GUÍA DE APRENDIZAJE No. 4
                                            ÁREA DE MATEMÁTICAS – GRADO NOVENO
                 ...
Números, números, números…

¿Por qué las margaritas tienen generalmente 34, 55 u 89 pétalos?
¿Por qué las piñas tienen 8 d...
sus bordes, y el lugar de las hojas en un tallo. Aún más, todos estos ordenamientos siguen siendo eficaces a medida que la...
Además puedes hacer uso de las estrategias sugeridas en las anteriores guías de aprendizaje (guías de aprendizaje No 1 y 2...
MATEMÁTICA
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ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
En todas las actividades que desarrollamos diariamente encontramos facilidades y dificultades, a...
Indicador 403: Reflexión sobre el logro de los desempeños:                Con respecto a las estrategias de aprendizaje:
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9. GuíA No. 4 FuncióN Exponencial Y LogaríTmica Iv

  1. 1. GUÍA DE APRENDIZAJE No. 4 ÁREA DE MATEMÁTICAS – GRADO NOVENO Colegio Nombre del Estudiante: Curso DD MM AA 2009 Asignatura: Matemática – Geometría U.E.M. Período: Cuarto Administrador (es) de Programa: Tema: Sucesiones y Series, Función Exponencial y Logarítmica. – Teoremas Relaciona-  Juan Andrés Galindo Cepeda dos con la Circunferencia.  Nidia Stella Martínez Melo TIEMPO: 14 UNIDADES PARA MATEMÁTICA 7 UNIDADES PARA GEOMETRÍA (U.E.M.) INDICADORES DE LOGRO COMPETENCIA: INDICADOR DE LOGRO DESEMPEÑOS  Encontrar el término general de una sucesión dada.  Reconocer una progresión aritmética, geométrica, sus propiedades y la forma para en- contrar un término cualquiera, al igual que la suma de los términos. 401Razonamiento y Desarrollo de Procedimientos:  Reconocer una función exponencial, logarítmica, su gráfica, características y componen- Desarrolla procedimientos propios del es- tes principales. tudio de la sucesiones, series y las funcio-  Reconocer una función exponencial, logarítmica, su gráfica, características y componen- nes exponenciales y logarítmicas, argumen- tes principales.  Deducir y aplicar el concepto de logaritmo (propiedades) en la solución de ecuaciones tando la razón de los pasos dados. MATEMÁTICA logarítmicas y problemas relacionados.  Solucionar ecuaciones en las que se utilicen conceptos de función exponencial o lo- garítmica.  Representar los diversos tipos de función y analizar el comportamiento de las variables. 402 Resolución de Problemas:  Reconocer patrones de sucesiones y series por medio de gráficas. Soluciona problemas de contextos matemá-  Identificar fenómenos en su entorno que pueden modelarse mediante progresiones ticos o de la realidad mediante modelos aritméticas y geométricas.  Solucionar problemas utilizando los conceptos de sucesiones, series, progresiones e relacionados con los conceptos de sucesión, interés simple o compuesto. serie, función exponencial y función lo-  Utilizar creativamente una calculadora científica o graficadora para llevar a cabo expe- garítmica. rimentos, probar conjeturas y resolver problemas.  Reconocer los elementos y teoremas básicos de la circunferencia.  Identificar los teoremas que describen las relaciones entre ángulos inscritos y centrales 403 Comunicación Matemática: GEOMETRÍA de una circunferencia. Realiza procesos de explicación, verificación  Utilizar los teoremas de la circunferencia y sus distintos elementos en la solución de y demostración de proposiciones o teore- ejercicios relacionados. mas matemáticos referidos a la circunfe-  Verificar teoremas o propiedades geométricas utilizando lápiz y papel o mediante el programa Cabri. rencia.  Escribir la explicación de la demostración dada para un teorema.  Demostrar teoremas relacionados con la circunferencia.  Representar mediante flujogramas los procedimientos utilizados para resolver un ejer- AUTONOMÍA Estrategias de aprendizaje: cicio problema. Identifica, se apropia y evalúa estrategias de  Elaborar conjeturas y verificarlas o refutarlas mediante el uso de los programa Cabri o aprendizaje para potenciar la construcción Derive. de su conocimiento.  Organizar su tiempo para entregar con calidad y cumplimiento los trabajos propuestos.  Participar de forma activa y responsable en el trabajo individual, de grupo y extraclase. ACTIVIDAD PREVIA: El siguiente texto, extraído de http://www.explora.cl/otros/metro/fibonacci.html es un buen abrebocas para los temas a desarro- llar en este cuarto periodo. Ya en el tercer periodo hablábamos del número de oro y la sucesión de Fibonacci, profundicemos este tema realizando la lectura de inducción propuesta. Aprobado por: COORDINADOR DE ÁREA V2 de 24/09/2009 Página 1 de 7
  2. 2. Números, números, números… ¿Por qué las margaritas tienen generalmente 34, 55 u 89 pétalos? ¿Por qué las piñas tienen 8 diagonales en un sentido y 13 en el otro? ¿Por qué en el girasol de la foto (Tomada de: http://www.gran-angular.net/fractales-y-series-de-fibonacci-en-la- naturaleza/2008/09/11/) se pueden contar 21 espirales en un sen- tido y 34 en el otro? Todos los números arriba mencionados forman parte de la sucesión de Fibonacci, llamada así en honor al matemático italiano que la estudió por primera vez en 1202. La sucesión de Fibonacci se obtiene de la siguiente manera: an = an - 1 + an - 2 para n >= 3 En otras palabras, cada término es igual a la suma de los dos anteriores: 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5; 13=5+8=; 21=8+13... Los números de Fibonacci son, por tanto: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584... Los números de Fibonacci poseen varias propiedades. Quizás una de las más curiosas, es que el cociente de dos números conse- cutivos de la serie se aproxima al número de oro. Esto es: an+1/an tiende a (1 + raíz cuadrada de 5)/2 ¿Un número... dorado? Diferencia en valor Cociente absoluto con phi El número de oro se conoce también como "razón dorada", "sección áurea", "razón áurea" y "divina proporción", como la a2 / a1 =1 0,61803 ... llamaron los renacentistas. Tiene un valor de (1+ raíz de5)/2, es decir, 1.61803, y se nombra con la letra griega Phi. El núme- a3 / a2 = 2 / 1 = 2 0,38196 ... ro áureo fascinó como ideal de belleza a griegos y renacentis- a4 / a3 = 3 / 2 = 1,5 0,11803 ... tas, quienes lo utilizaron en matemática, arte, arquitectura… a5 / a4 = 5 / 3 = 1, 66666666 ... 0,04863 ... La sucesión formada por los cocientes (resultados de la divi- sión) de números de Fibonacci consecutivos converge, rápi- a6 / a5 = 8 / 5 = 1,6 0,01803 ... damente, hacia el número áureo. a7 / a6 = 13 / 8 = 1, 625 0,00696 ... ¿Cómo se presentan los números de Fibonacci en la naturaleza? a8 / a7 = 21 / 13 = 1,61538461... 0,00264 ... En muchos ejemplos de naturaleza, nos encontramos con los números de Fibonacci. Uno de ellos es la forma en que se ordenan las semillas en el girasol de la fotografía. Si cuentas bien los espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda, verás que hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro: ambos son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. También podre- mos observar los números de Fibonacci en el estudio de poblaciones idealizadas de conejos (el ejemplo inicial que usó Fibonacci), vacas y abejas; en el número de espirales que forman los granos de frutos como las piñas de pino; en el ordenamiento de las hojas en una rama. La razón por la que los números de Fibonacci pueden encontrarse en tantos ejemplos de la naturaleza, se relaciona estrechamen- te con el nexo que existe entre esta sucesión y el número áureo. Como lo explica el profesor y matemático inglés, Dr. Ron Knott (Universidad de Surrey, Reino Unido): "¿Por qué encontramos el número Phi tantas veces, al estudiar el crecimiento de las plantas? La respuesta está en los empaques (packings): encontrar la mejor manera de ordenar los objetos para minimizar espacio perdido. Si te pregunta- ran cuál es la mejor forma de empacar objetos, seguramente responderías que depende de la forma de los objetos, ya que los objetos cuadrados quedarían mejor en estructuras cuadradas, mientras que los redondos se ordenan mejor en una estructura hexagonal. (…) Pero, ¿cómo ordenar las hojas alrededor de un tallo, o las semillas en una flor, cuando am- bas siguen creciendo? Al parecer, la Naturaleza usa el mismo patrón para disponer las semillas en una flor, los pétalos en Aprobado por: COORDINADOR DE ÁREA V2 de 24/09/2009 Página 2 de 7
  3. 3. sus bordes, y el lugar de las hojas en un tallo. Aún más, todos estos ordenamientos siguen siendo eficaces a medida que la planta crece. Este patrón corresponde a un ángulo de rotación a partir del punto central, mediante el cual los nuevos elementos (hojas, pétalos) se van organizando a medida que crecen". "Los botánicos han demostrado que las plantas crecen a partir de un pequeño grupo de células situado en la punta de ca- da sección que crece: ramas, brotes, pétalos y otras. Este grupo se llama meristema. Las células crecen y se ordenan en espiral: cada una se "dirige" a una dirección manteniendo un cierto ángulo en relación al punto central. Lo asombroso es que un solo ángulo puede producir el diseño de organización óptimo, sin que importe cuánto más va a crecer la planta. De modo que, por ejemplo, una hoja situada en el inicio de un tallo será tapada lo menos posible por las que crecen des- pués, y recibirá la necesaria cantidad de luz solar. Y ese ángulo de rotación corresponde a una fracción decimal del núme- ro áureo: 0.618034". Retroalimentemos la lectura realizando: 1. Describe en el siguiente espacio la relación que se tiene entre Leonardo de Pisa y Fibonacci consultado en la siguiente di- rección de internet: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/anecdotas/mate4k.htm ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ 2. El Liber abaci, publicado en el año 1202, fue el escrito más importante de Leonardo de Pisa. Consulta en la siguiente di- rección: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/mateospetsuak/Inprimaketak/LeonardoPisa.asp, y extrae tres ide- as matemáticas presentadas allí: a. ______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ b. _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ c. _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ 3. Realiza la lectura “La Semejanza en los Fractales” (Pág. 290) del libro guía y realiza en el cuaderno las actividades pro- puestas allí. 4. Realiza una exposición escrita de la relación entre los fractales y las sucesiones y series. ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ DESARROLLO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA Para algunas unidades se realiza talleres sobre los conceptos a trabajar. En ellos podrás hacer uso de los conocimientos previos que te ayudarán a construir el nuevo conocimiento. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE: Durante este periodo usaremos básicamente las siguientes estrategias de aprendizaje: Elaboración de diagramas de flujo, obser- vación de demostraciones realizadas para un teorema y explicación de los pasos seguidos, explicación de ejemplos de ejercicios desarrollados en el texto con tu explicación propia, elaboración y verificación conjeturas ya sea mediante la manipulación de objetos geométricos utilizando el programa Cabri o mediante la observación de la gráfica de las funciones logarítmica y exponen- cial y la correspondiente expresión algebraica y elaboración de ejercicios por iniciativa propia para profundizar los conceptos o procedimientos que no quedaron claros o para ampliar conocimientos. Aprobado por: COORDINADOR DE ÁREA V2 de 24/09/2009 Página 3 de 7
  4. 4. Además puedes hacer uso de las estrategias sugeridas en las anteriores guías de aprendizaje (guías de aprendizaje No 1 y 2 de grado noveno 2009): lectura autorregulada, conversatorio explicativo, elaboración de esquemas conceptuales, diario de aprendi- zaje, uso de la tecnología y organización del tiempo, haz conciencia también de cómo te beneficiaras del trabajo individual y del trabajo de grupo como estrategias para aprender a aprender. En lo que se refiere a uso de la tecnología (TICS), consulta las si- guientes páginas en internet:  www.eduteka.org.co  www.matematicafamnoveno.blogspot.com  www.descartes.cnice.mecd.es  Software – Cabri  www.pensadoresmatematicos.com  Software – Derive CUADRO DE ACTIVIDADES En los siguientes cuadros se presentan los temas a desarrollar del texto (DELTA 9º, Grupo Editorial Norma) en cada una de las lecciones de matemática y unidad especial y se explicitan las actividades de aprendizaje a realizar en forma individual, grupal y extra clase. Ten presente que aquí te presentamos un mínimo y que como estrategia de aprendizaje, teniendo en cuenta tus necesidades individuales, debes desarrollar otros para aclarar conceptos y procedimientos o para ampliar conocimientos. MATEMÁTICA APRENDIZAJE EXTRA- LECCIÓN APRENDIZAJE INDIVIDUAL APRENDIZAJE EN GRUPO CLASE Sucesiones Pág. 136 Una Unidad de Clase Comunicación Comunicación Resolución de Problemas 1 Fecha: Ejercicio No 1, 2 y 3 Ejercicio No 4, 5 y 6 Ejercicio No 7, 8, y 9 2009 . Progresiones Aritméticas Comunicación Comunicación Comunicación Pág. 142 Ejercicio No 1, 2, y 3 Ejercicio No 4, 5 y 6 Ejercicio No 11 Una Unidad de Clase Resolución de Problemas Resolución de Problemas Resolución de Problemas 2 Fecha: Ejercicio No 18 y 19 Ejercicio No 20 Ejercicio No 21 2009 Razonamiento Lógico Razonamiento Lógico Razonamiento Lógico . Ejercicio No 25 Ejercicio No 27 Ejercicio No 22 y 24 Progresiones Geométricas Comunicación Razonamiento Lógico Pág. 146 Razonamiento Lógico Ejercicio No 1 Ejercicio No 7, 9 y 11 Una Unidad de Clase Ejercicio No 8 3 Ejercicio No 2 Resolución de Problemas Fecha: Resolución de Problemas Razonamiento Lógico Ejercicio No 12, 17, 20, 25, 28 y 2009 Ejercicio No 13, 21, 22 y 29 Ejercicio No 3, 4, 5 y 6 29 . Series Aritméticas y Geométricas Conexiones Conexiones Conexiones Pág. 151 Ejercicio No 6 Ejercicio No 1, 2, 5 Ejercicio No 3 y 4 4 Dos Unidades de Clase Resolución de Problemas Resolución de Problemas Resolución de Problemas Fecha: Ejercicio No 11, 12, 14 y 17 Ejercicio No 9 Ejercicio No 7, 8, 10, 13 y 16 2009 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Razonamiento Lógico Razonamiento Lógico Pág. 192 Razonamiento Lógico Ejercicio No 1b, 1d, 1f, 1h y 1j Ejercicio No 1k, 1m, y 1o 5 Dos Unidades de Clase Ejercicio No 1a, 1c, 1e, 1g, y 1i Ejercicio No 2b, 2d, 2f, 2h, y 2j Ejercicio No 2i y 2k Fecha: Ejercicio No 2a, 2c, 2e, y 2g Comunicación Comunicación 2009 Ejercicio 3 Ejercicio No 4 . Funciones Crecientes y Decrecientes Función Inversa Comunicación Pág. 103 Comunicación Ejercicio No 3 Razonamiento Lógico 6 Una Unidad de Clase Ejercicio No 1, y 2 Razonamiento Lógico Ejercicio No 5 Fecha: Ejercicio No 4 y 6 2009 . Aprobado por: COORDINADOR DE ÁREA V2 de 24/09/2009 Página 4 de 7
  5. 5. MATEMÁTICA APRENDIZAJE EXTRA- LECCIÓN APRENDIZAJE INDIVIDUAL APRENDIZAJE EN GRUPO CLASE Función Exponencial Pág. 120 Comunicación Dos Unidades de Clase Comunicación Ejercicio No 2 Uso de la tecnología 7 Fecha: Ejercicio No 1 y 3 Resolución de Problemas Ejercicio No 10 2009 Ejercicio No 4, 6 y 8 . Función Logarítmica Pág. 126 Comunicación Dos Unidades de Clase Comunicación Comunicación Ejercicio No 6 8 Fecha: Ejercicio No 1 y 4 Ejercicio No 2, 3, 5 y 7 Uso de la tecnología 2009 Ejercicio No 9 y 11 . Aplicaciones de las Funciones Exponencial y Logarítmica Comunicación Comunicación Resolución de Problemas Pág. 131 Ejercicio No 1, y 2 Ejercicio No 3 Ejercicio No 7 y 8 9 Dos Unidades de Clase Resolución de Problemas Resolución de Problemas Formación Ciudadana Fecha: Ejercicio No 4 Ejercicio No 5, 6 y 7 Ejercicio 10 2009 . GEOMETRÍA U.E.M. APRENDIZAJE EXTRA- LECCIÓN APRENDIZAJE INDIVIDUAL APRENDIZAJE EN GRUPO CLASE Circunferencia: Postulados y teo- remas. Tres Unidad de Clase Fecha: Taller No. 13 2009 . Construye una circunferencia y Razonamiento Lógico en ella una cuerda. Traza dos Rectas Tangentes Mediante construcciones con segmentos tangentes a la cir- a una Circunferencia regla y compás o utilizando el cunferencia en los extremos Resolución de Problemas Pág. 326 programa Cabri, verifica cada de la cuerda. Verifica si son Ejercicio No. 9 y 12 1 Dos Unidad de Clase una de las proposiciones que congruentes. Uso de la Tecnología Fecha: se presentan en el ejercicio No. Comunicación Ejercicio No 15 y 16 2009 7 y realiza luego la demostra- Ejercicio No 1, 2 y 3 . ción. Conexiones Realicen el ejercicio No. 8. Ejercicio No. 4, 5, 6. Comunicación Ejercicio No 1 y 2 Cuerda, Arcos y Ángulos Centrales Razonamiento Lógico Pág. 333 Mediante construcciones con Resolución de Problemas Conexiones Una Unidades de Clase regla y compás o utilizando el Ejercicio No 9 2 Ejercicio No 3 y 4 Fecha: programa Cabri, verifica las Uso de la Tecnología 2009 proposiciones que se presen- Ejercicio No 10 y 11 . tan en los 5, 6, 7 y 8 y a conti- nuación realiza las demostra- ciones. Ángulos Inscritos Pág. 340 Razonamiento Lógico Una Unidades de Clase Comunicación Conexiones Ejercicio No 13 3 Fecha: Ejercicio No 3 y 4 Ejercicio No 5 y 6 Uso de la Tecnología 2009 Ejercicio No 18 y 19 . Aprobado por: COORDINADOR DE ÁREA V2 de 24/09/2009 Página 5 de 7
  6. 6. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN En todas las actividades que desarrollamos diariamente encontramos facilidades y dificultades, aciertos y errores, fortalezas y debilidades. En la medida en que nos demos cuenta de ello, podemos encontrar estrategias para ser mejores. Con la auto evalua- ción el estudiante ve lo que ha alcanzado en cada indicador y lo que debe mejorar según su reflexión. Con la coevaluación puede tener el aporte de sus compañeros para reconocer sus fortalezas y superar sus dificultades, y con la heteroevaluación, el profe- sor, desde su visión profesional ayuda a mejorar o alcanzar los logros propuestos. HETEROEVALUACIÓN Si durante cada clase el estudiante realiza su autoevaluación y determina los aciertos y errores y los corrige a tiempo, en el mo- mento en que le practiquen las pruebas orales o escritas tendrá mayor probabilidad de éxito. Registra en el siguiente cuadro las valoraciones obtenidas en cada uno de los indicadores de logro: Indicador Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10 Nota 11 Definitiva 401 402 403 COEVALUACIÓN El trabajo de grupo constituye el espacio principal para la coevaluación. Mediante ésta, el grupo te ayudará y a la vez tú les ayu- darás a tus compañeros para que identifiquen los aciertos y errores presentados en el desarrollo del trabajo personal. Pídele a tus compañeros que te evalúen siguiendo como parámetro la siguiente rejilla: Estudiantes que me evalúan: Frecuentemente Ocasionalmente Algunas veces 1. __________________________________ 2. _________________________________________ Siempre Nunca 3. __________________________________ 4. _________________________________________ ¿Participo activamente en las discusiones grupales? ¿Acepto los puntos de vista de mis compañeros, aún cuando a veces no estoy de acuerdo con ellos? ¿Digo cosas originales e interesantes? ¿Trabajo con ahínco y no tomo a la ligera las actividades de la unidad? ¿Colaboro para que las clases tengan éxito? ¿Me gusta aprender muchas cosas más sobre la matemática? ¿Hago reflexión en cuanto a si se cumplieron los objetivos de la unidad? ¿Colaboro para que el grupo se mantenga unido? ¿Mantengo buenas relaciones con los compañeros? ¿Me enojo rápidamente cuando otros no están de acuerdo con mi opinión? ¿Procuro no desperdiciar el tiempo? ¿Doy oportunidad a otros compañeros para expresar sus puntos de vista? ¿Se cuáles son mis tareas? ¿Dispongo de información suficiente? ¿Aporto mis trabajos para la tarea en común? AUTOEVALUACIÓN A continuación encuentras los formatos para que desarrolles tu auto evaluación. Para esto revisa los desempeños que corres- ponden a cada indicador y explica cuáles lograste y cuáles te falta trabajar. De acuerdo con la reflexión hecha determina el por- centaje de alcance de cada indicador de logro. Indicador 401: Reflexión sobre el logro de los desempeños: Indicador 402: Reflexión sobre el logro de los desempeños: _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ Valoración del nivel de logro: Valoración del nivel de logro: 401 402 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Aprobado por: COORDINADOR DE ÁREA V2 de 24/09/2009 Página 6 de 7
  7. 7. Indicador 403: Reflexión sobre el logro de los desempeños: Con respecto a las estrategias de aprendizaje: _________________________________________________ _________________________________________________ ¿Qué estrategias de aprendizaje aprendiste y cuáles debes _________________________________________________ mejorar? _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ Valoración del nivel de logro: _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ 403 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% _________________________________________________ _________________________________________________ Explica las razones, relacionadas con tus actitudes y hábitos, por las cuales lograste estos porcentajes y a continuación plantea metas claras y acciones de mejoramiento para el siguiente año: ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ Firma Estudiante SEGUIMIENTO Y CONTROL Es importante realizar acciones de mejora continua y oportuna; por esta razón realizaremos seguimiento periódico al buen desa- rrollo de esta guía: el docente y los padres de familia, diligenciando el siguiente cuadro: Primer Seguimiento (Fecha): Segundo Seguimiento (Fecha): Tercer Seguimiento (Fecha): Comentarios: Comentarios: Comentarios: Firma: Firma: Firma: Nombre: Nombre: Nombre: Vo. Bo. Docente: Vo. Bo. Docente: Vo. Bo. Docente: BIBLIOGRAFÍA:  Serie DELTA 9º, Grupo Editorial Norma  http://www.gran-angular.net/fractales-y-series-de-fibonacci-en-  Serie ESPIRAL 9º , Grupo Editorial Norma la-naturaleza/2008/09/11/  http://www.descartes.cnice.mecd.es  http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mat  http://www-history.mcs.st- e/anecdotas/mate4k.htm andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html  http://www.explora.cl/otros/metro/fibonacci.html Aprobado por: COORDINADOR DE ÁREA V2 de 24/09/2009 Página 7 de 7

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