1. MATEMÁTICA I
Sesión 01: OPERACIONES COMBINADAS I
Profesor: Christiam Huertas
Conjuntos numéricos 2.2 Conjunto de números enteros negativos
La noción de número es tan antigua como el hombre Se denota por y está formado por los números
mismo, ya que son necesarios para resolver situacio- enteros negativos.
nes de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números
para contar una determinada cantidad de elementos * +
(existen siete notas musicales, 8 planetas, etc.), para
establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes
del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas
(1,7 metros, 64 kg, C, etc.), etc.
Los conjuntos numéricos son conjuntos infinitos que
tienen características específicas. Los más importantes Representación de los números enteros en la recta numérica
son:
3 Conjunto de los números racionales
1 Conjunto de los números naturales
Está constituido por todas las fracciones de enteros,
Surgieron de la necesidad del ser humano de contar
con denominador distinto de 0. Se le representa
objetos. Se denota mediante el símbolo y está
mediante el símbolo y se define como:
formado por:
* + { }
Los tres puntos al final, llamados puntos suspensivos,
indican que el conjunto continúa de la misma manera. Todo número racional se puede representar como un
número decimal finito o infinito periódico. Ello se
Es claro que la suma y el producto de dos números logra simplemente efectuando la división entre y .
naturales es un número natural. En símbolos:
Si entonces y Ejemplo 01 Ejemplos de números racionales
 es racional, pues 7 y 5 son números enteros.
Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números
naturales es un número natural. Por ejemplo:  es racional, pues y son enteros.
y , pero  es racional, pues y y son enteros.
Para solucionar el problema de la resta, se crean los  es la expresion decimal de un número
números negativos , , , entre otros, como racional porque y y son números
opuestos de los números naturales. Además se enteros.
incorpora el cero para dar solución a la resta de un  ̂ es la expresión decimal de un
número consigo mismo.
número racional, porque ̂ y y son
números enteros.
2 Conjunto de los números enteros
Se denota mediante el símbolo y está formado por:
* + 3.1 Número mixto
Es un número que tiene una parte entera y una parte
Este conjunto se subdivide a la vez: fraccionaria. Se expresa como y su fracción
equivalente es:
2.1 Conjunto de números enteros positivos
Se denota por y está formado por los números
enteros positivos.
* +
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2. Ejemplo 02 Ejemplos de números mixtos
( ) ( )
√
̂
4 Conjunto de los números irracionales
Está constituido por todos los números decimales √
infinitos y no periódicos. Se le representa mediante el
símbolo y se define como
{ } Sumas notables
1. Suma de primeros naturales
( )
Ejemplo 03 Ejemplos de números irracionales
 √ 2. Suma de primeros pares
 √ ( )
 3. Suma de primeros impares
 ( )
4. Suma de primeros cuadrados
( )( )
5 Conjunto de los números reales
Se le representa mediante el símbolo y está formado
por la unión de los números racionales y los números 5. Suma de primeros cubos
irracionales. Por consiguiente, cualquier número real ( )
debe ser un número racional o un número irracional. ( )
Ejemplo 05 Cálculo de sumas notables
Calcule el valor de las siguientes sumas.
a.
Diagrama de Venn - Euler de los
b.
conjuntos numéricos
c.
d.
Solución
( ) ( )
⏟ ( ) ( )
⏟
Observación
Vemos que y .
( )( )
Ejemplo 04 ( )( )
Coloque en los recuadros ( ) si el número pertenece a
los respectivos conjuntos.
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3. MATEMÁTICA I
Sesión 02: OPERACIONES COMBINADAS II
Profesor: Christiam Huertas
Operaciones básicas en los conjuntos Ejemplo 03 Suma de números enteros
numéricos a. (se conserva el signo)
b. (se conserva el signo)
1 Números naturales c. (queda el signo del mayor número)
d. (queda el signo del mayor número)
* + e. (queda el signo del mayor número)
f. (queda el signo del mayor número)
Es claro que la suma y el producto de dos números
naturales es un número natural. En símbolos:
Ejemplo 04 Resta de números enteros
Si entonces y Al comprar un televisor plasma de S/. 2809 a crédito, se da
un adelanto de S/. 748 y el resto se pagará a 6 meses,
¿cuánto es lo que falta para terminar de pagar la TV?
Ejemplo 01 Suma y producto de números naturales
Solución
a. ( )
( )
Se realiza una resta del costo del aparato y el adelanto
b.
para saber cuánto falta por pagar:
c. ( )
d. ( )
e. ya que: Por lo tanto, falta pagar S/. 2061.
Regla de los signos para el producto
La regla de los signos para el producto se puede
resumir en el siguiente cuadro.
Ejemplo 02 Operaciones en los naturales ( )( )
María se ha preparado durante toda su vida, ( )( )
invirtiendo 2 años en el nivel preescolar, 6 en ( )( )
primaria, 5 en secundaria, 1 en la pre, 5 más en la ( )( )
universidad (estudiando Educación) y finalmente 2 en
un posgrado (Gestión de la Educación). ¿Durante
cuantos años ha estado estudiando María? Ejemplo 05 Producto de números enteros
Solución a. ( )( )
Para determinar cuántos años ha estado estudiando b. ( ) ( )( )
María se realiza la suma de los años estudiados: c. ( ) ( )( )
d. ( )( )
Por consiguiente, María ha estudiado 21 años.
Ejemplo 06 Multiplicación de números enteros
Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números El tren eléctrico de una cierta ciudad se conforma de 9
naturales es un número natural. Por ejemplo: vagones, cada uno tiene 8 puertas y cada una de estas,
2 hojas corredizas. Si se desean cambiar las hojas de
y , pero
los 120 trenes existentes en la ciudad, ¿cuántas hojas
se cambiaran?
2 Números enteros
Solución
* + Para obtener el número de hojas en total, se multiplica
el número de trenes, el número de vagones, el número
de puertas y el número de hojas:
Regla de los signos para la suma ( )( )( )( )
1. Signos iguales se suman y se conserva el signo.
Entonces, el número de hojas a cambiar es 17280.
2. Signos diferentes se restan y se conserva el signo
del número mayor.
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4. Regla de los signos para la división Ejemplo 09 Suma y resta de fracciones (heterogéneas)
La regla de los signos para la división se puede
resumir en el siguiente cuadro.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ejemplo 07 División de números enteros
Ejemplo 10 Multiplicación de fracciones
Ejemplo 11 División de fracciones
3 Números racionales
{ }
Operaciones con fracciones
Propiedad Descripción
Cuando se suman fracciones con el mismo
denominador se suman los numeradores.
Cuando se suman fracciones con denominado-
res diferentes, se busca un denominador co-
mún. Luego, se suman todos los denominadores
Cuando se multiplican fracciones, se multiplican
los numeradores y los denominadores. Ejemplo 12
Cuando se dividen fracciones, se invierte el
divisor y se multiplica.
Cuando se dividen fracciones, se multiplican los Solución
extremos y este, se divide entre el producto de Aplicamos la propiedad 6 (productos cruzados):
los medios. ( ) ( ) Asegúrese de usar paréntesis
Propiedad distributiva
Multiplicación cruzada.
Sumar 6
Restar 5m
Dividir entre -2
Ejemplo 08 Suma y resta de fracciones (homogéneas)
4 Números irracionales
{√ √ √ √ }
5 Números reales
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5. MATEMÁTICA I
Sesión 03: OPERACIONES COMBINADAS III
Profesor: Christiam Huertas
Operaciones básicas en los conjuntos Ejemplo 4 Orden de las operaciones
numéricos
Orden de las operaciones
Debes tener presente que existe una prioridad en el Solución
desarrollo de las operaciones, es decir; hay operacio-
nes que deben realizarse antes que otras para obtener
el resultado correcto. Este orden es el siguiente:
Orden de las operaciones
1. Se realizan las potencias o raíces.
2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de
izquierda a derecha.
3. Se realizan las adiciones y sustracciones de
Por lo tanto, .
izquierda a derecha.
4. Si en la expresión aparecen signos de colección,
deberá operarse en la parte interna en primera
instancia, siguiendo las reglas anteriores. Ejemplo 5 Orden de las operaciones
Ejemplo 1 Orden de las operaciones
Simplifique
Solución ( )
⏟ ⏟ Solución
Primero operamos dentro del paréntesis
Ejemplo 2 Orden de las operaciones
Simplifique
Solución
( )
⏟ ( )
( )
Ejemplo 3 Orden de las operaciones
Halle el valor de ( ) ( )
Solución
Primero debemos realizar el paréntesis (la potencia, luego la
( )
multiplicación y después la resta). Luego la multiplicación por 4 y la
división 26 2. Posteriormente terminamos con las sumas y restas:
( )
( )
( )
( )
Por lo tanto
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6. Interpretación de las fracciones  Lo que se gasta en total es de lo que se
Una fracción puede describir una parte de un conjunto
tiene, por lo tanto, lo que queda es de lo que se
de cosas, por ejemplo:
tenía inicialmente.
 Si lo que se tiene es , lo que se gasta en total es
de lo que se tiene, por lo tanto, lo que
queda es
3 de basquetbol 2 de futbol
En la figura anterior hay cinco balones.
Tres balones son de basquetbol, por lo que: Ejemplo 9 Interpretación de las fracciones
Se tiene cierta cantidad, se gasta la tercera parte en
víveres y los del resto en pasajes, ¿cuánto queda?
Solución
Así que de los balones son de basquetbol.
 Lo que se gasta en víveres es , lo que queda son
También de los balones son de futbol.
los de lo que se tiene. Luego se gasta los del
Sumando las partes se obtiene:
resto, entonces, lo que queda son los ( ) de
( )
lo que se tiene.
 Si lo que se tiene es , lo que se gasta en víveres es
Interpretación de textos , entonces, lo que queda es
Al enfrentarse a problemas de tipo aritmético o Se gasta luego ( ) , entonces, lo que queda
algebraico, es cuando cobra importancia el saber
es
interpretar y expresar tales problemas.
Ejemplo 6 Interpretación de las fracciones Ejemplo 10
Si se ha gastado la mitad de lo que se tiene, ¿cuánto De un saco de azúcar de 50 kilogramos se venden 15
queda? kilogramos. ¿Qué parte de la cantidad inicial falta
Solución vender?
 Si se gasta la mitad, lo que queda es la otra mitad. Solución
 Si lo que se tiene es , al gastar , lo que queda es Falta vender:
En fracción sería:
Ejemplo 7 Interpretación de las fracciones
Si se gana un tercio de lo que se tiene, ¿cuánto se Ejemplo 11
tiene ahora?
Miguel perdió de su dinero y presto ¿Qué parte
Solución
de su dinero le queda?
 Si se gana de lo que se tiene, lo que se tiene
Solución
ahora es de lo que se tenía. Se suma la porción que perdió con la que presto y el
 Si lo que se tiene es , al ganar , lo que se tiene resultado se resta a la unidad que representa lo que
tenía.
ahora es
( )
Ejemplo 8 Interpretación de las fracciones ( )
Si se tiene cierta cantidad, se gasta la tercera parte en Por lo tanto, a Miguel le sobran de su dinero.
víveres y los en pasajes, ¿cuánto queda?
Solución
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7. MATEMÁTICA I
Sesión 04: PLANTEO DE ECUACIONES I
Profesor: Christiam Huertas
Planteo de ecuaciones Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:
En la descripción verbal de un problema, por lo
general, existen palabras y frases que son clave para donde y son números reales ( ) y es la
traducirlo a expresiones matemáticas que involucran variable.
suma, resta, multiplicación y división.
Para hallar la solución de una ecuación lineal, solo se
1.1 Ecuación despeja la variable.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
matemáticas donde hay al menos una variable Ejemplo 04
(incógnita). Resuelva la ecuación .
Solución
Ejemplo 01 Ejemplos de ecuaciones
Resto 9
Multiplico por 1/2
Los números que hacen de una ecuación una
proposición verdadera se llaman soluciones de la Luego, es la solución de la ecuación ;y
ecuación. El conjunto solución de una ecuación es el por tanto, su conjunto solución es { }.
conjunto formado por todas las soluciones de la
ecuación.
Ejemplo 05
Ejemplo 02 Solución y conjunto solución de una ecuación. Resuelva la ecuación ( ) .
Solución
Conjunto
Ecuación Solución(es) Operamos en la ecuación
solución
* +
* +
* +
* + * +
Dos o más ecuaciones con las mismas soluciones son
Si en las ecuaciones aparecen fracciones o decimales
llamadas ecuaciones equivalentes. Por lo general las
como coeficientes, se recomienda multiplicar ambos
ecuaciones se resuelven comenzando con la ecuación
lados por el mínimo común múltiplo de los
dada y produciendo una serie de ecuaciones
denominadores de todas las fracciones. Esto produce
equivalentes más simples.
una ecuación equivalente con coeficientes enteros.
Ejemplo 03 Ejemplo de ecuaciones equivalentes
Ejemplo 06
Ecuaciones Conjunto solución
* +
* + Solución
* + Multiplicamos en ambos lados por ( ) .
( ) ( )
1.2 Ecuaciones lineales
Operamos en la ecuación
El tipo más sencillo de ecuación es la ecuación lineal,
( )
o ecuación de primer grado.
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8. A continuación, resolvemos a modo de ejercicio la
traducción de ciertos enunciados dados en forma
verbal a su forma simbólica (matemática).
* + Traducción de palabras a expresiones
matemáticas
Expresión
Expresión verbal
matemática
1.3 Planteo de ecuaciones
Suma
La suma de un número con 7
Sugerencias para plantear una ecuación 24 sumado a un número
1. Leer cuidadosamente el texto del problema hasta Un número incrementado en 5
comprender de que se trata. La suma de dos números
2. Ubicar los datos y la pregunta.
3. Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a
trabajar. Resta
4. Relacionar los datos con las variables para 12 menos un número
plantear una o más ecuaciones que al resolver nos Un número disminuido en 12
den la solución del problema. La diferencia de dos números
El exceso de un número sobre 3
Plantear una ecuación
Multiplicación
 Lenguaje matemático
Lenguaje  Leer 16 veces un número
(ecuación)
común  Interpretar Un número multiplicado por 5
 Resolución de la
(enunciado)  Simbolizar
ecuación de un número
El doble de un número
El producto de dos números
Traduciendo a expresiones matemáticas
Operación Palabras claves Observación
Suma Para el planteo de una ecuación es importante tener en
Adición Añadir cuenta “la coma: , ”.
( ) Aumentado por
Más que Ejemplo 07
Resta  ⏟ ⏟
Diferencia
Sustracción Menos  ⏟ ⏟
( ) Menor que
( )
Disminuido por
Quitado de
División
Multiplicar
El cociente de 8 y un número ( )
Multiplicación Producto
( ) Veces Un número dividido entre 13
De La razón de dos números ( )
Dividir (o el cociente de dos números)
División Dividido por
( ) Cociente
Razón
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9. MATEMÁTICA I
Sesión 05: PLANTEO DE ECUACIONES II
Profesor: Christiam Huertas
Planteo de ecuaciones Solución
Sea el número: . Entonces,
Sugerencias para plantear una ecuación Su mitad: Su cuarta: Su octava:
1. Leer cuidadosamente el texto del problema hasta Por dato:
comprender de que se trata.
2. Ubicar los datos y la pregunta.
3. Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a Multiplicamos por 8 ( )
trabajar.
4. Relacionar los datos con las variables para
plantear una o más ecuaciones que al resolver nos
den la solución del problema.
Por lo tanto, el número es 8.
Plantear una ecuación
Ejemplo 04
 Lenguaje matemático Iris tiene S/. 20 más que Ana, y entre ambas tienen S/.
Lenguaje  Leer
(ecuación) 40. ¿Cuánto dinero tiene Ana?
común  Interpretar
 Resolución de la
(enunciado)  Simbolizar Solución
ecuación
Supongamos que Ana tenga soles, entonces Iris
debe tener ( ) soles. Pero ambas tienen S/. 40.
es decir,
Ejercicios de aplicación ⏟ ⏟
( )
Ejemplo 01
Halle un número tal que aumentado en 10 resulta 23.
Solución
Por lo tanto, Ana tiene S/. 10
Sea el número. Por dato:
Ejemplo 05
En una reunión hay 40 personas, cuando se retiran 8
Por lo tanto, el número es . varones y 6 damas, la diferencia entre ellos y ellas es
10. ¿Cuántos varones quedaron?
Solución
Ejemplo 02
Nos ayudamos de una tabla para plantear el problema:
El triple de un número disminuido en 12 da 15. ¿Cuál
es el número? Varones Mujeres Dato
Solución Inicio
Sea el número. Por dato: Después
Además, por dato:
( )
Por lo tanto, el número es 9.
También
Sumamos
Ejemplo 03
(Inicio)
Halle un número, donde la suma de su mitad, cuarta y Quedaron: varones.
octava parte, resulta dicho número disminuido en una
unidad.
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10. Ejemplo 06 Ejemplo 09
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia Para ganar S/. 180 en la rifa de un televisor, se
de cuadrados sea igual a 9. hicieron 120 boletos, vendiéndose únicamente 75
Solución boletos y originándose así una pérdida de S/. 45.
¿Cuál es el valor del televisor?
Sean y ( ) los números consecutivos. Por dato
se sabe que: Solución
( ) Sea el precio de cada boleto: soles.
Operamos para hallar el valor de : Sea el precio del televisor: soles.
Se sabe que:
Se hizo 120 boletos para ganar 180 soles, entonces:
Por lo tanto, los números son 4 y 5. ()
Pero solo se vendió 75 boletos y se perdió 45 soles,
Ejemplo 07 entonces:
La edad de Jorge es el triple de la edad de su hijo ( )
Gerardo. La edad que tenía Jorge hace cinco años era Despejamos :
el doble de la edad de Gerardo dentro de 10 años. ( )
¿Cuáles son las edades actuales de Jorge y Gerardo?
Reemplazamos en (I)
Solución
Supongamos que es la edad de Gerardo. La primera
condición indica que Jorge tiene una edad que es el
triple de Gerardo; es decir, la edad de Jorge es . Reemplazamos en (III)
Luego, hace 5 años la edad de Jorge es ( ) y la
( )
edad de Gerardo dentro de 10 años es ( ). La
Por lo tanto, el costo de la TV es de S/. 420
segunda condición del problema se puede escribir
como:
( ) Ejemplo 10
En una fiesta hay tantos caballeros bailando como
damas sin bailar y ningún caballero sin bailar; una vez
que se retiran 70 damas y 20 caballeros y todos salen
Por tanto, Gerardo tiene 25 años y Jorge 75. a bailar, nadie se quedaría sin bailar. ¿Cuántas
personas había inicialmente?
Solución
Ejemplo 08
Nos ayudamos de una tabla para plantear el problema:
Gladis, José y Alex ganan entre los tres S/. 1200. José
ganó S/. 200 menos que Gladis y Alex ganó el doble Varones Mujeres
que José. Halle lo que ganó cada uno de ellos. Bailan
Solución No bailan
Sea S/. lo que gano Gladis, entonces por dato: Total
Lo que gana José es: S/. ( )
Lo que gana Alex es: S/. ( ) Luego, se retiran 20 varones y 70 mujeres, entonces
quedan
También, entre los tres ganan S/. 1200. Es decir:
Varones Mujeres
( ) ( )
Pero, por dato nadie se queda sin bailar, entonces
Por lo tanto, el número de personas que había
Por lo tanto, Gladis gana S/. 450, José gana S/. 250 y
inicialmente es ( ) .
Alex gana S/. 500.
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