Sistemas de coordenadas cilindricas, esfericas y generalizadas. Gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano, elementos de linea, elementos de area, elementos de volumen. Vectores unitarios en cada sistema de coordenadas

1. 1
SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES
CILÍNDRICAS y ESFÉRICAS
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
Antonio J. Barbero
Departamento de Física Aplicada UCLM

2. 2
COORDENADAS CILINDRICAS
zr ,,φ
φrd
φ
r
z
φd
dr
dz
dzddrrdv ⋅⋅⋅= φ
Elemento de volumen
Vectores unitarios (ortogonales)
ru

zu

φu

zr uuu

=× φ
rz uuu

=×φ
φuuu rz

=×
dzudrudruld zr ⋅+⋅+⋅=

φθ
Elemento de longitud
Relación cartesianas
φcos⋅= rx
φsinry ⋅=
zz =
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
X
Y
Z
Elemento de área
φddrrds ⋅⋅=

3. 3
COORDENADAS CILINDRICAS – Relaciones de unitarios
yu

xu

φ
φφ φ sincos uuu rx

−=
φu

ru

φ
φ−90 φφ φ cossin uuu ry

+=
zz uu

=
φφφφ φ sincoscoscos 2
uuu rx

−=
φφφφ φ sincossinsin 2
uuu ry

+=
φφ sincos yxr uuu

+=
φφφφ φ
2
sinsincossin uuu rx

+−=−
φφφφ φ
2
cossincoscos uuu ry

+=
φφφ cossin yx uuu

+−=
Unitarios cartesianos
en función de unitarios
en cilíndricas
zz uu

=
Unitarios en cilíndricas
en función de unitarios
cartesianos

4. 4
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
COORDENADAS ESFÉRICAS
ϕ
θ
r
dr
θd
dr
ϕθ drsin ⋅
ϕd
θrd
θrsin
=dv
ϕθθ ϕθ drsinudrudruld r ⋅+⋅+⋅=

ϕθ dr ⋅⋅ sinθrd⋅
ϕθθ dddrrdv ⋅⋅⋅= sin2
ϕθ,,r
ru

θu
 ϕu

Elemento de volumen
Vectores unitarios (ortogonales)
ϕθ uuur

=×
ruuu

=× ϕθ
θϕ uuu r

=×
Elemento de longitud
Relación cartesianas
ϕθ cos⋅⋅= sinrx
ϕθ sinsinry ⋅⋅=
θcos⋅= rz
X
Y
Z
Elemento de área
ϕθθ ddsinrds 2
=

5. 5
COORDENADAS ESFÉRICAS – Relaciones de unitarios
yu

xu

ϕ
θsinru

θθ cosu
 ϕu
ϕ ϕ−90
θθ θ sincos uuu rz

−=
ϕϕθϕθ ϕθ sincoscoscossin uuuu rx

−+=
ϕϕθϕθ ϕθ cossincossinsin uuuu ry

++=


















−
−
=










ϕ
θ
θθ
ϕϕθϕθ
ϕϕθϕθ
u
u
u
u
u
u r
z
y
x






0sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
Unitarios cartesianos
en función de
unitarios en esféricas
θu

ru

xu

yu

zu

θ
ϕu

ϕ
zu

ru

θu

θ
º90
θ−90
Plano XY

6. 6
z
V
u
V
r
u
r
V
uV zr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇

φ
φ
1
Gradiente
COORDENADAS CILÍNDRICAS
( )
z
AA
r
rA
rr
A z
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
φ
φ11
Divergencia
Rotacional
zr
zr
ArAA
zr
uuru
r
A
1
φ
φ
φ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇


2
2
2
2
2
2 11
z
VV
rr
V
r
rr
V
∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=∇
φ
Laplaciano
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y

7. 7
COORDENADAS ESFÉRICAS
ϕθθ
ϕθ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
V
r
u
V
r
u
r
V
uV r
sen
11 
Gradiente
( ) ( )
ϕθ
θ
θθ
ϕ
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
A
r
A
r
Ar
rr
A r
sen
1
sen
sen
11 2
2

Divergencia
Rotacional
ϕθ
ϕθ
θ
ϕθ
θ
θ
ArrAA
r
ururu
r
A
r
r
sen
sen
sen
1
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇


2
2
22
2
2
2
sen
1
sen
sen
11
ϕθθ
θ
θθ ∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=∇
V
r
V
rr
V
r
rr
V
Laplaciano
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y

8. 8
COORDENADAS CURVILÍNEAS
( )321 ,, uuuxx =
( )321 ,, uuuyy =
( )321 ,, uuuzz =
Sea P un punto de coordenadas rectangulares P(x,y,z) cuyo vector de posición es zyx uzuyuxr

++=
r

P
X
Y
Z
Expresemos las coordenadas (x, y, z)
en función de las variables ( )321 ,, uuu
Los vectores tangentes en
P a las coordenadas u son 321 u
r
u
r
u
r
∂
∂
∂
∂
∂
∂

Los vectores unitarios tangentes en
P a las coordenadas u son
3
3
3
2
2
2
1
1
1
u
r
u
r
u
u
r
u
r
u
u
r
u
r
u
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
= 








Llamamos factores de escala a
3
2
2
2
1
1
u
r
h
u
r
h
u
r
h
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=

El sentido de crecimiento de los
unitarios es el de 321 ,, uuu

9. 9
3
33
2
22
1
11
111
u
u
V
h
u
u
V
h
u
u
V
h
V

∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
Gradiente
( ) ( ) ( )





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇ 321
1
213
2
132
1321
1
Ahh
u
Ahh
u
Ahh
uhhh
A

Divergencia
Rotacional
332211
321
332211
321
1
AhAhAh
uuu
uhuhuh
hhh
A
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇














∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=∇
33
21
322
13
211
32
1321
2 1
u
V
h
hh
uu
V
h
hh
uu
V
h
hh
uhhh
V
Laplaciano
Elemento de línea 222222111 duhuduhuduhurd

++=
Elemento de superficie
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
duhduhduhds ++=
Elemento de volumen 321321 dududuhhhdV =

10. 10
BIBLIOGRAFÍA
David K. Cheng, Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería.
Addison Wesley (1997)
Harry F. Davis & Arthur David Snider, Análisis Vectorial.
McGraw-Hill (1992)
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html
http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y