Este documento presenta una deducción lógica de la función generatriz de los polinomios de Legendre utilizando el teorema del residuo. Primero se obtiene la función generatriz en la representación integral de Laplace de cada polinomio individual de Legendre. Luego, integrando en el plano complejo y sin dejar dudas, se obtiene la función generatriz como el recíproco de un radical conocido. Finalmente, ajustando adecuadamente la integral, se aplica el teorema del residuo para derivar la función generatriz buscada como el

1. [1]
De Laplace para Legendre
By Héctor L.Cervantes C.
Abstract.- Este artículo deduce de una manera lógica la función generatriz de polinomios de Legendre,
utilizando el teorema del residuo para pasar de la forma generatriz para representación de Laplace de los
polinomios a la representación del recíproco del radical para la representación usual, sin utilizar
razonamientos complicados que no dejan del todo satisfecho al lector y que son recurrentes, al recolectar la
potencia enésima para la variable auxiliar h.
Introducción.- Primeramente se obtiene la función generatriz de polinomios de Legendre en la representación
integral de Laplace del polinomio individual de Legendre; Luego integrando en el plano complejo a la generatriz
en su forma integral, y de manera contundente y sin dejar la menor duda, se obtiene la función generatriz como
el recíproco del conocido radical.
(1)
C
Cristo la forma (1) no es del todo evidente en un principio y es difícil de deducir a partir de un
desarrollo binomial forzado a recolectar coeficientes las potencias de h, es decir:
(1 − 2ℎ𝑧 + ℎ2)−1/2
= ∑
(1/2) 𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
ℎ 𝑛(2𝑧 − ℎ) 𝑛
Donde: (1/2) 𝑛 =
𝛤(𝑛+1/2)
𝛤(1/2)
Esto es muy tedioso realizar y es un resultado poco convincente por los
razonamientos en serie que se hacen. Y particularizan para cada potencia hn
(2)
OBTENCIÓN DE GENERATRIZ EN SU FORMA INTEGRAL A PARTIR DE (2)
Cristo multiplicando (2) por ℎ 𝑛
: 𝑃𝑛(𝑧)ℎ 𝑛
=
ℎ 𝑛
𝜋
∫ (𝑧 + √𝑧2 − 1 cos 𝜑)
𝑛
𝑑𝜑
𝜋
0
Cristo la potencia ℎ 𝑛
puede entrar dentro del integrando sin altera la integración en φ;
𝑃𝑛(𝑧)ℎ 𝑛
=
1
𝜋
∫ ℎ 𝑛
(𝑧 + √𝑧2 − 1 cos 𝜑)
𝑛
𝑑𝜑
𝜋
0
(3)

2. [2]
De Laplace para Legendre
Cristo ahora hago una suma en ambos lados de (3) para n desde cero a infinito
∑ 𝑃𝑛(𝑧)ℎ 𝑛∞
𝑛=0 =
1
𝜋
∑ ∫ ℎ 𝑛
(𝑧 + √𝑧2 − 1 cos 𝜑)
𝑛
𝑑𝜑
𝜋
0
∞
𝑛=0 (4)
Cristo como la suma de integrales es igual a la integral de la suma entonces, trabajando sobre lado
derecho de (4).
1
𝜋
∑ ∫ ℎ 𝑛
(𝑧 + √ 𝑧2 − 1 cos 𝜑)
𝑛
𝑑𝜑
𝜋
0
∞
𝑛=0
=
1
𝜋
∫ ∑ ℎ 𝑛
(𝑧 + √ 𝑧2 − 1 cos 𝜑)
𝑛
∞
𝑛=0
𝜋
0
Cristo ahora llamando momentáneamente: 𝑥 𝑛
= ℎ 𝑛
(𝑧 + √𝑧2 − 1 cos 𝜑)
𝑛
así tenemos
∑ ℎ 𝑛
(𝑧 + √𝑧2 − 1 cos 𝜑)
𝑛
∞
𝑛=0 = ∑ 𝑥 𝑛∞
𝑛=0 (5)
Y como ∑ 𝑥 𝑛∞
𝑛=0 =
1
1−𝑥
(6)
Cristo resulta que remplazando el valor de x en (6) e insertando en la integral anterior tenemos:
1
𝜋
∫ ∑ ℎ 𝑛
(𝑧 + √ 𝑧2 − 1 cos 𝜑)
𝑛
𝑑𝜑
∞
𝑛=0
𝜋
0
=
1
𝜋
∫
𝑑𝜑
1 − ℎ𝑧 − ℎ√ 𝑧2 − 1cos 𝜑
𝜋
0
Insertando este resultado en (4) obtenemos la función generatriz de polinomios de Legendre en su
forma integral.
∑ 𝑃𝑛(𝑧)ℎ 𝑛∞
𝑛=0 =
1
𝜋
∫
𝑑𝜑
1−ℎ𝑧−ℎ√ 𝑧2−1cos 𝜑
𝜋
0
(7)
Esta es la forma integral de la generatriz de Legendre
INTEGRACION COMPLEJA DEL LADO DERECHO DE (7)
Cristo arreglando adecuadamente el integrando de (7) recurrimos al siguiente ejemplo:

3. [3]
De Laplace para Legendre
Entonces la conclusión del ejemplo 53 es que:
Cristo veamos ahora la gráfica de la función coseno:
Cristo el rango de valores que cubre la función coseno desde cero a 2π es el doble de los valores
que cubre de 0 a π, así; ∫
𝑑𝜑
𝑎+cos 𝜑
= 2 ∫
𝑑𝜑
𝑎+cos 𝜑
𝜋
0
2𝜋
0
de esa manera aplicando el resultado
del ejemplo anterior tenemos que:
∫
𝑑𝜑
𝑎+cos 𝜑
𝜋
0
=
𝜋
√𝑎2−1
(8)
Cristo ahora viene el ajuste de la integral de (7) al resultado (8) para poder utilizarlo; trabajando
solamente sobre el integrando de (7)
1
1 − ℎ𝑧 − ℎ√𝑧2 − 1 cos 𝜑
=
1
(−ℎ√𝑧2 − 1) [
(1 − ℎ𝑧)
(−ℎ√𝑧2 − 1)
+ cos 𝜑]
Llamando 𝑎 =
(1−ℎ𝑧)
(−ℎ√𝑧2−1)
=
(ℎ𝑧−1)
(−ℎ√𝑧2−1)
(9) Resulta que de esta manera:

4. [4]
De Laplace para Legendre
1
1 − ℎ𝑧 − ℎ√𝑧2 − 1 cos 𝜑
=
1
(−ℎ√𝑧2 − 1)[𝑎 + cos 𝜑]
Insertando este resultado en integrando de (7)
1
𝜋
∫
𝑑𝜑
1 − ℎ𝑧 − ℎ√ 𝑧2 − 1cos 𝜑
𝜋
0
=
1
𝜋(−ℎ√𝑧2 − 1)
∫
𝑑𝜑
𝑎 + cos 𝜑
𝜋
0
Sustituyendo el resultado (8) de la integral en esta última expresión:
1
𝜋(−ℎ√𝑧2 − 1)
[
𝜋
√𝑎2 − 1
] =
Ya que : 𝑎2
− 1 =
ℎ2 𝑧2−2ℎ𝑧+1
ℎ2(𝑧2−1)
− 1 = (ℎ2
− 2ℎ𝑧 + 1)/[ℎ2(𝑧2
− 1)]
Entonces:
1
𝜋(−ℎ√𝑧2 − 1)
[
𝜋
√𝑎2 − 1
] =
±ℎ√𝑧2 − 1
(−ℎ√𝑧2 − 1)(√1 − 2ℎ𝑧 + ℎ2)
Insertando este resultado en (7) obtenemos la función generatriz buscada:
∑ 𝑃𝑛(𝑧)ℎ 𝑛
∞
𝑛=0
=
1
𝜋
∫
𝑑𝜑
1 − ℎ𝑧 − ℎ√ 𝑧2 − 1cos 𝜑
𝜋
0
=
1
√1 − 2ℎ𝑧 + ℎ2
Este es el resultado buscado para la función generatriz de Legendre.