Conicas

CÓNICAS
Prof. Carlos A. Blanco

Eje
SECCIONES CÓNICAS (I)
• Se define un cono
como una superficie de
revolución que se
obtiene al girar una
recta llamada
generatriz alrededor
de una recta secante a
ella llamada eje.
• El punto de corte de
ambas rectas es el
vértice del cono.
Generatriz
Vértice

SECCIONES CÓNICAS (II)
Al intersecar un cono con un plano que no pase por el vértice, se
obtienen las diferentes cónicas no degeneradas. Llamamos  al
ángulo que forma la generatriz con el eje. Entonces, si  es el
ángulo que forma el plano con el eje, se tiene que:
1. Si el plano es perpendicular al eje
𝛽 = 90° se obtiene una
circunferencia.
2. Si 𝛼 < 𝛽 < 90° se obtiene una
elipse.
3. Si el plano es paralelo a la
generatriz 𝛽 = 𝛼 se obtiene una
parábola.
4. Si 𝛽 < 𝛼 se obtiene una hipérbola.
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
Imagen realizada a partir de otra tomada de es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica

SECCIONES CÓNICAS (III)
Un experimento que se puede realizar es apuntar con una
linterna a una pared en algo de oscuridad. La forma que
adoptará la luz de la linterna contra la pared, según la
inclinación que tenga la linterna, irá formando las distintas
secciones cónicas.

CIRCUNFERENCIA
• Una circunferencia es el
lugar geométrico de los
puntos que equidistan de
un punto fijo llamado
centro.
• La distancia de cada punto
al centro se llama radio.
radio
Centro
,
,

𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑟 ⇔ 𝐶𝑃 = 𝑟 ⟺
⟺ 𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟 ⟺ 𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2 ⟺
⟺ 𝑥2 − 2𝑥0 𝑥 + 𝑥0
2 + 𝑦2 − 2𝑦0 𝑦 + 𝑦0
2 − 𝑟2 = 0
Si hacemos 𝐷 = −2𝑥0, 𝐸 = −2𝑦0 y 𝐹 = 𝑥0
2
+ 𝑦0
2
− 𝑟2
; se tiene
entonces:
CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN
• Para obtener la ecuación de la circunferencia, suponemos
que el centro tiene coordenadas 𝑂 = 𝑥0, 𝑦0 y que el radio
es 𝑟.
• Entonces si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la circunferencia, se
tiene que
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

CIRCUNFERENCIA
Obtener la ecuación de la circunferencia de centro O = (4,1)
y de radio r = 2
Obtener el centro y el radio de 𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 2 2 = 16
El centro es 𝑂 = 3, −2
𝑟 = 16 = 4
𝑥 − 4 2
+ 𝑦 − 1 2
= 22
⟺
⟺ 𝑥2
− 8𝑥 + 16 + 𝑦2
− 2𝑦 + 1 − 4 = 0 ⟺
⟺ 𝑥2
+ 𝑦2
− 8𝑥 − 2𝑦 + 13 = 0

CIRCUNFERENCIA
Aplicamos las fórmulas de 𝐷, 𝐸 y 𝐹.
Obtener el centro y el radio de 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
Obtener el centro y el radio de 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
Completando cuadrados, tenemos que:
𝐷 = 4 = −2𝑥0 ⇒ 𝑥0 = −2
𝐸 = −6 = −2𝑦0 ⇒ 𝑦0 = 3
⇒ 𝑂 = −2,3
𝐹 = 𝑥0
2
+ 𝑦0
2
− 𝑟2
= −3 ⇒ 4 + 9 − 𝑟2
= −3 ⟹
⟹ 𝑟2 = 3 + 4 + 9 ⟹ 𝑟2 = 16 ⟹ 𝑟 = 4
𝑥2
+ 4𝑥 = 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 − 4 = 𝑥 + 2 2
− 4
𝑦2 − 6𝑦 = 𝑦2 − 6𝑦 + 9 − 9 = 𝑦 − 3 2 − 9
⟹
𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 ⟺
⟺ 𝑥 + 2 2 − 4 + 𝑦 − 3 2 − 9 − 3 = 0 ⟺
⟺ 𝑥 + 2 2
+ 𝑦 − 3 2
= 16 ⟹ 𝑂 = −2,3 y 𝑟 = 4

POSICIONES RELATIVAS
• En las siguientes diapositivas vamos a estudiar las posiciones
relativas de:
• Calculamos centro
y radio de la
circunferencia
• Calculamos la
distancia del
punto al centro
• Comparamos la
distancia con el
radio
y radio de la
circunferencia
• Calculamos la
distancia de la
recta al centro
• Comparamos la
distancia con el
radio
y radio de las dos
circunferencias
• Calculamos la
distancia entre
ambos centros
• Comparamos la
distancia con la
suma y diferencia
de los radios
Punto y
circunferencia
Recta y
circunferencia Dos circunferencias

• Calculamos el centro O y el radio r de la circunferencia C y la
distancia del punto al centro, que llamamos d.
• Si d > r, entonces P es exterior a C.
• Si d = r, entonces P pertenece a C.
• Si d < r, entonces P es interior a C.
POSICIONES RELATIVAS:
PUNTO Y CIRCUNFERENCIA
d
r
P
O
C
d
r
P
O
C
d
r
P
O
C

PUNTO Y CIRCUNFERENCIA
El centro y el radio de la circunferencia son:
Puesto que d > r, se tiene que P es exterior a C.
d
r
P
O
C
Halla la posición relativa de 𝑃 = 3,4
y de 𝐶 ≡ 𝑥2
+ 𝑦 + 1 2
= 4
𝑂 = 0, −1 y 𝑟 = 2
𝑑 = 𝑑 𝑂, 𝑃 = 3 − 0 2 + 4 − −1
2
= 9 + 25 = 34

• Calculamos el centro O y el radio r de la circunferencia C y la
distancia de la recta al centro, que llamamos d.
• Si d > r, entonces s es exterior a C.
• Si d = r, entonces s es tangente a C.
• Si d < r, entonces s es secante a C.
RECTA Y CIRCUNFERENCIA
d
r
s
O
C
d
rs
O
C
d
r
s
O
C

𝑂 = 0, −1 y 𝑟 = 2
RECTA Y CIRCUNFERENCIA
Halla la posición relativa de 𝑠 ≡ 𝑥 + 2𝑦 = 1
y de 𝐶 ≡ 𝑥2
+ 𝑦 + 1 2
= 4
El centro y el radio de la circunferencia son:
Puesto que d < r, se tiene que s es secante a C.
d
r
s
O
C
𝑑 = 𝑑 𝑂, 𝑠 =
0 + 2 · −1 − 1
12 + 22
=
3
5
=
3 5
5

DOS CIRCUNFERENCIAS
• Calculamos y llamamos r1 al radio de la circunferencia C1, r2
al radio de la circunferencia C2; y d a la distancia entre los
centros.
C1 C2
d
r1
O1
r2
O2
C1 C2
d
r1
O1
r2
O2
C1
C2
d
r1
O1
r2
O2
C1
C2
d
r1
O1
r2
O2
C1
C2
r1
O1= O2
r2
C1
C2d
r1
O1
r2
O2
Si d > r1 + r2, exteriores Si d = r1 + r2, tangentes
exteriores
Si r1  r2 < d < r1 + r2,
secantes
Si d = r1  r2, tangentes
interiores
Si 0 < d < r1  r2, interiores Si d = 0, concéntricas

DOS CIRCUNFERENCIAS
Halla la posición relativa de C1 y C2, siendo
El centro y el radio de las circunferencias son:
Se tiene que d es:
Puesto que r1  r2 = 1, que r1 + r2 = 5, y que 1 < d < 5, las
circunferencias son secantes.
C1
C2
d
r1
O1
r2
O2
𝑂1 = 0,1 y 𝑟1 = 3 mientras que 𝑂2 = 2, −1 y 𝑟2 = 2
𝐶1 ≡ 𝑥2 + 𝑦 − 1 2 = 9 y 𝐶2 ≡ 𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 4
𝑑 = 𝑑 𝑂1, 𝑂2 = 2 − 0 2 + −1 − 1 2 = 4 + 4 = 8

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A
UNA CIRCUNFERENCIA (I)
• Dada una circunferencia C
y un punto P, si r es
cualquier recta secante a C
como en la figura, se tiene
que
𝑃𝐴 · 𝑃𝐵 = 𝑐𝑡𝑒
P
B
C A

UNA CIRCUNFERENCIA (II)
• Para demostrarlo, suponemos
que hay dos rectas que pasen
por 𝑃.
• Consideramos los triángulos
𝑃𝐴𝐵′ y 𝑃𝐴′
𝐵.
• El ángulo 𝑃 es común
• Los ángulos 𝐵 y 𝐵′ son
iguales, ya que ambos son
ángulos interiores de una
circunferencia que abarcan el
mismo arco.
• Entonces los triángulos 𝑃𝐴𝐵′ y
𝑃𝐴′
𝐵 son semejantes.
• Por el teorema de Thales:
P
B
C A
B’
A’
𝑃𝐴 · 𝑃𝐵 = 𝑃𝐴′ · 𝑃𝐵′
𝑃𝐴
𝑃𝐴′
=
𝑃𝐵′
𝑃𝐵

UNA CIRCUNFERENCIA (III)
• Teniendo en cuenta que el producto 𝑃𝐴 · 𝑃𝐵 no depende de la
recta, se escoge la recta que pase por 𝑃 y por 𝑂.
• Suponemos que 𝐶 ≡ 𝑥 − 𝑥0
2
+ 𝑦 − 𝑦0
2
= 𝑟2
y 𝑃 = 𝑥1, 𝑦1
• De este modo, 𝑃𝐴 = 𝑑 − 𝑟 , y 𝑃𝐵 = 𝑑 + 𝑟
• Así, 𝑃𝑜𝑡 𝑃 𝐶 = 𝑃𝐴 · 𝑃𝐵 = 𝑑 − 𝑟 𝑑 + 𝑟 y la ecuación queda
𝑃𝑜𝑡 𝑃 𝐶 = 𝑑 − 𝑟 · 𝑑 + 𝑟 = 𝑑2 − 𝑟2 = 𝑥1 − 𝑥0
2 + 𝑦1 − 𝑦0
2 − 𝑟2
• Para hallar la potencia, basta con sustituir las coordenadas del
punto en la ecuación de la circunferencia.
C P
A
B d
d  r
r

POTENCIA Y POSICIÓN RELATIVA
• Teniendo en cuenta que la potencia de un punto respecto a
una circunferencia es 𝑑2 − 𝑟2 , conocido el signo de la
potencia, deducimos su posición relativa respecto a C.
d
r
P
O
C
d
r
P
O
C
d
r
P
O
C
• P es exterior a C equivale a que 𝑑 >
𝑟 ⟺ 𝑑2
− 𝑟2
> 0 ⟺ 𝑃𝑜𝑡 𝐶 𝑃 > 0
• P pertenece a C equivale a que 𝑑 =
𝑟 ⟺ 𝑑2 − 𝑟2 = 0 ⟺ 𝑃𝑜𝑡 𝐶 𝑃 = 0
• P es interior a C equivale a que 𝑑 <
𝑟 ⟺ 𝑑2
− 𝑟2
< 0 ⟺ 𝑃𝑜𝑡 𝐶 𝑃 < 0

EJE RADICAL DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
• Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar
geométrico de los puntos que tienen la misma potencia
respecto a las dos circunferencias:
• Si 𝐶1 tiene la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
• Si 𝐶2 tiene la ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷′𝑥 + 𝐸′𝑦 + 𝐹′ = 0
• Y si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de dicho eje radical, cumplirá que
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷′𝑥 + 𝐸′𝑦 + 𝐹′
𝐷 − 𝐷′ 𝑥 + 𝐸 − 𝐸′ 𝑦 + 𝐹 − 𝐹′ = 0
• De este modo se ve que el eje radical de dos circunferencias
es una recta (siempre que las circunferencias no sean
concéntricas)
• Dicha recta es perpendicular al segmento que une los centros
de las circunferencias, puesto que su vector normal es
proporcional al vector que une los centros.

CENTRO RADICAL DEL TRES
CIRCUNFERENCIAS
• Si se tienen tres circunferencias no concéntricas dos a dos, y
con los centros no alineados; se puede demostrar que los tres
ejes radicales que se pueden formar se cortan en un único
punto.
• Se define el centro radical de tres circunferencias como el punto
que tiene la misma potencia respecto a tres circunferencias, que
será el punto de corte de los tres ejes radicales.
• Para calcular el centro radical bastará pues, con calcular dos
ejes radicales (el eje de 𝐶1 y 𝐶2 y el eje de 𝐶1 y 𝐶3 por ejemplo) y
después resolver el sistema formado por estas ecuaciones.
C3
C2
C1

POTENCIA, EJE RADICAL
Y CENTRO RADICAL
Halla la potencia de 𝑃 = 3,2 respecto 𝐶 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 3 = 0
𝑃𝑜𝑡 𝑃 𝐶 = 32 + 22 + 2 · 3 − 3 = 16 > 0
Se tiene entonces que P es exterior a C
Halla el eje radical de la circunferencia 𝐶1 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 − 3 = 0
y de la circunferencia 𝐶2 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑦 − 5 = 0
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 3 = 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑦 − 5 ⇔
⟺ 2𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
Halla el centro radical de 𝐶1, 𝐶2 y 𝐶3, siendo 𝐶1 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0,
𝐶2 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 − 3 = 0 y 𝐶3 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑦 − 5 = 0
Resolviendo el sistema
2𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
El centro radical es 𝑃 = 1,1

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de
PARÁBOLA DEFINICIÓN
A la recta perpendicular a la
directriz que pasa por el foco se la
llama eje de la parábola
Al punto de corte del eje con la
parábola se le llama vértice
y de un punto fijo llamado foco
una recta fija llamada directriz
Eje
Vértice
Foco
Directriz
Se define la excentricidad de la
parábola como el cociente entre
las distancias de un punto P al foco
y a la directriz, y por tanto 𝑒 = 1

Para calcular la ecuación de la parábola, consideremos que la
ecuación de la directriz es x =  p/2 y que las coordenadas del
foco son (p/2,0)
PARÁBOLA ECUACIÓN
Un punto 𝑃 = 𝑥, 𝑦 que esté en
la parábola debe cumplir
𝑑 𝐹, 𝑃 = 𝑑 𝑃, 𝑑 ⟺
⟺ 𝑥 −
𝑝
2
2
+ 𝑦2 =
𝑥 + 𝑝
2
12 + 02
⟺
⟺ 𝑥 −
𝑝
2
2
+ 𝑦2
= 𝑥 +
𝑝
2
2
⟺
⟺ 𝑦2
= 2𝑝𝑥

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Suponiendo que el vértice es el origen de coordenadas,
tenemos las siguientes posibilidades.
Si el vértice es el punto 𝑉 = 𝑥0 , 𝑦0 entonces es:
𝑦 − 𝑦0
2
= 2𝑝 𝑥 − 𝑥0
Intercambiando la x con la y según la dirección y siendo p
positivo o negativo según la orientación
𝑦2 = 2𝑝𝑥 𝑦2 = −2𝑝𝑥 𝑥2 = 2𝑝𝑦 𝑥2 = −2𝑝𝑦

CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA
• Para dibujar la parábola,
basta con trazar
circunferencias centradas
en el foco, y rectas
paralelas a la directriz que
disten de dicha directriz la
longitud del radio de las
circunferencias.
• Los puntos de intersección
de las circunferencias y las
rectas serán los puntos de
la parábola.

LA PARÁBOLA CON EL
MÉTODO DEL JARDINERO
• Deslizamos un cartabón a lo largo de la directriz.
• En la parte superior atamos un extremo de un hilo de la
misma longitud que el cartabón y el otro extremo lo atamos al
foco de la parábola.
• Mantenemos el hilo tenso con un lapicero.
• La curva que se obtiene al deslizar es una parábola.

USOS DE LA PARÁBOLA
La parábola tiene la siguiente propiedad sorprendente:
• Un rayo paralelo al eje de simetría se refleja en la superficie
directamente hacia el foco y viceversa.
Así las parábolas se pueden usar para:
• Antenas (antena parabólica)
• Radares
• Concentrar los rayos solares para calentar un punto
• Los espejos dentro de faros y linternas
• etc

EJERCICIOS DE PARÁBOLAS
Hay dos tipos de ejercicios de parábolas:
El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de
la parábola a partir de unos datos determinados
El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los
elementos más destacados de la parábola y realizar un
dibujo aproximado a partir de la ecuación.
En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la
ecuación de la parábola en forma reducida (más fácil)
Ó puede ser que nos den la ecuación de la parábola en
forma desarrollada (más difícil)

EJERCICIO 1 DE PARÁBOLAS
Halla la ecuación de la parábola que tiene su foco en el punto
de F = (3,2) y su directriz es d  2x – 3 = 0
Para calcular la ecuación necesitamos conocer el
vértice y el parámetro 𝑝 = 𝑑 𝐹, 𝑑 El vértice será
el punto intermedio entre el foco y la directriz.
𝑝 = 𝑑 𝐹, 𝑑 =
2 · 3 − 3
22 + 02
=
3
2
Observando la posición de foco y directriz, y la distancia entre
ambos, el vértice es el punto 𝑉 = 3,2 − 3
4
, 0 = 9
4
, 2
La ecuación de la parábola es entonces
𝑦 − 2 2
= 3 𝑥 −
9
4
d
V
F

Para la parábola de ecuación 𝑥 + 3 2
= −4 𝑦 − 1 halla las
coordenadas del foco, del vértice y de la directriz.
A la vista de la ecuación, la parábola es de
la forma:
Asimismo, a la vista de la ecuación, ya
tenemos tanto el vértice como el parámetro:
𝑉 = −3,1 y 𝑝 = 2 ⇒ 𝑝
2
= 1
El Foco estará una unidad por debajo del vértice:
𝐹 = −3,1 − 1 = −3,0
La directriz, al ser paralela al eje x, tendrá por ecuación 𝑦 = 𝑘,
siendo k una unidad mayor que la ordenada del Vértice.
𝑦 = 1 + 1 ⇒ 𝑦 = 2

Para la parábola de ecuación 𝑦2
+ 8𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0 halla las
coordenadas del foco, del vértice y de la directriz.
Completamos cuadrados para obtener la ecuación
reducida
A la vista de la ecuación, deducimos que:
𝑉 = 2,1 y 𝑝 = 4 ⇒ 𝑝
2
= 2
El Foco estará dos unidades a la izquierda del vértice:
𝐹 = 2 − 2,1 = 0,1
La directriz, al ser paralela al eje y, tendrá por ecuación 𝑥 = 𝑘,
siendo k dos unidades mayor que la abscisa del Vértice.
𝑥 = 2 + 2 ⇒ 𝑥 = 4
𝑦 − 1 2
= −8 𝑥 − 2

ELIPSE DEFINICIÓN
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de
distancias a dos puntos fijos, llamados focos; es constante.
• En la elipse de la
figura, el punto medio
del segmento que
une los focos es el
centro de la elipse.
• La recta que une los
focos es el eje
mayor.
• Su perpendicular por
el centro es el eje
menor.
Centro
Eje menor
Eje mayor

ELIPSE ELEMENTOS
• Los puntos de corte de la elipse con los ejes son los vértices.
• 𝑐 = 𝑑 𝐹𝑖, 𝐶 es la semidistancia focal.
• 𝑎 = 𝑑 𝐴𝑖, 𝐶 es el semieje mayor.
• 𝑏 = 𝑑 𝐵𝑖, 𝐶 es el semieje menor.
Vértices
c
a
b

ELIPSE RELACIÓN FUNDAMENTAL
• Puesto que los vértices del eje mayor son puntos de la elipse
𝑑 𝐹1, 𝐴𝑖 + 𝑑 𝐹2, 𝐴𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑎 − 𝑐 = 2𝑎.
• Puesto que los vértices del eje menor son puntos de la elipse
𝑑 𝐹1, 𝐵𝑖 = 𝑑 𝐹2, 𝐵𝑖
𝑑 𝐹1, 𝐵𝑖 + 𝑑 𝐹2, 𝐵𝑖 = 2𝑎
⇒ 𝑑 𝐹𝑖, 𝐵𝑖 = 𝑎 para 𝑖 = 1,2
• Se ve un triángulo rectángulo con hipotenusa a y catetos b y c
• Tenemos entonces la relación fundamental de la elipse.
a + c
a  c
aa
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
b
c

ELIPSE ECUACIÓN
Para hallar la ecuación de la elipse, suponemos que 𝐹1 = 𝑐, 0 y
𝐹2 = −𝑐, 0 son los focos, 𝑎 el semieje mayor y 𝑏 el semieje
menor, siendo 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
. Si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la elipse:
𝑑 𝐹1, 𝑃 + 𝑑 𝐹2, 𝑃 = 2𝑎 ⟹ 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎
Operando nos queda
𝑎2
− 𝑐2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑎2
− 𝑐2
⟺ 𝑏2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑏2
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
Lo que es equivalente a
En una elipse, se llama excentricidad al cociente 𝑒 =
𝑐
𝑎
y
determina el achatamiento. Será un valor entre 0 y 1, tanto más
próximo a 0 cuánto más se parezca la elipse a una circunferencia
y más próximo a 1 cuánto más achatada.

ECUACIONES DE LA ELIPSE
Suponiendo que el centro es el origen de coordenadas,
Si el centro es el punto 𝐶 = 𝑥0 , 𝑦0 entonces es:
𝑥−𝑥0
2
𝑎2 +
𝑦−𝑦0
2
𝑏2 = 1 ó
𝑦−𝑦0
2
𝑎2 +
𝑥−𝑥0
2
𝑏2 = 1
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑦2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1
según sea la orientación de la elipse.

CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE
• Trazamos circunferencias centradas en los focos cuya suma
de radios sea constante.
• Los puntos de intersección serán los puntos de la elipse.

LA ELIPSE CON EL
• Atamos una hilo en cada uno de los focos y manteniéndolo
tenso con un lapicero, trazamos la elipse.
• Este es conocido como el “método del jardinero”.

PROPIEDAD DE LA ELIPSE
La elipse tiene una importante propiedad de reflexión
Si desde uno de los focos se emite un rayo de luz, que se
refleja en el interior de la elipse, el rayo reflejado pasará por el
otro foco.
Gráficamente, la recta perpendicular a la tangente a una elipse
en un punto es la bisectriz del ángulo formado por los radio-
vectores de dicho punto.
Se usa para diseñar las bóvedas de las estaciones de metro.

ELIPSES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
El movimiento que describen los planetas alrededor de su
estrella sigue una elipse, estando la estrella en uno de los
focos.
Además, el planeta se mueve más deprisa en los momentos en
los que está más cerca de la estrella, y más despacio cuando
está más alejado de la misma.

EJERCICIOS DE ELIPSES
Hay dos tipos de ejercicios de elipses:
la elipse a partir de unos datos determinados
elementos más destacados de la elipse y realizar un dibujo
aproximado a partir de la ecuación.
ecuación de la elipse en forma reducida (más fácil)
Ó puede ser que nos den la ecuación de la elipse en forma
desarrollada (más difícil)

EJERCICIO 1 DE ELIPSES
Halla la ecuación de la elipse de centro el punto de 𝑂 = 2,3 ,
cuya semidistancia focal es 4 y cuyos radio-vectores de un
punto son 7 y 3.
Para hallar la ecuación de una elipse necesitamos conocer el
centro y los semiejes.
Como los radio-vectores de un punto son 7 y 3 se tiene que:
7 + 3 = 2𝑎 ⟹ 𝑎 = 5
Ya tenemos a y c. Hallamos b con la relación fundamental
52
= 𝑏2
+ 42
⟹ 𝑏 = 3
Puesto que también tenemos el centro, la elipse es
𝑥 − 2 2
52 +
𝑦 − 3 2
32 = 1

Halla todos los elementos de la elipse
𝑥+1 2
22 +
𝑦−1 2
32 = 1
A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.
Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje y. Hallamos
pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y
los vértices.
32
= 22
+ 𝑐2
⟹ 𝑐 = 5
𝐹1 = −1,1 + 5 , 𝐹2 = −1,1 − 5
𝐴1 = −1,1 + 3 = −1,4 , 𝐴2 = −1,1 − 3 = −1, −2
𝐵1 = −1 + 2,1 = 1,1 , 𝐵2 = −1 − 2,1 = −3,1
𝑒 = 5
3
𝑂 = −1,1 , 𝑎 = 3 y 𝑏 = 2

Halla los elementos de la elipse 𝑥2
+ 4𝑦2
+ 4𝑥 − 16𝑦 + 4 = 0
Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje x. Hallamos
pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y
los vértices.
42 = 22 + 𝑐2 ⟹ 𝑐 = 12
𝐹1 = −2 + 12, 2 , 𝐹2 = −2 − 12, 2
𝐴1 = −2 + 4,2 = 2,2 , 𝐴2 = −2 − 4,2 = −6,2
𝐵1 = −2,2 + 2 = −2,4 , 𝐵2 = −2,2 − 2 = −2,0 y 𝑒 = 12
4
𝑂 = −2,2 , 𝑎 = 4 y 𝑏 = 2
En primer lugar completamos cuadrados para hallar la ecuación
reducida.
𝑥 + 2 2
42 +
𝑦 − 2 2
22 = 1

HIPÉRBOLA DEFINICIÓN
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya
diferencia de distancias a dos puntos fijos, (focos), es constante.
• En la hipérbola de
la figura, el punto
medio del segmento
que une los focos
es el centro de la
hipérbola.
• La recta que une
los focos es el eje
real.
• Su perpendicular
por el centro es el
eje imaginario.
Eje real
Eje imaginario
Centro

HIPÉRBOLA ELEMENTOS
• 𝐴𝑖, 𝐵𝑖 son los vértices.
• 𝑎 = 𝑑 𝐴𝑖, 𝐶 es el semieje real.
• 𝑏 = 𝑑 𝐵𝑖, 𝐶 es el semieje imaginario.
• 𝑐 = 𝑑 𝐹𝑖, 𝐶 es la semidistancia focal.
• Las rectas son las asíntotas de la hipérbola
c
Asíntotas
a
b

HIPÉRBOLA RELACIÓN FUNDAMENTAL
En una hipérbola se cumple 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 que se llama
relación fundamental de la hipérbola.
c
a
b
Asimismo, y tal y como
se definió en la elipse,
la excentricidad es
𝑒 =
𝑐
𝑎
Que en este caso será
mayor que la unidad
puesto que el
numerador es mayor
que el denominador.

HIPÉRBOLA ECUACIÓN
Para hallar la ecuación de la hipérbola, suponemos que 𝐹1 =
𝑐, 0 y 𝐹2 = −𝑐, 0 son los focos, 𝑎 el semieje real y 𝑏 el semieje
imaginario, siendo 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
. Si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la
elipse:
𝑑 𝐹1, 𝑃 − 𝑑 𝐹2, 𝑃 = 2𝑎 ⟹ 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 − 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎
Operando nos queda
𝑐2 − 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑐2 − 𝑎2 ⟺ 𝑏2 𝑥2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎2 𝑏2
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Lo que es equivalente a
Para terminar, escribimos las ecuaciones de las asíntotas, que
son rectas que pasan por el centro y tienen pendientes
𝑏
𝑎
y
−𝑏
𝑎
𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥 y 𝑦 =
−𝑏
𝑎
𝑥

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA
Suponiendo que el centro es el origen de coordenadas,
Si el centro es el punto 𝐶 = 𝑥0 , 𝑦0 entonces es:
𝑥−𝑥0
2
𝑎2 −
𝑦−𝑦0
2
𝑏2 = 1 ó
𝑦−𝑦0
2
𝑎2 −
𝑥−𝑥0
2
𝑏2 = 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
Según cuál sea el eje real, siendo las asíntotas entonces:
𝑦 − 𝑦0 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 − 𝑥0 ó 𝑦 − 𝑦0 = ±
𝑎
𝑏
𝑥 − 𝑥0

CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA
• Trazamos circunferencias centradas en los focos de modo
que la diferencia de los radios sea constante.
• Los puntos de intersección son los puntos de la hipérbola.

LA HIPÉRBOLA CON EL
• Fijamos un extremo de un
listón a uno de los focos
(En este caso 𝐹2)
• Del otro extremo fijamos el
extremo de un hilo, cuyo
otro extremo atamos al otro
foco (𝐹1).
• Manteniendo el hilo tenso
con el lapicero movemos el
listón hacia arriba para
trazar una de las ramas de
la hipérbola.
• La otra rama se trazaría de
modo similar.

PROPIEDAD DE LA HIPÉRBOLA
La tangente a la hipérbola en cualquier punto tiene la siguiente
propiedad:
La recta tangente en un punto P es bisectriz del ángulo que
forman los radio vectores de ese punto.
Esto se traduce en que los rayos emitidos desde un foco
de un hipérbola se reflejan en la rama más alejada de
dicho foco y salen de la hipérbola como si fuesen emitidos
por el otro foco.
Su uso son los espejos hiperbólicos.

EJERCICIOS DE HIPÉRBOLAS
Hay dos tipos de ejercicios de hipérbolas:
la hipérbola a partir de unos datos determinados
elementos más destacados de la hipérbola y realizar un
dibujo aproximado a partir de la ecuación.
ecuación de la hipérbola en forma reducida (más fácil)
Ó puede ser que nos den la ecuación de la hipérbola en
forma desarrollada (más difícil)

EJERCICIO 1 DE HIPÉRBOLAS
Halla la ecuación de la hipérbola de centro el punto de 𝑂 =
2,3 , con vértice 𝐴 = 5,3 y con un foco en 𝐹 = 7,3 .
Para hallar la ecuación de una hipérbola necesitamos conocer
el centro y los semiejes. Calculamos los semiejes:
𝑎 = 𝑑 𝑂, 𝐴 = 5 − 2 2 + 3 − 3 2 = 3
Ya tenemos a y c. Hallamos b con la relación fundamental
52
= 𝑏2
+ 32
⟹ 𝑏 = 4
Puesto que también tenemos el centro, y el eje real de la
hipérbola es horizontal; la ecuación es
𝑥 − 2 2
32
−
𝑦 − 3 2
42
= 1
𝑐 = 𝑑 𝑂, 𝐹 = 7 − 2 2 + 3 − 3 2 = 5

Halla todos los elementos de la hipérbola
𝑦+1 2
22 −
𝑥−1 2
32 = 1
Siendo además el semieje real el paralelo al eje y. Hallamos
pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos,
los vértices y las asíntotas.
𝑐2
= 32
+ 22
⟹ 𝑐 = 13
𝐹1 = 1, −1 + 13 , 𝐹2 = 1, −1 − 13
𝐴1 = 1, −1 + 2 = 1,1 , 𝐴2 = 1, −1 − 2 = 1, −3
𝐵1 = 1 + 3, −1 = 4, −1 , 𝐵2 = 1 − 3, −1 = −2, −1
𝑒 = 13
2
y 𝑦 + 1 = ±
2
3
𝑥 − 1
𝑂 = 1, −1 , 𝑎 = 2 y 𝑏 = 3

Estudia la hipérbola 16𝑥2
− 9𝑦2
+ 96𝑥 + 36𝑦 − 36 = 0
Además el semieje real es paralelo al eje x. Hallamos el resto
de los elementos de la hipérbola.
𝑐2 = 32 + 42 ⟹ 𝑐 = 5
𝐹1 = −3 + 5,2 = 2,2 , 𝐹2 = −3 − 5,2 = −8,2
𝐴1 = −3 + 3,2 = 0,2 , 𝐴2 = −3 − 3,2 = −6,2
𝐵1 = −3,2 + 4 = −3,6 , 𝐵2 = −3,2 − 4 = −3, −2
𝑒 = 5
3
y 𝑦 − 2 = ±
4
3
𝑥 + 3
𝑂 = −3,2 , 𝑎 = 3 y 𝑏 = 4
En primer lugar completamos cuadrados para hallar la ecuación
reducida.
𝑥 + 3 2
32
−
𝑦 − 2 2
42
= 1

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN
• En las siguientes imágenes se puede
observar que las secciones cónicas
cumplen las definiciones como lugares
geométricos.
• Las imágenes proceden de la página
http://www.aulamatematicas.org/Conicas/
ConicasSeccionesCono.htm
• Para saber más sobre las esferas de
Dandelin, clic aquí

𝑃𝐹 = 𝑃𝑀 = 𝐻𝑇 = 𝑅𝑄 = 𝑃𝐷

𝑃𝐹1 = 𝑃𝑀
𝑃𝐹2 = 𝑃𝑀′
⇒
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 =
= 𝑃𝑀 + 𝑃𝑀′
Que es la longitud
de la generatriz
entre 𝐶1 y 𝐶2 y no
depende del punto 𝑃

𝑃𝐹1 = 𝑃𝐻
𝑃𝐹2 = 𝑃𝐺
⇒
𝑃𝐹2 − 𝑃𝐹1 =
= 𝑃𝐺 − 𝑃𝐻
Que es la longitud de la
generatriz entre 𝐶1 y 𝐶2 y
no depende del punto 𝑃

Conicas

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