1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Universidad Fermín Toro
Cabudare Edo. Lara
Métodos de Demostración
Norbely Yesenia Pérez Colmenarez
C.I: 20.472.192
Escuela de Ing. Mecánica
03 de Junio 2012

2. Métodos de Demostración
Directa
Cuando se parte de un conjunto de postulados o de
proposiciones cuya validez ha sido probada, para inferir como
consecuencia la tesis, a través de una serie de inferencias, se
establece una demostración directa.
En ella se prueba la validez de una tesis estableciendo que ésta es
una consecuencia necesaria de los fundamentos de la disciplina
correspondiente (matemática en este caso).
Una demostración directa de una proposición t (que se define
como teorema) consiste en n conjunto de proposiciones P1, P2,
………Pn (Premisas) que son postulados o proposiciones cuya
validez ya ha sido probada y de las cuales se infiere la proposición
t como consecuencia inmediata. En una demostración directa,
cada paso debe ir acompañado de una explicación que justifique
la presencia de ese paso.

3. Se dice que t es una consecuencia inmediata de P1, P2,
………Pn si se produce la implicación:
Para mayor brevedad, llamaremos h (hipótesis) al
antecedente del esquema proposición al anterior.

4. Métodos de Demostración
Indirecta
Si se tiene dificultades en la construcción de una demostración directa,
se puede a veces obtener resultados más importantes y mejores,
empleando algunos otros métodos. Cuando se establece validez de una
tesis ~ t probando, que las consecuencias de su contraria son falsas,
entonces se realiza una demostración indirecta. El método de
demostración indirecta se basa en el hecho de que si ~ t es falsa,
entonces t es verdadera (negar-negando). La mejor manera de hacerlo
es mostrando que ~ t no es compatible con las afirmaciones dadas en
la hipótesis.
De otro modo, suponiendo que la proposición ~ t es verdadera,
consideremos el conjunto formado por ella y las otras proposiciones
conocidas y tratamos de demostrar que este conjunto así considerado
nos lleva a una contradicción. Cuando se llega a la contradicción,
sabemos quela verdad de ~ t no es compatible con nuestra hipótesis
(verdadera) y, por tanto, que es falsa. Por consiguiente, ~t es
verdadera.

5.
Luego, para demostrar un teorema de la forma , basta deducir alguna
contradicción a partir de la hipótesis .Hay diferentes formas para utilizar el
método de demostración indirecta; Para demostrar podemos hacerlo
demostrando que:

6. Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar
proposiciones compuestas. Simbólicamente los conectivos se
representan del modo siguiente:

7. Un enunciado: es un conjunto de símbolos por medio de los
cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya sea en formal
oral o escrita.
Enunciados Abiertos o simples: son aquellos que tiene un
único valor de verdad. Es el que no tiene otro enunciado
como parte componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas”.
Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado
compuesto contiene otro enunciado como componente.
Ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules”.

8. Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un
solo enunciado.
Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos
o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas
particularidades lógicas llamadas conectivos lógicos.
 Proposiciones Compuestas
La Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una
proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el
siguiente símbolo “~”.
La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se
obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si
y solo si” y se representa así:”ð”

9. La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos
proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo
“y”, y se representa con el siguiente símbolo: “ð”.
La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos
proposiciones simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se
representa de la manera siguiente: “V”.
La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos
proposiciones simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se
representa así: “V”.
La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones
unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la
forma siguiente: “→“. La proposición que aparece entre las
palabras”Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la
que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama
consecuente o conclusión.

10. Así como existen identidades trigonométricas, en el
álgebra proposicional se cumplen leyes para cualquier
proposición lógica:
Leyes de Conjunción
Leyes de Disyunción Inclusiva

11.  Leyes de Morgan
 Leyes de Absorción
 Leyes Complementarias

12. Demostración d e la firmatión
Antes de demostrar esto debemos tener cl aro que exi sten ci ertos axi omas que nos
permi ti rán, en este caso, demostrar nuestra afi rmaci ón. Dado que nos basaremos
en axi omas, tenemos que nuestra demostraci ón (si endo cada paso l ógi co
correcto) es verdadera.
• U saremos l os si g ui entes axi omas de l os números real es:
A x1.
A x2. Si y , con a,b ,c real es. Entonces
Asumi dos ci ertos estos axi omas podemos comenzar con nuestra demostraci ón.
Supongamos por un momento, contrari amente a l o esperado que, y veamos
que l l eg amos a una contradi cci ón. Puesto que
, apl i cando el axi oma Ax2 al mul ti pli car por 1 (que es menor que
cero), tenemos que
, l o cual es una contradi cci ón.
C omo nuestra hi pótesi s era que , y ésta es fal sa, l o úni co que ahora
podemos deci r es que . Pero el axi oma Ax1 di ce que l a úni ca posi bi li dad
donde no exi ste contradi cci ón es que efectivamente

13. Luego
Razonamiento
Es cl ar o que l o que debe m os tene r e s una contradi cci ón. P ara e ll o, pr im e ro
de bem os pl ante ar una hi pótesi s, y com probar s i e s cie rta o no. De no se rl a nos
conduci rá a una contradi cci ón. De be tene rse claro que nues tra hi póte si s comi enza
cuando de ci m os que 1 es m e nor que ce ro y no en l os axi om as me nci onados
ante ri ormente (porque és tos es tán y a de m ostrados o bi en, as umi dos ci e rtos y no
re qui e re n, por l o tanto, m ay or anál i sis ) . C om o s abem os que l a afi rm aci ón "' 1 e s
m e nor que ce ro" e s fal s a, de bi éram os ll eg ar a una contradi cci ón. Pe ro no bas ta
s ól o con s abe rl o, y a que de be se r dem os trado.
N ue s tra hi póte s is fue que uno e ra m e nor que ce ro y , l ueg o de ci ertos pas os
l ógi cos cor rectos us ando l os ax i om as, concl ui mos que uno e ra m ay or que ce ro, l o
cual cl aramente no pue de s er ci e rto, y a que por l a l ey de tri cotomí a , dos núm eros
re al es de be n cum pli r una y s ól o una de las s ig ui e nte s rel aci one s
; o bi en ,
pe ro nunca dos ni tres j untas. Lueg o, com o nue s tra hi póte si s nos conduce a una
contradi cci ón, es f al s a, y de be m os cons i derar todas l as pos i bili dade s, m e nos e sa.
Esto e s : com o uno no e s m e nor que ce ro, de be , ne ce s ari ame nte , s e r m ay or o i g ual
que és te (ce ro). Pe ro el axi om a prim e ro di ce que uno es di s ti nto de cero, por l o
que sól o que da l a opci ón de que 1 s e a m ay or que ce ro .

14. Razonamiento incorrecto
Un error común entre quienes comienzan el estudio de estas materias, es el de
pensar que han llegado a una contradicción sin haberlo hecho. Por ejemplo:
Suponen que:
, Luego sumando (-1) a ambos lados
lo cual es una contradicción ya que .
Este razonamiento tiene un error, ya que no llegamos a una contradicción.
Nuestra hipótesis era que 1 era menor que cero y por lo tanto, con los
procedimientos realizados , que es verdadero. En esta caso la
afirmación es falsa.
Nótese que para llegar a una contradicción debemos tener lo siguiente:
• Una afirmación P (en nuestra hipótesis) que diga que ésta es cierta.
• Una conclusión que diga que P es falsa.
Claramente ninguna afirmación puede cumplir con esto. En lógica esto la
afirmación sería:
P es cierta y ~P es cierta, que se lee "P es cierta y no P es cierta".

15. Ingeniería en Computación
Necesitamos un procedimiento que calcule el lugar que ocupa el elemento de
una lista que da el mínimo de dicha lista:
> minimo:=proc(a)
> local c,i,j:
> c:=a[1]:
> for i from 2 to nops(a) do
> if a[i]<c then c:=a[i] fi:
> od:
> j:=1:
> while a[j]<>c do
> j:=j+1
> od:
> j;
> end:
> minimo([1,2,3,4,5,0.5]);
6
> minimo([1,4,0.8,67,50]);
3

16. Ahora podemos llamar a este procedimiento para construir el algoritmo de selección. Hay que construir una
lista cada vez más pequeña e ir calculando los mínimos para intercambiar los valores si es necesario. En lugar
de construir listas cada vez más pequeñas, lo que vamos a hacer es ir poniendo el valor in_nito en el
correspondiente término de la lista de modo que, como in_nito es mayor que cualquier número, se tendrá que
a la hora de calcular mínimos este término no va a intervenir nunca.
> seleccion:=proc(a)
> local b,c,i,m:
> b:=a:
> c:=a:
> for i from 1 to nops(a) do
> m:=minimo(b):
> if b[i]<>b[m] then
> b:=Intercambiar(b,i,m):
> c:=Intercambiar(c,i,m):
> fi:
> b[i]:=infinity:
> od: c;
> end:
> seleccion([2,1,3,6,5]);
[1; 2; 3; 5; 6]
> seleccion([2,5,4,3,1,0]);
[0; 1; 2; 3; 4; 5]

17. p
q
f
r
Circuito que permite selecciona mujeres de más de 50 años y hombres con
factor Rh negativo.
Este circuito lógico ha sido diseñado de tal manera que f 1 cuando (p.q.r)
toma los valores (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0),(1,1,0), es decir, solo elige mujeres de
más de 50 años y hombres con factor Rh.