Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU y la factorización de Cholesky. También cubre métodos iterativos como el método de Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y cómo transforman la matriz original en una forma que facilite la solución del sistema de ecuaciones.

1. Sistema de ecuaciones
lineales
UNIDAD III
Victoria Dominguez
24400354
España, Mayo del 2016

2.  Existen varios métodos ,entre ellos:
ELIMINACION GAUSSIANA :
 El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar
transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de
columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o
columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que
resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida tiene el mismo determinante que la
matriz de llegada, cuyo determinante es el producto de los coeficientes diagonales de la
matriz.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de
forma que éste sea escalonado.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
 Todos los coeficientes son ceros.
 Dos filas son iguales.
 Una fila es proporcional a otra.
 Una fila es combinación lineal de otras.

3. Método de Gauss-Jordan:
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss –
Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de
ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y
matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación
mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se
debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables
del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:
Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

4. Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha
matriz en una matriz identidad, es decir una matriz
equivalente a la original, la cual es de la forma:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las
matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y
división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a
todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

5.  DESCOMPOSICIÓN LU:
Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se
traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la
descomposición LU es posible comprender el por qué de este nombre, analizando
cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y
otra inferior.
La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A],
proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas
de álgebra lineal.
Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz
diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber
números 1.
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz
triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].

6.  Factorización de Cholesky:
Una matriz A simétrica y positiva definida puede ser factorizada de
manera eficiente por medio de una matriz triangular inferior y una
matriz triangular superior.
Para una matriz no singular la descomposición LU nos lleva a
considerar una descomposición de tal tipo A = LU; dadas las
condiciones de A, simétrica y definida positiva, no es necesario
hacer pivoteo, por lo que ésta factorización se hace eficientemente y
en un número de operaciones la mitad de LU tomando la forma ,
donde L (la cual podemos "verla" como la raíz cuadrada de A) es
una matriz triangular inferior donde los elementos de la diagonal son
positivos. Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simétrica
definida positiva y dada su factorización de Cholesky , primero
debemos resolver Ly = b y entonces resolver para lograr x.
Una variante de la factorización de Cholesky es de la forma , donde
R es una matriz triangular superior, en algunas aplicaciones se
desea ver la matriz en esa forma y no de otra.

7. Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos
iterativos:
 Los métodos iterativos tienen la
desventaja de que no se pueden aplicar,
por lo menos de forma elemental, a
cualquier sistema de ecuaciones Ax = B y
tienen la ventaja de que son mas eficaces
para sistemas cuyo orden es superior a
1000.

8. Metodo de Jacobi:
El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de
ecuaciones lineales mas simple y se aplica solo a sistemas
cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como
ecuaciones.
 1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se
ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja
la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:
x = c + B x (1) donde x es el vector de incógnitas.
 2. Se toma una aproximación para las soluciones y a ´esta se le
designa por xo
 3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación
xi+1 = c + Bxi