrecruzan en ningún punto del plano o del espacio, es
decir no concurren en un punto en específico.
POLIGONO VECTORIAL Y FUNICULAR
El polígono funicular es un método efectivo para encontrar la resultante de un sistema de
fuerzas no concurrentes.

Junio 2015
A continuación se muestra como trazarlo mediante un ejemplo:
Se traza sobre un diagrama de cuerpo libre dos fuerzas:
Trazamos un polígono vectorial de la forma ya estudiada o sea, trasladando las fuerzas
una seguida de la otra, y uniendo el punto a con el punto c determinamos el valor de R; en
magnitud, dirección y sentido, después localizamos en forma arbitraria un punto O, el cual
unimos con los puntos a, b y c por medio de líneas rectas que llamamos rayos 1,2 y 3
Por último se traza un polígono funicular trasladando dos líneas punteadas las líneas de
acción de cada fuerza hacia abajo, para después trasladar por medio de líneas paralelas
los rayos 1,2, coincidiendo con el punto I (este punto se puede localizar de manera
arbitraria, pero siempre sobre la línea de acción de la fuerza P1)
P1
R=?
P2
a
c
P1
b
P2
1
0
3
2
R

Junio 2015
Después de trazar los rayos 1 y 2, localizamos un punto donde cruce el rayo 2 a la línea de
acción de la fuerza P2; desde este punto II iniciamos el trazo del rayo 3 hasta cruzar el
rayo 1 en un punto que llamamos III; a partir de este punto subimos una línea vectorial
sobre la que localizamos la resultante R del sistema.
SOLUCIÓN MATEMÁTICA
La solución matemática de este tema se incluye junto con la gráfica, la mejor manera de
resolver este tipo de problemas es por la manera antes mencionada.
MOMENTOS DE PRIMER ORDEN
En la estática, la resistencia de materiales y en el campo de las estructuras, es primordial
el cálculo de los momentos de primer orden, también conocidos como momento de giro o
simplemente momento.
Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos, frecuentemente tienden a girar originando con
ello momentos y como las estructuras deben ser cuerpos estáticos, dentro de las mismas
se originan momentos contrarios a los que provocan las fuerzas conocidos como
momentos resistentes. Más adelante se habla a detalle de los momentos.
EL MOMENTO DE UNA FUERZA
El momento de una fuerza con respecto a un punto es una tendencia al giro de dicha
fuerza en torno a un punto cualquiera al cual está ligada, es decir que para definir el
momento de una fuerza es necesario tener definidas la fuerza y el punto.
El momento de una fuerza es igual al producto de la fuerza por su distancia al punto.
MAF = F X d; esto se lee: el momento, con respecto al punto A de una fuerza F, es igual a la
fuerza por su distancia al punto A.
F
d
A

Junio 2015
El momento se expresa en unidades tales como:
 Toneladas – metro
 Kilogramos – metro
 Kilogramo – centímetro
En virtud de que representan fuerza por distancia.
SIGNOS DE GIRO
La convención de signos para el giro de los momentos; es positivo (+) en el sentido
contrario a las manecillas del reloj y negativo (-) en el sentido del giro de las manecillas del
reloj.
MOMENTO DE UN PAR
Se conoce como momento de un par o par de fuerzas, al sistema formado por dos fuerzas
de igual magnitud, paralelas y de sentido contrario. Si observamos las siguientes figuras,
tenemos dos fuerzas de igual magnitud, paralelas y de sentido contrario, equidistantes de
un eje de rotación que pasa por A; por lo tanto las distancias 1 y 2 son iguales y como las
distancia 3 representa la suma de la distancia 1 y la distancia 2 tenemos:
d3 = d1 + d2
- +

Junio 2015
TEOREMA DE VARIGNON
El objetivo de esta sección es aprender a calcular el momento de varias fuerzas mediante
el teorema de varignon, según los datos que se proporcionan.
“El momento producido por dos o más fuerzas con respecto a un punto, es igual al de su
resultante por la distancia al punto de referencia.”

Unidad I sistemas de fuerzas, momentos y medicion

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (16)

Similar a Unidad I sistemas de fuerzas, momentos y medicion

Similar a Unidad I sistemas de fuerzas, momentos y medicion (20)

Más de grupocad

Más de grupocad (10)

Último

Último (20)

Unidad I sistemas de fuerzas, momentos y medicion