teoría completa de análisis combinatorio

1. José Antonio
Sulca Minchán

2. EL ARTE DE CONTAR
“La combinatoria trata, ante
todo, de contar el número de
maneras en que unos objetos
dados pueden organizarse de
una determinada forma.”
Introducción a la combinatoria
Ian Anderson

3. PAPIRO DE RHIN
En 1858 el escocés Henry Rhind compró en
Luxor (Egipto) un papiro que actualmente se
conoce como papiro Rhind, encontrado en
las ruinas de un antiguo edificio de Tebas.
Consta de 87 problemas el cual nos da
información sobre cuestiones aritméticas
básicas, fracciones, cálculo de áreas,
volúmenes, progresiones, repartos
proporcionales, reglas de tres, ecuaciones
El papiro mide unos 6 m de lineales y trigonometría básica. El problema
largo y 33 cm de ancho. 79 es de combinatoria.
Representa la mejor fuente de
información sobre matemática Veamos una versión “moderna”...
egipcia antigua conocida.

4. PROBLEMA 79
Según iba a St. Ives
me crucé con un hombre con 7 esposas.
Cada esposa tenía 7 sacos,
cada saco tenía 7 gatos,
cada gato tenía 7 gatitos.
Gatitos, gatos, sacos y esposas.
¿Cuántos iban a St. Ives?
St. Ives Mother Goose
(La mamá oca de San Ives)

5. FACTORIAL Y COMBINATORIA

6. FACTORIAL DE UN NÚMERO
Dado un número natural n, el factorial de n, simbolizado por n! es:
n! n n 1!
Por convención: 0! 1
TEN EN CUENTA QUE: n! también se puede expresar como
n! n n 1 ... 2 1
Ejemplos:
1! 1  4! 4 3 2 1 24
2! 2 1 2  5! 5 4 3 2 1 120
3! 3 2 1 6  6! 6 5 4 3 2 1 720

7. ACTIVIDAD
Realiza las siguientes operaciones
a. 10! 9! c. 4! 5!
b. 10 9! d . 4 5!

9. PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si un evento A ocurre de m maneras diferentes, y otro evento B ocurre de n
maneras diferentes, y no es posible realizar ambos eventos de forma
simultanea o uno seguido del otro, entonces el evento se podrá realizar de
m + n maneras diferentes.
EJEMPLO Si Paola dese viajar de Lima a Piura y tiene a su disposición 4
líneas aéreas y 5 líneas terrestres, ¿de cuántas maneras
diferentes puede realizar su viaje?
4 líneas 4 + 5 = 9
opciones opciones opciones
Paola tiene 9 maneras
5 líneas
diferentes

10. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si un evento A ocurre de m maneras diferentes, y otro evento B ocurre de n
maneras diferentes (pudiendo realizar los eventos de forma simultánea o
consecutiva), entonces el evento se podrá realizar de m × n maneras
diferentes.
EJEMPLO Si se lanza un dado y una moneda simultáneamente,
¿cuántos resultados diferentes se obtienen?
1
2 C Se obtienen 12
3
resultados diferentes
4
5 S
6
6 x 2 = 12

12. TÉCNICAS
Estas nos ayudan de forma práctica a contar todas las maneras posibles en
que ocurre un evento determinado.
Entre ellas tenemos:
 Permutaciones:
• Permutación lineal
• Permutación circular
• Permutación con elementos repetidos
 Combinaciones:
• Combinación simple
• Combinación con elementos repetidos

13. PERMUTACIÓN LINEAL
Son los ordenamientos que se pueden realizar con elementos
diferentes en una fila o línea recta.
Si n objetos diferentes se deben de ordenar en fila tomados en
grupo de r objetos (r ≤ n), se denotará y calculará así :
n n!
P r
(n r )!

14. Ejemplo: PERMUTACIÓN LINEAL
¿De cuántas maneras diferentes se puede ordenar las letras
A, B, C, D?
Representémosla:
Luego:
P4 4! 4 3 2 1 24

15. PERMUTACIÓN CIRCULAR
Son los ordenamientos que se pueden realizar con objetos
diferentes que se realizan alrededor de un círculo.
Si n objetos diferentes se deben de ordenar circularmente, se
denotará y calculará así :
P c (n ) (n 1)!

16. Ejemplo: PERMUTACIÓN LINEAL
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 personas alrededor de
una mesa circular con espacio para 4 personas?
Persona fija
Representémosla:
Se tiene:
Pc (4) 3! 3 2 1 6

17. PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS
REPETIDOS
Es un ordenamiento lineal cuyos elementos no son todos
distintos entre sí, es decir, hay elementos que se repiten.
Si se tiene n objetos y se ordenan todos a la vez en donde hay
un primer grupo de n1 objetos iguales entre sí de un primer tipo,
n2 objetos iguales entre sí de un segundo tipo, y así
sucesivamente hasta nk objetos iguales entre sí de un k-ésimo
tipo; entonces el número de permutaciones se denotará y
calculará así :
n n!
P n1;n2 ;...;nk
n1 ! n2 ! ... nk !
donde : n1 n2 ... nk n

18. Ejemplo: PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS
REPETIDOS
¿De cuántas formas se pueden ordenar en una fila 9 bolas de
las cuales 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?
Se puede observar que hay bolas que son idénticas y deben ser
ordenadas de forma lineal entonces, el números de formas en
que se puedan ordenar será:
Luego
9 9!
P 4,3,2 1260
4! 3! 2!

19. COMBINACIÓN SIMPLE
Son los diferentes grupos que se pueden formar con los
elementos de un conjunto, considerando que en los grupos los
elementos son diferentes.
Si se dispone de n elementos diferentes y se les quiere
combinar (agrupar) de r en r, el número de combinaciones se
denotará y calculará así :
n n!
C r
(n r )! r ! donde : 0 r n

20. Ejemplo: COMBINACIÓN SIMPLE
De un grupo de 10 personas se desea conformar una comisión
de 3 integrantes, ¿de cuántas maneras diferentes se puede
formar dicha comisión?
Son 10 personas y se deben formar grupos de 3 (sin importar el
orden en que son seleccionados)
Luego:
9 10!
C 3 120
7! 3!

21. COMBINACIÓN CON REPETICIÓN
Son los diferentes grupos que se pueden formar con una parte
o todos los elementos de un conjunto, pero considerando que
hay elementos que son iguales.
Si tenemos r elementos diferentes y queremos formar grupos
de n elementos, se denotará y calculará así :
r r n 1 (r n 1)!
CR n C n
(r 1)! n !

22. Ejemplo: COMBINACIÓN CON REPETICIÓN
¿De cuántas formas diferentes se puede comprar 7 pliegos de
papel lustre, si los hay de 3 colores distintos?
Se tienen 3 colores diferentes, pero se debe formar grupos de 7
Luego:
3 9!
CR 7 36
2! 7!