Este documento describe el uso del complemento Solver de Excel para obtener raíces aproximadas de funciones no lineales. Explica los pasos para activar Solver y luego utiliza dos ejemplos para mostrar cómo usarlo para encontrar las raíces de una función cuadrática y las profundidades alternativas de una ecuación de hidráulica de canales.

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Uso del Solver de Excel
Technical Report · January 2012
DOI: 10.13140/RG.2.2.14489.42086
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Lemuel Carlos Ramos Arzola
Institut National de la Recherche Scientifique
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2. USO DEL “SOLVER” DE EXCEL
Autor: Lemuel Carlos Ramos Arzola Fecha: 2012
email: lemuel@cih.cujae.edu.cu
El Solver es un complemento incorporado dentro del Microsoft Excel cuyo objetivo
principal es servir de asistente a los usuarios relacionados con problemas de
optimización. Esta herramienta también brinda la posibilidad de obtener raíces
aproximadas de funciones no lineales muy comunes en la ingeniería. A continuación
se detallarán los pasos necesarios para la activación del complemento Solver y la
aplicación del mismo (en dos ejemplos) en la obtención de raíces aproximadas de
funciones no lineales.
Activación del complemento Solver.
Es bueno señalar que el desarrollo de este documento se llevará a cabo utilizando la
versión del 2010, existen pequeñas diferencias en la ejecución de estos pasos en
relación con la versión anterior.
Lo primero es clic en la pestaña Archivo y luego en Opciones (figura 1 y 2).
Figura 1
Figura 2

3. En la ventana Opciones de Excel, en la lista de la izquierda, clic en Complementos
(figura 3). En la zona inferior del menú Complementos en la lista desplegable ubicada
a la derecha de Administrar, seleccionar Complementos de Excel y después clic en
el botón Ir (figura 4).
Figura 3
Figura 4
Una vez dado clic sobre el botón se muestra automáticamente la ventana
Complementos, en la cual es necesario activar la opción Solver marcando la casilla
de activación que se encuentra a la izquierda de esta opción. Finalmente clic en el
botón Aceptar (figura 5).

4. Figura 5
En la pestaña Datos en el grupo Análisis se encuentra la ubicación del complemento
Solver activado anteriormente (figura 6).
Figura 6
Obtención de raíces aproximadas de funciones no lineales.
Este punto como se dijo anteriormente se desarrollará a través de dos ejemplos. En el
primer caso se expondrán los pasos a seguir para obtener las raíces aproximadas de
una función cuadrática, cuya solución exacta se puede conocer permitiendo
comprobar los resultados brindados por el Solver, mientras que en el segundo ejemplo
se utilizará una función con varios parámetros en la cual es imposible determinar, por
una vía exacta, las raíces de la misma.
La función cuadrática es la siguiente:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 4 ………………………………………………………………………… Ec.1
dónde:
𝑥: variable independiente.
𝑦: variable dependiente.

5. Las raíces de una ecuación se obtienen al plantear y resolver la siguiente ecuación:
𝑓(𝑥) = 0 ………………………….…………………………………………………… Ec. 2
En el caso de la ecuación 1 se conoce por vía exacta que las raíces de la misma son
𝑥1 = −2 y 𝑥2 = 2. En la (figura 7) se muestra el gráfico y las raíces de la ecuación 1.
Figura 7
Veamos cómo proceder con el Solver. Primero será necesario definir en una hoja de
cálculo dos celdas encargadas de contener el valor de X e Y respectivamente, en este
ejemplo la celda A2 contiene el valor de X y la celda B2 el de Y (figura 8).
Figura 8
De manera inicial asignar un valor a X (celda A2) y luego en la celda B2 programar la
ecuación 1 (figura 9).
Figura 9
Observar que luego de programar la ecuación, para el valor de X igual a 1, se obtiene
Y igual a -3. Si el valor inicial asignado a X genera que en la celda correspondiente
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Ecuación 1
Raíces

6. con el valor de Y se obtenga un número próximo a cero, esto indicaría que con la
aproximación inicial se está muy cerca de la raíz de la ecuación.
Para el siguiente paso ir a la pestaña Datos y en el grupo Análisis clic en el ícono
Solver (en la figura 6 se mostró esta ubicación). A continuación se muestra la ventana
Parámetros de Solver desde la cual se configuran todas las opciones para resolver
un problema de optimización o la obtención de raíces de ecuaciones no lineales
(figura 10).
Figura 10
En la opción Establecer objetivo seleccionar la celda B2, donde se encuentra la
variable dependiente Y, es donde está programada la ecuación a la cual se desea
determinar la raíz. Luego en Para seleccionar la opción Valor de y en el cuadro de la
derecha que se activa introducir el número 0. También seleccionar en Cambiando las
celdas de variables la celda A2, donde se encuentra la variable independiente X,
quiere decir que el Solver buscará, variando la celda A2, dónde la celda B2 es próxima
a cero. Comprobar que el Método de resolución sea GRG Nonlinear y luego clic en
el botón Resolver (figura 11).

7. Figura 11
Luego se muestra la ventana Resultados de Solver donde notifica, entre otras cosas,
que Solver encontró una solución. Dicha solución se muestra automáticamente en la
celda A2, y en la celda B2 se observa el valor de la ecuación 1 para la solución
brindada por el Solver (figura 12). Esta solución es prácticamente una de las raíces de
la ecuación 1 (𝑥2 = 2).

8. Figura 12
Anteriormente se dijo que en la celda A2 se colocó el valor 1. Este valor es
considerado por el Solver como la aproximación inicial para realizar la búsqueda de
las raíces. A partir del mismo se encuentra la raíz más próxima de la ecuación 1, por
esto la primera raíz encontrada fue 2. Para obtener la otra raíz se puede colocar en la
celda A2 el valor de -3 y ejecutar Solver manteniendo la configuración descrita
anteriormente, solamente desactivar la opción Convertir variables sin restricciones
en no negativas (figura 13).
Figura 13

9. Luego de dar clic en el botón Resolver se obtiene aproximadamente la raíz 𝑥1 = −2
(figura 14).
Figura 14
Ahora obtendremos las raíces de una ecuación no lineal que tiene un grupo de
parámetros de entrada. En la Hidráulica de Canales para una misma energía de flujo
en una sección de un canal, existen dos posibles profundidades de circulación
conocidas como profundidades alternativas. La expresión que modela esta situación
es la siguiente:
𝐸 = 𝑌 +
𝑄2
2𝑔(𝑏𝑌+𝑚𝑌2)2
………………………………………………………………. Ec.3
dónde:
E: Energía específica. [L]
Y: Profundidad de circulación del flujo. [L]
Q: Gasto de circulación. [L3T-1]
g: Aceleración de la gravedad. [LT-2]
b: Ancho de plato del canal. [L]
m: Talud del canal. [Adim]
Para determinar la profundidad de circulación conocida la energía específica, como la
ecuación 3 no tiene solución exacta por vía analítica, se recurren a métodos
numéricos. La (figura 15) muestra el gráfico de la misma, donde se observa que para
un mismo valor de energía específica se obtienen dos profundidades de circulación.

10. Figura 15
Veamos cómo proceder utilizando el Solver para obtener las profundidades
alternativas en una sección donde se conoce que la energía específica es igual a
1.5 m. Para ello se define en una hoja de cálculo los parámetros de entrada de la
ecuación 3, quiere decir, Q, b, m y g (figura 16).
Figura 16
Se crean también las celdas encargadas de contener a las variables E e Y (celdas A5
y B5). De manera inicial se asigna un valor a la profundidad (Y=0.5) y se programa en
la celda A5 la ecuación de la energía específica, ecuación 3 (figura 17).
Figura 17
Observar que en este ejemplo la ecuación a resolver no está escrita de la forma
𝑓(𝑥) = 0, ya que lo que se desea determinar son las profundidades que generan una
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.0 1.0 2.0 3.0
Y(m)
E (m)
Energía Específica
Y alternativas
E = 1.5 m

11. energía igual a 1.5 m. Modelando esta situación mediante una expresión matemática
quedaría de la siguiente manera:
1.5 = 𝑌 +
22
2∙9.81(3𝑌+2𝑌2)2
…………………………………………………………… Ec.4
A continuación ir a la pestaña Datos y en el grupo Análisis clic en Solver. En
Establecer objetivo seleccionar la celda A5 (energía específica, E), en Para activar
Valor de y asignar el valor de 1.5 (energía conocida). Luego en Cambiando las
celdas de variables seleccionar la celda B5 (profundidad, Y), comprobar que el
Método de resolución sea GRG Nonlinear y finalmente clic en el botón Resolver
(figura 18).
Figura 18
Solver encuentra la primera profundidad alternativa, en este caso la mayor, y se
observa que esta solución prácticamente garantiza la energía impuesta de 1.5 m
(figura 19).

12. Figura 19
Para encontrar la otra solución basta cambiar la aproximación inicial dada a la
profundidad. Colocar en la celda B5 (Y) el valor de 0.01 y nuevamente ejecutar Solver
manteniendo la configuración anterior. La solución brindada por el Solver se muestra
en la (figura 20).
Figura 20
Finalmente en la (figura 21) se observa un gráfico de la energía específica y las
profundidades alternativas calculadas por el Solver.
Figura 21
0.119
1.497
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.0 1.0 2.0 3.0
Y(m)
E (m)
Energía Específica
Y alternativas
E = 1.5 m
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