problemas resueltos

1. MOVIMIENTO OSCILATORIO
1. Movimiento armónico simple. Vamos a estudiar el movimiento de objetos sometidos a
fuerzas restauradoras (de tipo elástico), como las producidas por un muelle o las que
experimenta un átomo dentro de un sólido cristalino cuando se desplaza de su posición
de equilibrio.
Sea una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k:
Ley de Hooke
Por la segunda ley de Newton, si no hay más fuerzas sobre el cuerpo:
La aceleración (fuerza) es proporcional a la distancia al punto de equilibrio. La solución a esta
ecuación es una función periódica:
A: amplitud (máxima elongación);
: frecuencia angular;
: fase.
Significado de : cuando T = 2, el valor de x se repite
T : periodo
Frecuencia angular
Frecuencia natural
La fase se utiliza para poder definir nuestro instante t = 0.
la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud

3. 2. Péndulo simple. Un péndulo simple describe oscilaciones que son armónicas simples sólo si
son de pequeña amplitud.
s: camino a recorrer por la pesa del péndulo.
Separamos las fuerzas en sus componentes
tangencial y normal; la primera es la que
produce el movimiento:
En el límite de pequeñas oscilaciones ( 0):
Ésta es la ecuación del movimiento armónico simple, con frecuencia angular: w = √푔/퐿
Ajuste de un reloj de péndulo: se modifica el periodo
de oscilación variando la longitud de la pesa.
Si la amplitud de las oscilaciones no es pequeña, el movimiento del péndulo no es armónico
simple porque la aproximación sen θ ≃ θ no vale; sin embargo, sigue siendo periódico.
4. Oscilaciones amortiguadas.
Sea, por ejemplo, un objeto sumergido en un fluido, con una fuerza de rozamiento proporcional
a la velocidad:
Aplicando la ley de Newton:
El término Mg es constante, por lo que podemos eliminarlo
mediante un cambio de
variable:
La solución es:
Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial,
comprobamos que:

4. da el amortiguamiento, y
en general:
Cuando b = 0, recuperamos el
caso del Movimiento armónico
simple.
Casos:
i)
ii)
iii)
: la frecuencia angular es real, con oscilaciones subamortiguadas.
: frecuencia angular imaginaria, no hay oscilaciones. Movimiento
sobreamortiguado.
: = 0: amortiguamiento crítico.