mediciones, estática y cinematica

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I

FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA

FÍSICA I
CUADERNO Nº 01
PRIMERA UNIDAD
N
fr

mgsenθ
mgcosθ
W

CICLO:
II CICLO
E.A.P. :
INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
DOCENTE:
LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY

NUEVO CHIMBOTE – PERÚ
2009

1
LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I


MEDICIONES, ESTATICA Y CINEMATICA

MAGNITUDES Y MEDICIONES

MAGNITUD.- Esto todo aquello susceptible a ser medido.
MEDIR.- consiste en comparar 2 cantidades, un objeto a medir con una unidad de medida patrón.
Ejemplo: para medir el largo del aula, comparamos con un metro patrón.
MEDICIONES.- las mediciones pueden ser de dos formas: directas e indirectas.
MEDIDAS DIRECTAS.- son aquellas que se obtienen al realizar las mediciones directamente de
de los instrumentos de medida.
MEDICIONES INDIRECTAS.- son aquellas que se obtienen al realizar las mediciones directas y el
uso de ecuaciones matemáticas.
Al realizar las mediciones se comente errores y puede ser:

ERRORES:
En la experimentación física, aunque se proceda con el mayor cuidado en el método, y se usen
instrumentos de máxima precisión, no pueden conseguirse medidas exactas de las diferentes
magnitudes, es decir, siempre se cometerán errores. Los errores cometidos en dichas medidas
pueden ser:

Error Absoluto.- Se denomina error absoluto de una medida aproximada, a la diferencia
existente entre el valor obtenido en la experiencia y el valor exacto. A partir de la realización de
un número n de medidas, se toma como valor exacto a la media aritmética de los valores
obtenidos. La fórmula del error absoluto es

ea = a − α
Donde: ea = error absoluto a = valor aproximado, y α = valor exacto.

Error Relativo.- Se define como el cociente entre el error absoluto, y el valor exacto.

ea
er =
α
Este error relativo suele expresarse en forma de tanto por ciento, y se utiliza para establecer la
mayor o menor precisión de una determinada medida. El error relativo carece de dimensiones,
siendo su expresión numérica solamente una medida de la precisión.

Otra clasificación de los errores teniendo en cuenta las causas que lo originan, considera a los
errores sistemáticos y a los errores accidentales.

Errores sistemáticos,
Son los que en principio se pueden evitar, corregir o compensar. Se les llama sistemáticos
porque dan efectos consistentes, pues cuando están presentes se obtienen valores que son más
altos o más bajos que el valor verdadero.

2


Ejemplos: Defectos o falta de calibración de los instrumentos de medición, el error debido al
paralaje, etc.

Errores accidentales, son aquellos en cuyas causas pueden influenciar factores externos a la
realización de la experiencia, y que por consiguiente resultan más difícil de eliminar.
Se deben a la suma de gran número de perturbaciones individuales y fluctuantes que se
combinan para dar lugar a que la repetición de una misma medición de en cada ocasión un valor
algo distinto.

Ejemplos: Errores de apreciación, como por ejemplo, en la estimación de la fracción de la menor
división de una escala; errores que fluctúan, como por ejemplo, variaciones en la red de energía
eléctrica.

INCERTIDUMBRE ABSOLUTA (Δx)
Representa los límites de confianza dentro de los cuales se está seguro de que el valor
verdadero se encuentra en dicho intervalo

INCERTIDUMBRE RELATIVA (Ir)
Se define como el cociente de la incertidumbre absoluta y el valor medido y se expresa así:

Δx
Ir = (1)
x0
INCERTIDUMBRE PORCENTUAL (I%)
Es el índice que más comúnmente se usa para especificar la exactitud de una medida. Se define
como la incertidumbre relativa por 100% es decir:

I % = I r x100% (2)

INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS DIRECTAS:
Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición, o
cuando al hacer una serie de lecturas se obtienen los mismos resultados para la magnitud, a la
lectura que se obtiene se le asocia generalmente una incertidumbre absoluta, igual a la división
más pequeña de la escala del instrumento.

Ejemplo: Al hacer una medición de longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros y
se obtiene repetidamente la magnitud de 125 mm, entonces tomaremos como Δx = ± 1 mm.
Por lo tanto el resultado para la longitud será: (125 ± 1) mm.
Es decir la longitud verdadera del objeto se encontrará dentro del intervalo de 124 mm a 126 mm.

3


INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS:
Las mediciones que se realizan en la ciencia y en la ingeniería, la mayoría son indirectas y para
calcular la incertidumbre de una medida indirecta Z que depende de las variables x, y y w, se
emplea la siguiente ecuación:

Sea f = f (x,y,z), la incertidumbre experimental (absoluta) de Z es:

⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞
Δf = ⎜ ⎟Δx + ⎜ ⎟Δy + ⎜ ⎟Δz
⎜ ∂y ⎟ (3)
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂z ⎠

Como consecuencia de los errores aleatorios (errores accidentales), al hacer repeticiones de una
medida éstas en general resultan diferentes, y dado que no se conoce la medida verdadera,
surgen dos preguntas: ¿Cuál es el valor que se debe reportar?, ¿Qué incertidumbre es la que se
debe asociar al resultado?.

ALGUNOS INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN
Los instrumentos de medición en física experimental deben reunir las condiciones siguientes:

- EXACTITUD, de un aparato es la condición por la cual la medida que realiza coincide
puntualmente con la real.
- PRECISIÓN, es la mínima variación de magnitud que dicho aparato puede registrar. Por
ejemplo, una balanza de 0,01mg de precisión puede apreciar la cienmilésima parte de un
gramo.
- SENSIBILIDAD, es la condición referida al grado de magnitud que un aparato puede registrar.
Esta condición se relaciona con la precisión por razón inversa.

Entre algunos aparatos de precisión en física podemos mencionar los siguientes:

- El tornillo micrométrico se utiliza para medir longitudes, se halla calibrado de tal forma que
cada paso de rosca viene determinada por una longitud exacta.
- El palmer sirve para medir espesores, su fundamento es el tornillo micrométrico.
- El esferómetro también consiste en un tornillo micrométrico unido a un disco graduado, se
utiliza para medir el radio de una esfera.
- El nonius está constituido por una reglilla que se desliza sobre otra regla graduada, midiendo
longitudes.
- El calibrador se utiliza para medir diámetros de tubos y espesores.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y MÉTODO DEL REDONDEO
Toda medida de una magnitud X lleva asociado un error ΔX, por lo que la expresión habitual de
valores de las magnitudes experimentales o de aquellas que se han obtenido a partir de otras
medidas experimentalmente debería ser del tipo X ± ΔX. Muy a menudo, a fin de simplificar la
notación sin perder completamente la información sobre la precisión de los datos o resultados, se
omite ΔX a la vez que se escribe el valor de X con un número limitado de cifras: todas aquellas

4


que se consideran bien conocidas más una de cuyo valor no se está completamente seguro. A
éstas se las conoce como cifras significativas.
-32
Ejemplo 1 Si la medida de la constante de Plank, h ha dado como resultado h=(6.62608x10 Js),
no sería extraño ver tabulado el valor. Este dato debe entenderse como que el dato 8 es
-34
impreciso. Quizá puede entenderse como que su valor está comprendido entre 6.62607x10 Js y
-34
6.62609x10 Js y, pero no hay una única forma convenida. Es obvio que con esta notación se ha
perdido información sobre el error del dato: este ha sido el precio que se ha aceptado pagar por
simplificar la notación.

h (Js)
significado: está comprendido
expresión resultado entre y
-34 -34 -34
rigurosa (6.626076 ± 0.000006)x10 6.626070x10 6.626082x10
-34 -34
con cifras significativas 6.62608x10 6.62607x10 6.62609x10

Cifras Significativas y Redondeo

1. Cualquier dígito diferente de cero es significativo.
1234.56 6 cifras significativas
2. Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos.
3. Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.
000456 3 cifras significativas
4. Si el número es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son
significativos.
5. Si el número es menor que uno, entonces únicamente los ceros que están al final del
número y entre los dígitos distintos de cero son significativos.
6. Para los números que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o
no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dígitos son significativos a
menos que se diga lo contrario.
1000 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros cálculos
7. Supondremos que cantidades definidas o contadas tienen un número ilimitado de cifras
significativas
NOTE: Es mucho más fácil contar y encontrar las cifras significativas si el número está
escrita en notación significativa.

5


Uso en cálculos

1. Suma y Sustracción: El número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la
suma o la diferencia es determinada por el número con menos cifras significativas a la derecha
del punto decimal de cualquiera de los números originales.
6.2456 + 6.2 = 12.4456 redondeado a 12.4
nota: 3 cifras significativas en la respuesta
2. Multiplicación y División: El número de cifras significativas en el producto final o en el cociente
es determinado por el número original que tenga las cifras significativas más pequeño.
2.51 x 2.30 = 5.773 redondeada a 5.77
2.4 x 0.000673 = 0.0016152 redondeado a 0.0016

Redondeando

1. Aumente en uno al dígito que sigue a la última cifra significativa si el primer dígito es
menor que 5.
Redondear 1.61562 a 2 cifras significativas Rpt: 1.6
2. Si el primer dígito a truncar es mayor que cinco, incrementar el dígito precedente en 1.
3. Si el primer dígito a truncar es cinco y hay dígitos diferentes de cero después del cinco,
incrementa el dígito precedente en 1.
4. Si el primer dígito a truncar es cinco y hay únicamente ceros después del cinco, redondee
al número par.

6


INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL

En este capitulo se dan los conocimiento básicos sobre vectores, porque su manejo se
hace indispensable en el estudio de los conceptos físicos como velocidad, fuerza,
cantidad de movimiento, etc.
Su asimilación le permitirá una comprensión más clara y genérica de un determinado
fenómeno y las leyes que lo gobiernan.

El tratamiento vectorial en el estudio de un fenómeno físico ofrece entre otras las
siguientes ventajas:
- Simplificación de procedimientos y sintetización de las expresiones matemáticas.
- Visualización de las relaciones entre las magnitudes físicas de carácter direccional y
su variación en el tiempo.

1.1. Vector:
Es una cantidad que tiene módulo o magnitud, dirección y sentido. Su
representación geométrica es un segmento de recta con flecha en un extremo. El
MÓDULO del vector está dado por la longitud del segmento medio a escala; la
DIRECCIÓN es la inclinación del vector respecto a un marco de referencia tal como
un sistema de coordenadas cartesianas. Se utilizan uno o dos ángulos para
especificar la dirección del vector según se encuentre en el plano o en el espacio. El
SENTIDO queda establecido por la flecha.
En figura, 0 es el origen del vector, A su extremo y la recta L su línea de acción, α es
el ángulo que especifíca la dirección y se mide convencionalmente en sentido
antihorario empezando del lado positivo del eje X, luego Y, finalmente Z. El carácter
convencional de la dirección permite referirlo a cualquiera de los semiejes
rectangulares, inclusive puede referirse a otro vector.

A
r
a
α X

Fig. Nº 01

1.2. Notación de Vector
Se utilizan diversas notaciones para escribir los vectores así por ejemplo el vector de
r
r
la figura 1, puede escribirse de la siguiente manera a , OA . De igual manera su
r r
módulo se representa por: a , OA .
Un vector en coordenadas cartesianas queda definido por dos puntos uno de los
cuales es el origen y el otro su extremo. Si el origen del vector coincide con el origen

7


de coordenadas, un par ordenado representa un vector en el plano y una terna
ordenada un vector en el espacio.

a = (a x , a y )
r
Vector en el plano :
a = (a x , a y , a z )
r
Vector en el espacio : (1)

Donde a x , a y , a z se denominan componentes cartesianos del vector.

1.3. Vector Unitario
r r
Es el vector cuyo módulo es igual a la unidad. u es unitario si u = 1

En cualquier dirección siempre es posible encontrar un vector unitario. Así en la fig.
r r r
2, se representan los vectores unitarios u1 , u 2 , u 3 en las direcciones L1, L2, L3

respectivamente.

L2
L3
L1 r r
u2 u3
r
u1
Fig. Nº 02.
0

r r
En el plano cartesiano los vectores unitarios se representan por: i y j , cuyas
representaciones en forma de pares ordenados son:
r r
i = (1,0) j = (0,1) (2)
Y en el espacio tridimensional los vectores unitarios en las direcciones de los ejes
r r r
son i , j y k o en forma de ternas ordenadas:
r r r
i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)

y
z

r r
j k
r y
i x r
i r
j
En el plano x
En el espacio
Fig. Nº 03
r r r
Como se puede observar, los vectores unitarios i , j y k apuntan en la dirección
positiva de los semiejes coordenadas y por tanto son mutuamente perpendiculares
entre sí.

8


Para encontrar el vector unitario en la dirección de un vector basta dividir éste vector
entre su módulo:
r
r r
u= (3)
r
r r
r = ru
Lo cual significa que todo vector es igual a su módulo por el vector unitario en su dirección.
r r
También que los vectores r y u son paralelos.

1.4. Vector posición
r
Es el vector r que tiene por origen de coordenadas rectangulares y como extremo
un punto P arbitrario de coordenadas X, Y, Z. ver fig. 4.

La posición de una partícula en movimiento, se z
puede describir en cualquier instante por el
vector de posición que va del origen a la
partícula.
P(x,y,z)
Las coordenadas del punto son exactamente las r
r r
componentes rectangulares de r : y

r r r r 0
r = xi + yj + zk (4)
x
r = x2 + y2 + z2 (5)

1.5. Expresión de un vector conociendo las coordenadas de su origen y extremo

Dados los puntos P1(x1,y1,z1) y
Z P2(x2,y2,z2)
r
P2(x2,y2,z2), sus respectivos r2
vectores de posición son: P1(x1,y1,z1)
r
r r r r1 Y
r
r1 = x1i + y1 j + z1k 0
r r r r
r2 = x2 i + y 2 j + z 2 k X

r
Sea A el vector que tiene como origen el punto P1 y como extremo el punto P2,
entonces se tiene que La expresión cartesiana de un vector se considera restando
las coordenadas de extremo final menos el de su origen y escribiendo los vectores
unitarios correspondientes:
r r r
A = r2 − r1 (6)
r r r r
A = (x2 − x1 )i + ( y 2 − y1 ) j + (z 2 − z1 )k (7)

Luego el módulo del vector es igual a la distancia entre los puntos P1 y P2:

r
A= (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2 (8)

9


Ejemplo:
Las dimensiones del paralelepípedo son 4,5 y 3 unidades.

z
Encontrar:
C r
a) La expresión del vector M de módulo
r 10 unidades que está en la diagonal
M BE con origen en B.
B y r
0 r b) La expresión del vector N de módulo
A N 5 unidades que está en la diagonal CA
D
x con origen en C.

Solución:
Las coordenadas de los vértices y los vectores son
C(0,0,3) D(4,5,0) A(4,0,0) B(0,5,0)
r r r r r r r
r1 = − 4i − 5 j + 3k r1 = 4i − 5 j
r
a) El vector unitario de M es también vector unitario de:
r r r r
r r − 4i − 5 j + 3k
uM = =
r 5 2
r r r r r
Entonces el M = 10u M = − 4 2i − 5 2 j + 3 2k
r
b) El vector unitario de N es también vector unitario de
r r r
r r − 4i − 5 j r r
uN = = = 0.625i − 0.781 j
r 41
r r 20 r 25 r r r
Entonces el N = 5u N = i− j = 3.12i − 3.90 j
41 41
1.6. Producto Escalar r
r
Dado los vectores A y B su producto escalar o producto interno simbolizado por
r r r r
A ⋅ B , se define como: A ⋅ B = AB cosθ (9)

Donde θ es el ángulo entre los vectores, siendo 0≤ θ≤π. Se debe tener presente
r r
que el producto escalar de A ⋅ B es una cantidad escalar y no un vector.
r r
Condición de perpendicularidad: en la ecuación 9, si θ=90º, entonces A ⋅ B =0.

Esto se expresa diciendo que si dos vectores son perpendiculares, su producto
escalar es cero, además si ninguno de los vectores es nulo, se cumple la
bicondición:

r r r r
A ⊥ B ⇔ A⋅ B =0

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Condición de paralelismo; en la misma ecuación de definición vemos que si θ=0º,
r r
los vectores están superpuestos, por lo que A // B y al efectuar el producto escalar
resulta:
r r
A ⋅ B = AB , donde si dos vectores son paralelos, su producto escalar es igual al producto
de sus módulos.

Producto escalar de los vectores unitarios
Aplicando la definición de producto escalar tenemos:
r r r r r r
i ⋅ i = (1)(1)cos 0 =1 j ⋅ i = (1)(1)cos 90 = 0 k ⋅ i = (1)(1)cos 90 = 0
r r r r r r
i ⋅ j = (1)(1)cos 90 = 0 j ⋅ j = (1)(1)cos 0 =1 k ⋅ j = (1)(1)cos 90 = 0
r r r r r r
i ⋅ k = (1)(1)cos 90 = 0 j ⋅ k = (1)(1)cos 90 = 0 k ⋅ k = (1)(1)cos 0 =1

Producto escalar de dos vectores cualesquiera:
r r r r r r r r
Sean los vectores: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + B y j + Bz k
el producto escalar se efectúa como si se tratara de la multiplicación de dos
polinomios:
r r r r r r r r
A.B = ( Ax i + Ay j + Az k ).( Bx i + B y j + Bz k )
Para facilitar los cálculos de cada paso, debe tenerse en cuenta los resultados del
producto vectorial de los vectores unitarios:
r r
A.B = ( Ax B x + Ay B y + Az B z )

1.7. Producto Vectorial
r r r r
Dado los vectores A y B , su producto vectorial se simboliza por A x B , es otro
vector definido por:
r r r
A x B = ABsenθ u (10)
r r
o AxB = ABsenθ
r r
Donde θ es el ángulo entre los vectores, siendo 0≤ θ≤π. El vector A x B es
r r
perpendicular al plano determinado por A y B , su dirección indicada por el vector
r
unitario u apunta en la forma que avanzaría un tornillo de rosca derecha al ser
r r
rotado de A hacia B describiendo el ángulo θ

r r
AxB
r
B
r
θ A

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Producto vectorial de los vectores unitarios:
Aplicando la definición de producto vectorial

r r r r r r r r r r
i xi = (1)(1)sen0 = 0 j xi = (1)(1)sen90(−k ) = − k k xi = (1)(1)sen90( j ) = j
rr r r rr rr r r
i xj = (1)(1)sen90k = k j xj = (1)(1)sen0 = 0 k xj = (1)(1)sen90(−i ) = − i
r r r r r r r r r r
i xk = (1)(1)sen90(− j ) = j j xk = (1)(1)sen90(i ) = i k xk = (1)(1)sen = 0

Producto vectorial de dos vectores cualesquiera:
r r r r r r r r
Sean los vectores: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + B y j + B z k

el producto vectorial se efectúa como si se tratara de la multiplicación de dos
polinomios.
r r r r r r r r
A x B = ( Ax i + Ay j + Az k ) x ( Bx i + B y j + B z k )
Para facilitar los cálculos de cada paso, debe tenerse en cuenta los resultados del
producto vectorial de los vectores unitarios
r r r r r
AxB = ( Ay Bz − Az By )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax By − Ay Bx )k

éste mismo resultado se puede obtener resolviendo un determinante de tercer orden
cuya primera fila está formada por los vectores unitarios, la segunda fila por las
r
componentes escalares del vector A y la tercera fila por las componentes escalares
r
del vector B :
r r r
i j k
r r r Ay Az r Ax Az r Ax Ay
AxB = Ax Ay Az = i − j +k
By Bz Bx Bz Bx By
Bx Bx Bz
r r r
= ( Ay B z − Az B y )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax B y − Ay Bx )k

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ESTÁTICA

La estática es la parte de la Mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos.
1.8. FUERZA
Es el resultado de la interacción de por lo menos 2 o más cuerpos.
Unidad: la fuerza se mide en Newton (N)
1kg-f = 9,81N
La idea intuitiva de fuerza la tenemos al observar los siguientes hechos:
- Cuando tiramos de una cuerda atada a un cuerpo, decimos que estamos
haciendo fuerza.
- Cuando empujamos un automóvil para ponerlo en movimiento, sentimos la
sensación de haber ejercido una fuerza.
- Al estirar o comprimir un resorte decimos que estamos empleando una fuerza.
Es decir que, en la actividad de nuestra vida diaria a menudo empleamos y vemos
actuar fuerzas en forma espontánea, observando que la fuerza es causa del
movimiento, del equilibrio, deformación de cuerpos, etc.
Un sistema de fuerzas puede sustituirse por su resultante, la misma que se
representa por una fuerza única como es el caso de las fuerzas concurrentes o
por una fuerza y un par en el caso de fuerzas no concurrentes. En todos los casos
la resultante debe ser capaz de producir el mismo efecto mecánico sobre el
cuerpo, que el que produce el conjunto de fuerzas dadas.

A. Fuerzas concurrentes: son aquellas fuerzas que pasan por un mismo punto
ya sean entrantes o salientes
r r r r r r r
FR = F1 + F2 + F3 + F4 F2 F1

r
r F4
F3

B. Fuerzas no concurrentes: son aquellas fuerzas que pasan por un mismo
punto y pueden ser paralelas.

r r
F2 F1

r
F3
r
Representación Vectorial de Fuerza ( F ), la fuerza está representado
vectorialmente mediante:
r r r r
F = F u , donde: F : vector fuerza, F : módulo de fuerza y u : vector unitario

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1.9. DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE
El diagrama del cuerpo libre consiste en ubicar todas las fuerzas que intervienen
en el sistema y hacer las proyecciones de éstas en sus ejes de coordenadas.

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Ejercicios
1. Dos cables están unidos en C y cargados tal como se indica en la figura. Determinar
la tensión en AC y BC.

A 40º 20º B
Solución
40º r
T1
C r
W 20º
r
300N T2

W T2 T1
Por la ley de los senos: = =
sen(20 + 40) sen(90 − 40) sen(90 − 40)

Entonces: T1 = 325.5N y T2= 265.4N

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2. El ángulo entre el tirante AB y el mástil es de 20º. Si se sabe que la tensión
TAB=300N. Determinar:

a) Los componentes x, y, z de la fuerza ejercida sobre el punto B.
b) Los ángulos θx, θy, θz que definen la dirección de la fuerza ejercida en B

Y
Y
A
A

20º
20º
X X
40º 40º 0
0 C 40º
C
40º Z B
B
Z

Solución:
r r r r r
T AB = ? TAB = Tx i + Ty j + Tz k

Tx = -Tsen20ºcos40º ⇒ Tx = -78.6N

Ty = Tcos20º ⇒ Ty = 281.9N

Tz = -Tsen20ºsen40º ⇒ Tz = -66N

θ=?
− 78.6
Tx = T cosθ x ⇒ cosθ x = ⇒ θ x =105.2º
300
281.9
T y = T cosθ y ⇒ cosθ y = ⇒ θ y = 20.0º
300
− 66
Tz = T cosθ z ⇒ cosθ z = ⇒ θ z =102.7 º
300

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3. Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 450N, calcular las componentes de la fuerza que se
ejerce sobre la placa en A.

Y
2m
7m
B

4m C X

D 9m
Z 4m A

Solución:
Y
2m
7m
B

4m C X

D 9m
Z 4m A

El ángulo BÁD (B´s la proyección vertical del punto B sobre el eje Z).
se calcula a partir del triángulo rectángulo BBÁ, recto en B´.
BB´=4m

B´ A = (DB´)2 + (DA)2 = (7 )2 + (4)2 = 8.06m

AB = (BB´)2 + (B´ A)2 = (4)2 + (8.06)2 = 9m

Si llamamos θ=ángulo BÁB, su coseno respectivo es:

AB´ 8.06
cosθ = = = 0.8955
AB 9

Si φ=ángulo B´DA

0 B´ 7
senφ = = = 0.868
AB´ 8.06
0A 4
cos φ = = = 0.496
AB´ 8.06

Según estos cálculos previos TAB será:

Tx = −T cosθ cosφ = −200N
Ty = Tsenθ = 200N

Tz = −T cosθ senφ = −350 N

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1.10. SISTEMA DE FUERZAS
r
1.11. TORQUE ( τ )
La experiencia diaria nos muestra que la capacidad de la fuerza para producir
rotación no sólo depende de dicha fuerza sino también de la ubicación de su
punto de aplicación con respecto al eje de rotación.

Se denomina TORQUE o MOMENTO DE FUERZA a la medida de la efectividad
para producir rotación. El momento o torque es un movimiento de rotación, que
es producida por una fuerza al ser aplicada a una cierta distancia de un punto fijo.
Como la rotación tiene sentido, el momento es una cantidad vectorial.

r
τ
r r r
τ = r x F : donde
r
τ = torque o momento de fuerza (mN)
r
r = vector posición respecto al eje de
r
movimiento (m) F
r r
F = fuerza aplicada (N) r
b
θ θ

r r r
i j k
r r r
τ = r xF = rx ry rz
Fx Fy Fz

Ejercicios
1. En la siguiente figura se tienen tres fuerzas situadas en las diagonales de un
paralelepípedo, cuyo módulo es 180N. Calcular los torques de cada una de las
fuerzas con respecto al origen. Si los lados de las aristas son 3, 6 y 4m.

Z
E

F

0 C
Y

X A B

Solución:
a) Fuerza de la diagonal EB. Las coordenadas de los vértices son E(0,0,4) y
B(3,6,0)
r r r r
La posición de la fuerza es: rEB = 3i + 6 j − 4k

18


r r r r r r r
r rEB 3i + 6 j − 4k 3i + 6 j − 4k r r r
u EB = = = = 0.384i + 0.768 j − 0.512k
rEB 9 + 36 + 16 7.81
r r
FEB = FEB .u EB = = 180(0.384i + 0.768 j − 0.512k )
r r r
r r r r
El vector fuerza : FEB = 69.12i + 138.24 j − 92.16k
r r
El vector posición : r0 E = 4k

Entonces el torque será :
r r r
i j k
r r r
τ 1 = r0 E x FEB = 0 0 4
69.12 138.24 − 92.16

r 0 4 r 0 4 r 0 0
=i −j +k
138.24 − 92.16 69.12 − 92.16 69.12 138.24

r r r
⇒ τ 1 = − 552.96i + 276.48 j

1.12. CONDICIONES DE EQUILIBRIO
Para un cuerpo se encuentre en equilibrio se debe cumplir:
Primera Condición: La suma de todas las fuerzas que actúan en el sistema debe
ser igual a cero.
3 r
∑F i
i =1
∑F x =0
r 3
Es decir: ∑ Fi ∑F y =0
i =1 ∑F z =0

Segunda Condición: La suma de todos los torque o momento que actúan en el
sistema debe ser igual a cero.
3

∑τr
i =1
i =0

3 ∑τ x =0
r
Es decir ∑τ i =0 ∑τ y =0
i =1
∑τ z =0

19


1.13. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA
En términos generales, un cuerpo está constituido por un gran número de
partículas, cada una de las cuales es atraída por la gravedad terrestre. Esta fuerza
de gravedad es el peso del cuerpo: W = mg.
Las fuerzas o pesos Wi que actúan en las partículas están dirigidas hacia el centro
de la tierra debiendo converger allí sin embargo por estar este punto muy distante
permite considerar a las pequeñas fuerzas como paralelas. La resultante
W = ∑Wi de estas fuerzas paralelas es el peso del cuerpo y el centro de dichas
fuerzas paralelas es el centro de gravedad o punto de aplicación de la fuerza
peso.

xc =
∑x w i i
yc =
∑y w i i
zc =
∑z w
i i

w w w
El centro de masa (c.m.) de un cuerpo es el punto donde se supone concentrada
toda su masa. El centro de gravedad coincide con el centro de masa si el
considera g constante.
Para hallar el centro de masa, hacemos uso de las ecuaciones kjlajkdflkjda en las
remplazamos wi = mg, obteniendo:

xc =
∑x m i i
yc =
∑y m i i
zc =
∑z m
i i

m m m

Ejercicios
Hallar el centro de gravedad del alambre curvado que se muestra en la figura. Las
dimensiones se dan en cm.

Y L2

25 25
L3
L1
40
53º 30º X

20


Solución.
Llamemos L1 y L3 las partes rectas y L2 a la semicircunferencia

⎧ x = 20 cos 53º = 12cm
L1 = 40cm = ⎨ 1
⎩ y1 = 20 sen53º = 16cm

⎧ x 2 = 40 cos 53º +25 = 49cm
L2 = 25π = 78.5cm = ⎨
⎩ y 2 = 40 sen53º +2(25) / π = 48cm

⎧ 64
40 sen53º ⎪ x3 = 40 cos 53º +50 + cos 30º = 101.7cm
L3 = = 64cm = ⎨ 2
sen30º ⎪ y3 = 20 sen53º = 16cm
⎩

L1 x1 + L2 x 2 + L3 x3
xc = = 59.37cm
L1 + L2 + L3

L1 y1 + L2 y 2 + L3 y 3
yc = = 29.76cm
L1 + L2 + L3

cg (59.37,29.76)

21


1.14. CINEMÁTICA

Estudia el movimiento de partículas sin dimensiones sin preocuparnos de cuales son las
causas que provocan esos movimientos.
Punto: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de volumen despreciable (se
considerará sin volumen) situado en el espacio (en 3D).
Posición: Llamamos posición de un punto a su localización con respecto a un sistema de
referencia (lo que en física se llama “observador”).
Tiempo: Llamamos tiempo al continuo transcurrido entre dos instantes.
Partícula puntual: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de tamaño diferencial
(muy pequeño) y masa concentrada en su posición.

1.15. SISTEMA DE REFERENCIA

Es aquel sistema coordenado con respecto al cual se da la posición de los puntos y el
tiempo. Un sistema de referencia contiene fijo a él un sistema de coordenadas en cuyo
origen se supone ubicado el observador

Z P(x,y,z)

r
k
Y
r
i r
j
X

SISTEMAS DE COORDENADAS
a) Coordenadas Cartesianas
Z P(x,y,z)
x=x
r y=y
k z=z
Y
r r
i j
X

b) Coordenadas Polares

Z P(r,α,β,ϕ)
x = r cosα
y = r cosβ
β z = r cosϕ
α ϕ Y

X

22


c) Coordenadas Cilíndricas

z P(r,α,β,ϕ)
x = ρ cosφ
y = r senφ
z=z
y
ρ
φ
x

d) Coordenadas Esféricas

z P(r,φ,θ)
φ
x = r senθ cosφ
y
y = r senθ senφ
z = r cosφ
θ
x

Desplazamiento y Trayectoria La trayectoria depende del Sistema de Referencia
escogido.

Se denomina Trayectoria al camino seguido por el móvil en su movimiento. Es escalar
El espacio (S) que recorre un cuerpo en su movimiento se define como la longitud de la
trayectoria recorrida y es también un escalar. Se mide en metros
P
ara describir cinemáticamente el movimiento de una partícula es necesario conocer su
posición en cualquier instante. Por tanto, es un problema estrechamente relacionado con
las nociones de tiempo y espacio.
Para situar la posición de una partícula se suele elegir un sistema de referencia formado
por tres ejes perpendiculares entre sí, x,y,z, y dibujar un vector que tenga como origen el
sistema de referencia y como extremo la posición de la partícula en cada instante. Si en
lugar de trabajar en tres dimensiones trabajamos en un plano sólo sería un sistema de
referencia x,y.

Y Los vectores de posición determinan las diferentes
Desplazamiento r
posiciones del movimiento, y podemos llamarlos y r1 y
r
r2 si consideramos las posiciones como posición 1 y
posición 2.
r r r
Trayectoria
Δr = r2 − r1 mide la variación de posición
(incremento) es decir la diferencia entre la posición
final y la inicial y determina el desplazamiento del móvil
X

23


r r r
El vector Δr = r2 − r1 (posición final menos posición inicial) se denomina vector
desplazamiento.
Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el
movimiento.

Se define vector desplazamiento como la distancia entre dos puntos inicial y final del
recorrido.
Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros

r r r r
El vector r = xi + yj + zk definido en cada punto se denomina vector de posición. Vector

de posición es el vector que une el origen del sistema de referencia con la posición
en que se encuentra el cuerpo en cada momento.
La partícula se mueve variando de posición con el tiempo, por lo tanto el vector de

r = r (t ) . Conocer r (t ) es conocer el movimiento
r r r
posición es una función del tiempo
desde un punto de vista cinemático.
El desplazamiento de un cuerpo que se mueve no tiene por que coincidir con la distancia
recorrida Δs sobre la trayectoria. Esta es siempre mayor y sólo se igualan cuando el
movimiento es rectilíneo. El módulo del vector desplazamiento en un movimiento
rectilíneo es igual al espacio recorrido según la trayectoria.

El desplazamiento es el vector que une dos puntos de la trayectoria del móvil (recta que une dos
posiciones de su movimiento, en el sentido de su movimiento) por lo tanto es una magnitud
vectorial mientras que la trayectoria describe el camino seguido por el móvil en su movimiento,
que puede ser rectilíneo, circular, en zig-zag, ondulatorio, oscilatorio, por lo que la trayectoria no
es una magnitud vectorial.

Pero el desplazamiento y la trayectoria no sólo coinciden cuando el movimiento es
rectilíneo sino también cuando estudiamos desplazamientos muy pequeñitos,
infinitesimales o diferenciales:
r
dr = dS
El movimiento de cualquier móvil queda
perfectamente determinado si se conoce
como varían las componentes del vector
desplazamiento en función del tiempo Trayectoria

Velocidad
La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en
función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por
tanto son: m/s, cm/s o Km / h, etc.
Supongamos que cierto punto P se traslada en un intervalo de tiempo Δt desde el punto 1 hasta el
r r
punto 2, caracterizados por los vectores de posición r1 y r2 :
Y
r r r
Se define velocidad media como el cambio de Desplazamiento Δr = r2 − r1
posición de un cuerpo en un intervalo de
tiempo: r
r r r r1
r Δr r2 − r1
vm = = r Trayectoria
Δt t 2 − t1 r2
X

24


r
La dirección y sentido de la velocidad media coincide con Δr (vector desplazamiento).
Puesto que el cociente entre un vector y un número da siempre otro vector está
claro que la velocidad va a ser un vector.
En ocasiones también se puede calcular la velocidad media respecto de la trayectoria S
entre dos posiciones inicial y final (es decir también en un intervalo) es lo que en algunos
libros se llama celeridad o rapidez aunque es preferible llamarlo velocidad media respecto
de la trayectoria. En este caso es un escalar.
ΔS s 2 − s1
Rapidez: espacio recorrido por intervalo de tiempo: v m = =
Δt t 2 − t1

La Velocidad Instantánea se define como la velocidad que lleva un móvil en un
instante de tiempo determinado.
Pero ¿como podemos obtener la velocidad de un móvil en un instante?. Esto a simple
vista es bastante difícil ya que equivaldría a hacer una "foto" al móvil en un instante y
obtener de alguna manera su velocidad, se trataría de obtener cambios instantáneos de
posición y el tiempo que tardó en estos cambios instantáneos (un instante) prácticamente
imposible de medir de forma directa.
Debemos recurrir a aproximaciones si queremos saber la velocidad de un móvil en un
punto determinado, el truco consiste en ir tomando puntos cada vez más próximos a aquel
cuya velocidad queremos medir, calculando cada vez la velocidad media entre esos
puntos, al irnos acercando cada vez más al punto que queremos medir, el intervalo en que
calculamos la velocidad media es cada vez más pequeño, con lo que las variaciones se
convierten en diferenciales. La operación que estamos haciendo es una derivada.

Y

Desplazamiento = dr en un tiempo dt La velocidad instantánea es el cambio de
posición de un cuerpo en movimiento en
cada instante.
r r
r Δr dr
Trayectoria vm = lim =
Δr →0 Δt dt
X

Este vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria y su sentido es el del
movimiento.
Si tenemos en cuenta que tanto Δr como Δt están ligados al camino recorrido ΔS, y que
cuando el cambio es diferencial el módulo (valor numérico) de dr es igual que dS la
expresión de la velocidad puede desarrollarse en la forma siguiente:
Por supuesto en módulo:
r
dr dS
v= =
dt dt
Conociendo el vector de posición en función del tiempo ¿se puede saber la trayectoria del
móvil y la ecuación del movimiento, S en función de t?. Y ¿conociendo la ecuación del

25


movimiento se puede determinar la trayectoria y el vector de posición en función del
tiempo?.
Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto,
cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario
tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento, que nos
puede ser de mucha utilidad.

Aceleración
Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus
2 2
unidades por tanto serán m/s o Km/h etc.
Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay
aceleración.
Como el cociente de un vector entre un número es siempre otro vector está claro
que la aceleración es una magnitud vectorial.
Igual que hacíamos con la velocidad se pueden considerar dos tipos de aceleración según
estudiemos el movimiento en un intervalo o en un punto.

La aceleración media estudia el cambio de r
Y v1
velocidad en un intervalo de tiempo. r r r
Es un vector con la misma dirección y sentido Δv = v2 − v1 y en esa misma
que el vector resultante de restar la velocidad r
dirección y sentido de sale a m
inicial y final vectorialmente, en cierto Δt se
define como: r
r r r − v2 r
r Δv v2 − v1 v1
a= =
Δt t 2 − t1 r
Se trata por tanto de una magnitud vectorial v2
r
con la dirección y sentido de Δv X

Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo
Δt cada vez más pequeños.

CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO

a) Según la trayectoria
Rectilíneos: cuándo su trayectoria es una línea recta.
Curvilíneos: cuándo su trayectoria es curva. Dentro de estos se encuentran
movimientos tan importantes como: circular, elíptico, parabólico, ondulatorio
b) Según el módulo de la velocidad

Movimiento Uniforme: cuando al transcurrir el tiempo la velocidad no cambian.
Movimiento Uniformemente Variado: cuando la velocidad cambia al transcurrir
el tiempo. Este cambio es constante. Puede ser acelerado (aceleración positiva) y
retardado (aceleración negativa).

26


1.16. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no
hay aceleración normal.
Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que
tampoco existe aceleración tangencial.
Luego este movimiento no tiene aceleración.
Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento (r) y la trayectoria (S) coinciden.
Como la velocidad es constante la velocidad media y la instantánea coinciden.

r
dr dS Δx x − x0
v= = = =
dt dt Δt t

Despejando vt = x − x0 , luego x = x0 + vt

Las gráficas del MRU son los siguientes:

v(m/s)
x(m)

v0
x0 t(s) t(s)

x = x0 + vt ; donde la pendiente es la velocidad

1.17. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración normal, pero la velocidad va
cambiando en módulo (aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración tangencial.
El ritmo de cambio de la velocidad es constante, la velocidad varía proporcionalmente al
tiempo (a doble tiempo doble velocidad etc.)
Por lo que la aceleración es constante en módulo.
Además de ser constante el módulo de la aceleración, también es constante su dirección y
el sentido, ya que el movimiento es rectilíneo.
Como la a es constante y la única de este movimiento, la aceleración tangencial coincide
T

con la aceleración media del movimiento ya que si la aceleración es constante es la misma
en un punto que en un intervalo.
r
r dv Δv v − v0
a= = =
dt Δt t
Como la trayectoria es rectilínea el desplazamiento y la trayectoria coinciden.
La ecuación del espacio también se puede obtener del área de la gráfica velocidad frente
a tiempo igual que en el movimiento anterior.

27


Ecuación del movimiento uniformemente acelerado:
1
x = v0 t + at 2 , si hay espacio inicial S0 se añade
2
ds
Derivando se obtiene la velocidad: v= ⇒ v = v0 + at v 2 = v0 + 2ax
f
2

dt

Ejemplos:
1) La aceleración de una partícula que se mueve en el eje x está dado por la ecuación

a = −8t 3 + 16t . Suponiendo que la partícula parte del reposo en el origen. Calcular:
a) La velocidad instantánea en función del tiempo
b) El desplazamiento en función del tiempo
c) El valor máximo del desplazamiento para t > 0
d) El valor máximo de la velocidad para t > 0
Solución
v t
a) ∫
0
dv = ∫ adt
0

t

0
( )
v = ∫ − 8t 3 + 16t dt = − 2t + 8t
4 2
→ v = −2t 4 + 8t 2 ; m/s
x t
b) ∫
0
dx = ∫ vdt
0

0
t
(
x = ∫ − 2t 4 + 8t 2 ) → x=
− 2t 5 8t 3
5
+
3
;m

c) Xmáx.=?
dx
Xmáx. si =0
dt

→ − 2t 4 + 8t 2 = 0 → ( )
t2 t2 − 4 = 0

t2 = 0 t2 − 4 = 0
⇒
t=2
d) Vmáx.=?
dv
Vmáx. si =0
dt

− 8t 3 + 16t = 0
(
t t2 − 2 = 0 )
t =0 ∧ t= 2
( ) 4
vmáx = −2 2 + 8 2 ( ) 2
⇒ v máx = 8 ; m/s

28


2) Un móvil parte del reposo y durante 10s varía su velocidad a razón de 1.2m/s en cada
segundo. Después se mueve con velocidad constante durante 1min y por último
desacelera a razón de 2.4m/s hasta que se detiene. Calcular la distancia total
recorrida.

Solución:

V0 V=0

X1 X2 X3

Hay tres tramos: la velocidad Vf del 1er tramo es la velocidad cte del 2do tramo y
esta es la velocidad V0 del 3er

1er Tramo

1 2
V1 = 0 x1 = v0 t + at
2
t = 10s
1
x1 = (1.2)(10) 2 ⇒ x = 60 m
2
a = 1.2m/s2 v = v0 + at
v = 0 + (1.2)(10) ⇒ v = 12m / s
do
2 Tramo

V0 =V = 12m/s x2 =vt
a=0 x2 = (12 60 ⇒ x= 720
)( ) m
t = 1min=60s

3er Tramo

V0 =12m/s v 2 = v0 + 2ax3
2

v 2 − v0 (0) 2 − (12) 2
2
a = -2.4m/s2 x3 = = ⇒ x3 = 30m
2a 2(−2.4)
vf = 0
xT = x1 + x 2 + x3 ⇒ xT = 810m

29


3) El movimiento de una partícula en el plano YZ está dado por las ecuaciones ay=3sent,
az=2cost. Si t=0 cuando y=0, z=2, vy=0, vz=5. Encontrar la ecuación de la trayectoria
de la partícula.
Solución:
dv y
ay=3sent donde = 3sent ; integrando
dt
vy t
∫0
dv y = ∫ 3sentdt
0

v y = −3 cos t 0 = −3(cos t − cos 0 )
t

v y = −3 cos t + 3
dy
vy = = −3 cos t + 3
dt

dv y = ∫ (− 3 cos t + 3)dt
vy t
∫
0 0

y = −3sent + 3t
dv z
az= 2cost donde = 3 cos t ; integrando
dt
vz t
∫5
dv z = ∫ 2 cos tdt
0

v z − 5 = 2 sent 0 = 2 sent
t

v z = 2 sent + 5
dz
vz = = 2 sent + 5
dt

dz = ∫ (2sent + 5)dt
z t
∫2 0

z − 2 = − 2 cos t 0 + 5t 0
t t

z = − 2 cos t + 5t + 4

30


1.18. CAÍDA LIBRE
Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia abajo) y
el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores de posición
que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo:
r r
Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: g = − 9.8 j ;m/s2
y con el sistema de referencia que hemos tomado.
vf = 0 El cuerpo sube siendo frenado por la atracción gravitatoria terrestre que
acaba por pararle y le hace caer. En todo momento la gravedad actúa
hacia abajo y es la velocidad la que cambia de sentido (primero sube y
luego baja).
Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con
v0 un movimiento uniformemente acelerado y su ecuación de movimiento
hmáxima es : s = v .t + 1 at 2
0
2
h0 Como la trayectoria es rectilínea el valor del desplazamiento y el
espacio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil en
x cada instante es:
1 r
r = ( h0 + v 0 .t + gt 2 ) j ; m
2
r
y la velocidad se saca derivando: v = (v0 − gt ) j ;m/s

y
En este caso la velocidad inicial tiene diferente sentido y por
v0
lo tanto diferente signo:
1 r
r = ( h0 − v 0 .t − gt 2 ) j ; m
2
r
y la velocidad se saca derivando: v = (v0 − gt ) j ;m/s
h0 La gravedad acelera en todo momento al movimiento.
Si en lugar de lanzarlo hacia abajo lo dejamos caer la velocidad
inicial es cero:
1 r
r = ( h0 − gt 2 ) j ; m
x 2
y la velocidad se saca derivando: V = ( – g.t ) j m/s

1.19. LANZAMIENTO DE PROYECTILES
La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos
simultáneos:
1) SOBRE EL EJE X: (MRU) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la
velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el MOVIMIENTO
DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este seguiría indefinidamente
en línea recta).
2) SOBRE EL EJE Y: (MRUA) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad
inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado (aceleración de
la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo haciéndolo caer,
MOVIMIENTO DE CAÍDA.
El resultado de ambos movimientos actuando a la vez da lugar a la trayectoria curvilínea que sigue
el cuerpo.
y
El vector de posición tiene componente x (MRU: S=V. t ; avance del
v0 proyectil) y componente y donde se mide la caída y por lo tanto las
alturas (MRUA sin velocidad inicial s = s + 1 at 2 ) queda:
0
2
h0 r 1 2 r
r = ( v 0 .t )i + (h0 − gt ) j ; m
2
r r
y la velocidad se saca derivando: v = (v 0 )i + ( − gt ) j ;m/s

x

Alcance
31


ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo. En el
suelo la altura es cero luego

y=0 entonces: 0 = ( h − 1 gt 2 )
0
2
sacando el valor de t es posible obtener el alcance X = v0 .t

La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES UNA
TRAYECTORIA PARABÓLICA.

g 2
X = v0 .t x Y = h0 − .x
= t sustituyendo en y queda: 2
2v 0
1 2 v0
Y = ( h0 − gt ) Ecuación de la trayectoria
2

e) Movimiento Horizontal (X):
v x = v0 x = v0 cosθ

X = v0 x .t = v0 cos θ .t ⇒ X = v0 cos θ .t (1)

f) Movimiento Vertical (Y):

v y = v0 y − gt = v0 senθ − gt ⇒ v y = v0 senθ − gt (2)

Y = v 0 y .t −
1 2 1
gt = v 0 senθ .t − gt 2 ⇒ Y = v 0 senθ .t −
1 2
gt (3)
2 2 2

Despejando t de (1) y reemplazando en (3)

g
Y = xtagθ − .x 2 ecuación de la parábola (4)
2v cos 2 θ
2
0

g) Altura Máxima (H): es alcanzada cuando v y = 0 , en (2)

0 = v0 senθ − gt ⇒ t=
v 0 senθ (5)
g

Reemplazando (5) en (3)

⎛ v senθ ⎞ 1 ⎛ v 0 senθ ⇒ v 0 sen 2θ
2
⎞ 2
(6)
Y = H = v 0 senθ ⎜ 0
⎜ g ⎟ − g⎜
⎟ 2 ⎜ g ⎟
⎟ H =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2g

h) Alcance Máximo (R): se consigue cuando Y=0, en (3)

0 = v 0 senθ .t −
1 2
gt ⇒ tT =
2v 0 senθ , tiempo total de vuelo (7)
2 g

Vemos que en (7) = 2 (5), es decir el tiempo total de vuelo es dos veces el tiempo de subida.
X = R = v0 cosθ .t

⎛ 2v senθ
R = v 0 cos θ ⎜ 0
⎞
⎟ ⇒ R=
v 0 sen 2θ , alcance total
2
(8)
⎜ ⎟
⎝ g ⎠ g

32

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