Como aprender el metodo grafico

1. MÉTODO GRÁFICO
• Se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2
variables de decisión.
• El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las
restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de
identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen
con todas las restricciones).
• La solución óptima del problema se encuentra en uno de los
vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en
estos datos el valor mínimo o máximo del problema.

2. MÉTODO GRÁFICO
Problema: Una compañía de auditores se especializa en preparar
liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en
saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar
mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800
horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en
promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de
revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de
impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de
revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones
mensuales disponibles es de 60.

3. MÉTODO GRÁFICO
Auditorias Liquidaciones
Horas-
Trabajo
Trabajo
Directo 40 8 800
Revisión 10 5 320
Ingresos 300 100
a.- Variables de Decisión:
X1: Cantidad de Auditorías a realizar mensualmente
X2: Cantidad de Liquidaciones a realizar mensualmente

4. MÉTODO GRÁFICO
b.- Función Objetivo:
Max Z = 300X1 + 100X2
c.- Restricciones:
1)40X1 + 8X2 <= 800
2)10X1 + 5X2 <= 320
3)X2 <= 60
4)X1 , X2 >= 0

5. MÉTODO GRÁFICO
Pasos:
1.Dibuja un plano cartesiano. Utiliza una escala adecuada en la que
puedas identificar visualmente el conjunto de ecuaciones.
2.Grafica en el plano el sistema de restricciones.
• Recuerda incluir las restricciones de no negatividad.
• Aunque las restricciones sean desigualdades, deberás
graficarlas como si fueran igualdades.
3.Una vez que tienes graficadas todas las ecuaciones, observa la
región acotada por el sistema, es decir, la región factible.

6. MÉTODO GRÁFICO
Pasos:
4.Para determinar los valores óptimos, lo primero que tienes que
hacer es buscar los valores que se localizan en los vértices de las
intersecciones de las ecuaciones; son los puntos en los que se
cruzan dos ecuaciones.
• Todos los vértices de la región factible son candidatos a ser
una posible solución óptima que maximiza o minimiza tu
modelo de programación lineal.
4.Grafica en el plano el sistema de restricciones. Para encontrar la
solución óptima es necesario que evalúes cada “combinación” o

7. MÉTODO GRÁFICO
Pasos:
par de valores de cada uno de los vértices en la función
objetivo, es decir, tienes que sustituir estos valores en la función
que deseas optimizar.

8. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 1
Restricción # 1: 40X1+ 8X2<= 800 se transforma en igualdad quedando:
40X1+ 8X2= 800, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:
40X1+ 8X2= 800
40X1+8X2= 800
40(0)+8X2= 800
8X2= 800
X2= 800 / 8
X2= 100
Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

9. MÉTODO GRÁFICO
40X1+ 8X2= 800
40X1+8(0)= 800
40X1= 800
40X1= 800
X1= 800 / 40
X1= 20
Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 100 ; X1 = 20 y X2= 0

10. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 1
40X1+ 8X2<= 800
Puntos:
X1= 0 ; X2= 100
X1= 20 ; X2= 0

11. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 2
Restricción # 2: 10X1+5X2<= 320 se transforma en igualdad quedando:
10X1+ 5X2= 320, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:
10X1+ 5X2= 320
10X1+5X2= 320
10(0)+5X2= 320
5X2= 320
X2= 320 / 5
X2= 64
Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

12. MÉTODO GRÁFICO
10X1+ 5X2= 320
10X1+5(0)= 320
10X1= 320
X1= 320 / 10
X1= 32
Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 64 ; X1 = 32 y X2= 0

13. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 2
10X1+ 5X2<= 320
Puntos:
X = 0 ; X = 64 / X = 32; X = 0

14. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 3
Restricción # 3: X2<= 60 se transforma en igualdad quedando: X2= 60.
Por tanto X1 = 0 y X2 = 60

15. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 3
X2<= 60
Puntos:
X = 0 ; X = 60

16. MÉTODO GRÁFICO
Puntos:
A= (0,0) ; B= (20,0); C=Intersección entre la R1 y R2; D= Intersección entre R2 y R3 y E= (0,60)
C
D
E
BA

17. MÉTODO GRÁFICO
Punto C:
Restricción # 1: 40X1+ 8X2<= 800 se transforma en igualdad quedando:
40X1+ 8X2= 800, despejando X1:
40X1+ 8X2= 800
40X1= 800- 8X2
X1=
Introduciendo el valor de X1 (obtenido en la Restricción # 1) en la
Restricción # 2 : 10X1+ 5X2<= 320 convirtiéndola primeramente en la
40
X8800 2−

18. MÉTODO GRÁFICO
320
4
X20X8800
320
4
)X(4X8800
320X5
4
X8800
:ndoSimplifica
320X5)
40
X8800
(10
22
22
2
2
2
2
=
+−
=
+−
=+
−
=+
−
40X
12
480
X
8001280X12
1280X20X8800
)320(4X20X8800
2
2
2
22
22
=
=
−=
=+−
=+−

19. MÉTODO GRÁFICO
Sustituyendo el valor obtenido de X2 en la Restricción # 1 se obtiene el
valor de X1
12X
40
480
X
40
320-800
X
40
8(40)-800
X
40
8X-800
X
1
1
1
1
2
1
=
=
=
=
=

20. MÉTODO GRÁFICO
Puntos:
A= (0,0) ; B= (20,0); C=(12,40); D= Intersección entre R2 y R3 y E= (0,60)
C
D
E
BA

21. MÉTODO GRÁFICO
Punto D:
Restricción # 3: X2<= 60 transformándola en igualdad queda X2= 60 ,
ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 2 y
obtenemos X1
10X1+ 5X2= 320
10X1+ 5(60)= 320
10X1+ 300= 320
10X1= 320 - 300
10X1= 20

22. MÉTODO GRÁFICO
Puntos:
A= (0,0) ; B= (20,0); C=(12,40); D= (2,60) y E= (0,60)
C
D
E
BA

23. MÉTODO GRÁFICO
Ahora sustituimos los cinco (5) puntos en la Función Objetivo y en
nuestro caso el punto factible más alto es el punto óptimo y
solución del problema

24. MÉTODO GRÁFICO
C
D
E
BA
Función Objetivo. Puntos Factibles y Óptimo:
X1= 12 ; X2= 40 haciendo que Z tenga un valor de 7600

25. MÉTODO GRÁFICO
a.- Función Objetivo:
Min Z = 3X1 + 8X2
b.- Restricciones:
1)X1 + X2 >= 8
2)2X1 - 3X2 <= 0
3)X1 + 2X2 <= 30
4)3X1 - X2 >= 0
5)X1 <= 10

26. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 1
Restricción # 1: X1+ X2>= 8 se transforma en igualdad quedando: X1+
X2= 8, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:
X1+ X2= 8
(0)+X2= 8
(0)+X2= 8
X2= 8
Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

27. MÉTODO GRÁFICO
X1+ X2= 8
X1+8(0)= 8
X1= 8
Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 8 ; X1 = 8 y X2= 0

28. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 1
X1+ X2 >= 8
Puntos: X1= 0 ; X2= 8/ X1= 8 ; X2= 0

29. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 2
Restricción # 2: 2X1-3X2<= 0 se transforma en igualdad quedando: 2X1-
3X2= 0, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:
2X1-3X2= 0
(0)-3X2= 0
X2= 0
Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1
2X1-3X2= 0
2X1-3(0)= 0

30. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 2
2X1- 3X2 <= 0
Puntos: X1= 0 ; X2= 0/ X1= 0 ; X2= 0

31. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 3
Restricción # 3: X1+ 2X2<= 30 se transforma en igualdad quedando:
X1+ 2X2= 30, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:
X1+2X2= 30
(0)+2X2= 30
X2= 30 / 2
X2= 15
Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1
X1+2X2= 30

32. MÉTODO GRÁFICO
Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 15 ; X1 = 30 y X2= 0

33. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 3
X1+ 2X2 <= 30
Puntos: X1= 0 ; X2= 15/ X1= 30 ; X2= 0

34. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 4
Restricción # 4: 3X1-X2>=0 se transforma en igualdad quedando: 3X1-
X2=0, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:
3X1-X2= 0
(0)-X2= 0
X2= 0
Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1
3X1-X2= 0
3X1-(0)= 0

35. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 4
3X1 -X2 >= 0
Puntos: X1= 0 ; X2= 0/ X1= 0 ; X2= 0

36. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 5
Restricción # 5: X1<= 10 se transforma en igualdad quedando: X1= 10.
Por tanto X1 = 10 y X2 = 0

37. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 5
X1 <= 10
Puntos: X1= 10

38. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 6
Restricción # 6: X2>= 9 se transforma en igualdad quedando: X2= 9.
Por tanto X1 = 0 y X2 = 9

39. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 6
X2 >= 9
Puntos: X2= 9

40. MÉTODO GRÁFICO
A B
C
D
Puntos:
A= Inters. entre R4 y R6 ; B= Inters. entre R5 y R6; C= Inters. entre R3 y R5; D= Inters. entre R3 y R4

41. MÉTODO GRÁFICO
Punto A:
Restricción # 6: X2>= 9 transformándola en igualdad queda X2= 9 ,
ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 4 y
obtenemos X1
3X1- X2= 0
3X1- 9= 0
3X1= 9
X1= 9/ 3
X1= 3

42. MÉTODO GRÁFICO
A B
C
D
Puntos:
A= (3,9); B= Inters. entre R5 y R6; C= Inters. entre R3 y R5; D= Inters. entre R3 y R4

43. MÉTODO GRÁFICO
Punto B:
X1= 10 X2 =9
Punto C:
Restricción # 5: X1<= 10 transformándola en igualdad queda X1= 10
, ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 3 y
obtenemos X2
X1+ 2X2= 30
10+ 2X2= 30
2X2= 30-10
X = 20 2

44. MÉTODO GRÁFICO
A B
C
D
Puntos:
A= (3,9); B= (10,9); C= (10,10); D= Inters. entre R3 y R4

45. MÉTODO GRÁFICO
Punto D:
Restricción # 3: X1+ 2X2 <= 30 transformándola en igualdad queda
X1+ 2X2= 30 y Restricción 4: 3X1- X2 >= 0 transformándola en igualdad
queda 3X1- X2 = 0
X1+ 2X2= 30
3X1- X2 = 0
Multiplicando X1+ 2X2= 30 por -3 queda -3X1- 6X2= -90
-3X1- 6X2= -90
3X1- X2 = 0

46. MÉTODO GRÁFICO
- 7X2= -90
Despejando X2 ; queda X2= -90 / -7 por tanto el valor de X2 es 12,85;
sustituyendo este valor en 3X1- X2 = 0 queda
3X1- 12,85= 0
3X1= 12,85
X1= 12,85 / 3
X1= 4,28

47. MÉTODO GRÁFICO
A B
C
D
Puntos:
A= (3,9); B= (10,9); C= (10,10); D= (4,28; 12,85)

48. MÉTODO GRÁFICO
Ahora sustituimos los cuatro (4) puntos en la Función Objetivo y en
nuestro caso el punto factible más bajo es el punto óptimo y
solución del problema
Vértices Región
Factible
Z = 3X1 + 8X2 Valor
Obtenido
A= (3,9) Z=3(3)+8(9) 81
B= (10,9) Z=3(10)+8(9) 102
C= (10,10) Z=3(10)+8(10) 110
D= (4,28;12,85) Z=3(4,28)+8(12,85) 115,64

49. MÉTODO GRÁFICO
A B
C
D
Función Objetivo. Puntos Factibles y Óptimo:
X1= 3; X2= 9 haciendo que Z tenga un valor de 81

50. MÉTODO GRÁFICO
a.- Función Objetivo:
Max Z = 400X1 + 300X2
b.- Restricciones:
1)0,4X1 + 0,5X2 <= 20
2)0,2X2 <= 5
3)0,6X1 +0,3X2 <= 21
4)X1 , X2 >= 0

51. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 1
Restricción # 1: 0,4X1+ 0,5X2 <= 20 se transforma en igualdad
quedando: 0,4X1+ 0,5X2= 20, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:
0,4X1+ 0,5X2= 20
0,4(0)+0,5X2= 20
(0)+0,5X2= 20
X2= 20 / 0,5
X2= 40

52. MÉTODO GRÁFICO
0,4X1+ 0,5X2= 20
0,4X1+0,5(0)= 20
0,4X1= 20
X1= 20 / 0,4
X1= 50
Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 40 ; X1 = 50 y X2= 0

53. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 1
0,4X1+ 0,5X2 <= 20
Puntos: X1= 0 ; X2= 4/ X1= 5 ; X2= 0 (por efectos de la escala se dividió todos los valores

54. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 2
Restricción # 2: 0,2X2<= 5 se transforma en igualdad quedando: X2=
25.
Por tanto X1 = 0 y X2 = 25

55. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 2
0,2X2 <= 5
Puntos: X1= 0 ; X2= 2,5 (por efectos de la escala se dividió todos los valores por 10)

56. MÉTODO GRÁFICO
Cálculos para Graficar la Restricción # 3
Restricción # 1: 0,6X1+ 0,3X2 <= 21 se transforma en igualdad
quedando: 0,6X1+ 0,3X2= 21, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:
0,6X1+ 0,3X2= 21
0,6(0)+0,3X2= 21
(0)+0,3X2= 21
X2= 21 / 0,3
X2= 70

57. MÉTODO GRÁFICO
0,6X1+ 0,3X2= 21
0,6X1+0,3(0)= 21
0,6X1= 21
X1= 21 / 0,6
X1= 35
Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 70 ; X1 = 35 y X2= 0

58. MÉTODO GRÁFICO
Restricción # 3
0,6X1+0,3X2 <= 21
Puntos: X1= 0 ; X2= 7/ X1= 3.5 ; X2= 0 (por efectos de la escala se dividió todos los

59. MÉTODO GRÁFICO
Puntos:
A= (0,0) ; B= (0;3,5); C=Intersección entre la R1 y R3; D= Intersección entre R1 y R2 y E= (0;2.5)
BA
E D
C

60. MÉTODO GRÁFICO
Punto C:
Restricción # 1: 0,4X1+ 0,5X2 <= 20 se transforma en igualdad
quedando: 0,4X1+ 0,5X2= 20, despejando X1:
0,4X1+ 0,5X2= 20
0,4X1= 20- 0,5X2
X1=
Introduciendo el valor de X1 (obtenido en la Restricción # 1) en la
Restricción # 3 : 0,6X1+ 0,3X2<= 21 convirtiéndola primeramente en la
0,4
X5,020 2−

61. MÉTODO GRÁFICO
21
4,0
X12,0X3,012
21
4,0
)X3,0(4,0X3,012
21X3,0
0,4
X3,012
:ndoSimplifica
21X3,0)
4,0
X5,020
(6,0
22
22
2
2
2
2
=
+−
=
+−
=+
−
=+
−
20X
18,0
6,3
X
124,8X18,0
4,8X12,0X3,012
)21(4,0X12,0X3,012
2
2
2
22
22
=
−
−
=
−=−
=+−
=+−
X2= 2

62. MÉTODO GRÁFICO
Sustituyendo el valor obtenido de X2 en la Restricción # 1 se obtiene el
valor de X1
25X
40
480
X
0,4
10-20
X
0,4
0,5(20)-20
X
0,4
0,5X-20
X
1
1
1
1
2
1
=
=
=
=
=
X1= 2,5

63. MÉTODO GRÁFICO
Puntos:
A= (0,0) ; B= (0;3,5); C=(2,5;2) D= Intersección entre R1 y R2 y E= (0;2.5)
BA
E D
C

64. MÉTODO GRÁFICO
Punto D:
Restricción # 2: 0,2X2<=5 transformándola en igualdad queda X2=
25, ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 1 y
obtenemos X1
0,4X1+ 0,5X2= 20
0,4X1+ 0,5(25)= 20
0,4X1+ 12,5= 20
0,4X1= 20-12,5
0,4X1= 7,5

65. MÉTODO GRÁFICO
Puntos:
A= (0,0) ; B= (0;3,5); C=(2,5;2) D= (1,87; 2,5) y E= (0;2.5)
BA
E D
C

66. MÉTODO GRÁFICO
Ahora sustituimos los cinco (5) puntos en la Función Objetivo y en
nuestro caso el punto factible más alto es el punto óptimo y
solución del problema

67. MÉTODO GRÁFICO
BA
E
D
C
Función Objetivo. Puntos Factibles y Óptimo:
X1= 2,5; X2= 2 haciendo que Z tenga un valor de 1600