1. Logaritmos<br />Ejercicios<br />Los Logaritmos<br />A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación. Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes. <br />Definición de Logaritmo: Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número. <br />Logax = b <=> ab = x<br />que se lee : quot;
el logaritmo en base a del número x es bquot;
, o también : quot;
el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a quot;
. Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos. La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0. <br />Es la función inversa de la función exponencial. La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1) <br />Propiedades:<br />Loga1 = 0<br />Logaa = 1<br />Logaax = x<br />aLogax = x<br />Loga(U·V) = LogaU + LogaV<br />Loga(U/V) = LogaU - LogaV<br />Loga(Un) = n·LogaU <br />Loga(U1/n) = (1/n)·LogaU <br />Logaritmos Decimales:<br />Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base. <br />Log10x = Logx<br />Logaritmos Neperianos:<br />Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e. <br />Logex = Lnx<br />Cambio de Base:<br />LogaN = LogbdN / Logbda<br />donde bd es la basea deseada; normalmente las más usadas son: la base 10 o la base e; de la cual disponemos en las calculadoras científicas. <br />Antilogaritmo:<br />Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número. <br />Logax = y <=> AntiLogay = x <=> ay = x<br />es decir, consiste en elevar la base al número resultado. <br />Cologaritmo:<br />Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco. <br />CoLogN = Log(1/N) = -Log(N)<br />Ecuaciones Logarítmicas:<br />Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación. La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones logarítmicas, también se llama quot;
tomar antilogaritmosquot;
). <br />LogaU = LogaV <=> U = V<br />Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas. <br />Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas:<br />Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s está sometida a la operación logaritmo. Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.<br />Características Utiles:<br />Para a>1 Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo. <br />Para 0<a<1 Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo. Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo. <br />Ejercicios Resueltos.-<br />10Log(7) = 7 <br />102+Log(3) = 102·10Log(3) = 100·3 = 300 <br />Log8(64) + Log4(64) = Log8(82) + Log4(43) = 2 + 3 = 5 <br />Log4(8) + Log4(2) = Log4(8·2) = Log4(16) = Log4(42) = 2 <br />Log9(243) - Log9(81) = Log9(243/81) = Log9(3) = Log9(91/2) = 1/2 = 0,5 <br />Log7(2) + Log7(0,5) = Log7(2·0,5) = Log7(1) = 0 <br />Log5(375) - Log5(3) = Log5(375/3) = Log5(125) = Log5(53) = 3 <br />Log0,25(16) = Log0,25(42) = Log0,25((1/4)-2) = Log0,25(0,25-2) = -2 <br />Log5(8·10-3) = Log5(23·10-3) = Log5(0,5-3·10-3) = Log5(5-3) = -3 <br />Log16(32) = Log2(32)/Log2(16) = Log2(25)/Log2(24) = 5/4 = 1,25 <br />Log81(27) = Log3(27)/Log3(81) = Log3(33)/Log3(34) = 3/4 = 0,75 <br />Log4(3x+1) = 2 => 4Log4(3x+1) = 42 => 3x+1=16 => 3x=15 => x=5 <br />Logx(343) = 3 => xLogx(343) = x3 => x3 = 343 => x = (343)1/3 => x = 7 <br />Logx+1(64) = 2 => (x+1)Logx+1(64) = (x+1)2 => 64 = (x+1)2 => 64 = x2+2x+1 => x2+2x-63 = 0 => (x-7)(x+9) = 0 => x= 7 solución válida <br />Log3(4x+1) = 4 => 3Log3(4x+1) = 34 => 4x+1 = 81 => x = 20 <br />Logx(5x-6)=2 => xlogx(5x-6)=x2 => x2=5x-6 => x2-5x+6=0 => (x-2)(x-3)=0 => x=2 y x=3 son soluciones válidas <br />Ejercicios Resueltos.-<br />Sabiendo que: Log(2) = a, Log(3) = b y Log(7) = c; entonces: <br />Log(6)=Log(2·3)=Log(2)+Log(3)=a+b <br />Log(49)=Log(72)=2Log(7)=2c <br />Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-Log(2)=1-a <br />Log(20,5)=0,5Log(2)=0,5a <br />Log(700)=Log(7·100)=Log(7)+Log(100)=c+2 <br />Log(0,125)=Log(125/1000)=Log(53/103)=Log((5/10)3)=Log((1/2)3)=Log(2-3)=-3a <br />Log(0,5)=Log(2-1)=-log(2)=-a <br />Ejercicios para Resolver.-<br />Log2(8) = <br />Log3(27) = <br />Log4(0,25) = <br />Log4(8) = <br />Log27(9) = <br />Log(1000) = <br />Log(0,01) = <br />Log(2x-7) - Log(x-1) = Log(5) <br />Log(2x-7) - Log(18) = Log(x) <br />Log(3x-2) + Log(6) = Log(5x) <br />2x = 128 <br />2(x-3) = 16 <br />2(5x+4) = 8x <br />7(5x+1) = 49(3x+2) <br />10x-1·7x = 25 <br />4x·3y=8 ; 2x·8y=9 <br />Ejercicios para Resolver.-<br />Sabiendo que: log(2) = a, log(3) = b y log(7) = c <br />Log(4) = <br />Log(6) = <br />Log(8) = <br />Log(9) = <br />Log(14) = <br />Log(21) = <br />Log(5) = <br />Log(15) = <br />Log(1,5) = <br />Log(0,5) = <br />Log(0,2) = <br />Log(12) = <br />Ejercicios para Resolver.-<br />En cada caso calcular el valor de x: <br />x = Log8(16)<br />-3 = Log3(x)<br />(4/3)=Logx(102/3) <br />-3 = 2Log25(x) <br />x = Log8(25) + Log7((1/49)1/3) <br />Log5(100)+log3(4) = x <br />