Distribución Normal, teoría y ejercicios.

1. Estadística y
Probabilidad II
Distribución Normal
Ciclo escolar 2013-2014

2. Distribución Normal
• Es una distribución de probabilidad de variable aleatoria continua,
propuesta por Abraham de Moivre en 1733. También recibe el
nombre de Distribución de Gauss o Distribución Gaussiana.
• La importancia de esta distribución radica en que permite modelar
numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
• Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales
que siguen el modelo de la normal son:
– caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
– caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
– caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos;
– caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
– nivel de ruido en telecomunicaciones;
– errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
– etc.
• Incluso otras distribuciones de probabilidad (sean continuas o
discretas) que conllevan una gran cantidad de datos tienen una gran
semejanza a la Distribución Normal.

3. Distribución Normal
𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 =
1
𝜎 2 𝜋
𝑒
− 𝑥−𝜇 2
2𝜎2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Donde
𝝁: es la media aritmética de los datos
𝝈: es la desviación estándar o típica de los datos

4. Distribución Normal
• La función de densidad , es la expresión en términos de la ecuación
matemática llamada Curva de Gauss o Campana de Gauss.
𝑓(𝑥) =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
− 𝑥−𝜇 2
2𝜎2
• Propiedades
– Es simétrica respecto a la media 𝜇
– Tiene un máximo en la media 𝜇
– Crece hasta la media 𝜇 y decrece
a partir de ella.
– En los puntos 𝜇 − 𝜎 y 𝜇 + 𝜎
presenta puntos de inflexión.
– El eje de las abscisas es una
asíntota de la curva.
– Si 𝑋 es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media 𝜇 y
desviación típica 𝜎, se puede transformar en una variable aleatoria 𝑍 que
sigue una distribución normal con media 0 y desviación típica 1 (llamada
Distribución Normal Estándar) mediante el cambio de variable siguiente:
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
(Veremos muchos ejemplos mas adelante)

5. Ejemplos de Problemas de Distribución
Normal (los resolveremos después)
• En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio
sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°.
Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas
entre 21° y 27°.
• En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar
90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos
30 tengan teléfono. (Se trata en realidad de un problema de distribución
binomial con 𝑛 = 90, 𝑝 = 1/3 y 𝑥 ≥ 30. Pero como 𝑛 es muy grande, se
vuelve impráctico realizar este problema usando la formula binomial, por
eso se usa una aproximación usando la distribución normal)
• Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal
con media 100 y desviación típica 15
– Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95
y 110
– En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que
tengan un coeficiente superior a 125?

6. Distribución Normal Estándar
• La función de Distribución Normal Estándar es
una función de Distribución Normal con media 0
y desviación típica 1.
• Por la última propiedad mencionada hace dos
diapositivas, cualquier problema de Distribución
Normal se puede transformar en un problema de
Distribución Normal Estándar, por lo que resulta
útil (además de muy practico) aprender a resolver
primero los problemas que son de Distribución
Normal Estándar, empezando por aprender a usar
las tablas de Distribución Normal Estándar.

7. Tablas de Distribución Normal
Estándar
• Existen distintos tipos de Tablas de
Distribución Normal Estándar, y cada
una de ellas se utiliza de forma
distinta. Aquí aprenderemos a usar el
que se encuentra en la esquina
superior izquierda, pero lo mas
recomendable es aprender a
identificar cada una de ellas y
entender como se ocupan para
cualquier situación que se presente.

8. Tablas de Distribución Normal
Estándar
• Comúnmente cada Tabla de Distribución Normal
Estándar esta representada por un icono que nos
ayuda a interpretar los valores que tiene la tabla.
• 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧0
• 𝑃 −∞ < 𝑧 ≤ 𝑧0 (𝑧0 ≥ 0)
• 𝑃 −∞ < 𝑧 ≤ 𝑧0 (𝑧0 ≤ 0)

9. Uso de la Tabla de Distribución Normal
Estándar (Actividad)
Calcule las siguientes probabilidades usando la Tabla de Distribución
Normal Estándar
• 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.22 =
• 𝑃 −0.25 ≤ 𝑧 ≤ 1.15 =
• 𝑃 0.46 ≤ 𝑧 ≤ 1.78 =
• 𝑃 0.22 ≤ 𝑧 ≤ 1.83 =
• 𝑃 −0.22 ≤ 𝑧 ≤ 1.12 =
• 𝑃 0.22 ≤ 𝑧 < ∞ =
• 𝑃 −1.13 ≤ 𝑧 ≤ 0 =
• 𝑃 −2.20 ≤ 𝑧 ≤ 0.94 =
• 𝑃 −1.38 ≤ 𝑧 ≤ −0.44 =
• 𝑃 0.22 ≤ 𝑧 ≤ 1.12 =
• 𝑃 0.37 ≤ 𝑧 ≤ 0.97 =
• 𝑃 −∞ < 𝑧 ≤ 0.97 =

10. Distribución Normal no Estándar
(Formula de Tipificación)
• Suponga que 𝑋 es una Variable Aleatoria que
sigue una distribución normal con media 𝜇 = 8 y
desviación típica 𝜎 = 3, calcule las siguientes
probabilidades
o 𝑃 6 ≤ 𝑥 ≤ 11 =
o 𝑃 𝑥 ≥ 9.5 =
o 𝑃(𝑥 ≤ 9) =



X
Z

11. Formula de Tipificación
Si X es una variable Aleatoria que sigue un distribución estándar con
las características que se mencionan, calcule los siguientes valores
• 𝜇 = 1.25, 𝜎 = 0.22
o 𝑃 1 ≤ x ≤ 1.5 =
o 𝑃 𝑥 ≤ 1.2 =
o 𝑃 𝑥 ≥ 1.1 =
• 𝜇 = 2533, 𝜎 = 837
o 𝑃 100 ≤ x ≤ 3000 =
o 𝑃 𝑥 ≤ 3000 =
o 𝑃 𝑥 ≥ 2700 =

12. Problemas de Distribución Normal que
involucran Valores Discretos
• La distribución normal es una distribución de variable
aleatoria continua, por lo que los símbolos < y ≤ son
similares e indistinguibles.
• Pero cuando se trabaja con variables aleatorias discretas no
es así. Por lo que conviene que en el intervalo de nuestro
problema a la cota inferior de nuestra variable aleatoria se
le disminuya en la mitad del intervalo mas pequeño que se
pueda tomar, y a la cota superior se le aumente en esa
misma cantidad también. Si algunas de las cotas es +∞ o
– ∞ esto es irrelevante.
• Lo mismo ocurre cuando mencionamos la precisión de un
instrumento de medición tomando en cuenta la unidad
mas pequeña que se puede medir.

13. Problemas de Distribución Normal que
involucran Valores Discretos
• Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue
una ley normal con media 100 y desviación típica 15
– Determinar el porcentaje de población que obtendría un
coeficiente entre 95 y 110
• Aquí nos pide calcular la probabilidad de que 95 ≤ 𝑥 ≤ 110. Como la
medida mas pequeña para el test de coeficiente es un entero,
reducimos en 0.5 la cota inferior y aumentamos en 0.5 la cota
superior para obtener 𝑃 94.5 ≤ 𝑥 ≤ 110.5 .
– En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se
esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
• En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el
mes de junio sigue una distribución normal, con media 23°
y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes
en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

14. Actividad
• Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de
250 000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al
trabajo es de 24.3 min. El tiempo de viaje más largo
pertenece a New York, donde el tiempo medio es de 38.3
minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de
viaje en la ciudad de New York, tiene una distribución de
probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5
minutos.
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de New York
consumen menos de 30 minutos?
b) ¿Qué porcentaje de viaje consumen entre 30 y 35 minutos?
c) ¿Qué porcentaje de viaje consumen entre 30 y 40 minutos?
d) ¿Qué porcentaje de viaje consumen más de 40 minutos?

15. Actividad
• Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para
contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6.5 y
varianza 4.
a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.
b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5
puntos.
c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y
7.5?
• Analizadas 240 determinaciones de colesterol en sangre, se observó
que se distribuían normalmente con media 100 y desviación típica 20.
a) Calcule la probabilidad de que una determinación sea inferior a 94.
b) ¿Qué proporción de determinaciones tienen valores comprendidos
entre 105 y 130?.
c) ¿Cuántas determinaciones fueron superiores a 138?.
• Los 460 alumnos de un centro tienen 156 cm. de estatura media con
una varianza de 81 cm.
a) Determine el porcentaje de alumnos que miden más de 160 cm.
b) ¿Cuántos alumnos miden entre 140 y 150 cm.?