Ejemplo de series de Fourier

1. Series de Fourier
Con la serie de Fourier se obtiene la representación de frecuencias periódicas, el
descubridor de estas series fue Jean Baptista Joseph Fourier es por eso que estas
series llevan su nombre, en estas series se puede representar las frecuencias de
ondas ya sea de voz o de corriente por lo que se utiliza mucho en física, por lo que
se puede decir que es un análisis matemático.
Ejemplo
Hallar un desarrollo en serie de Fourier para la función
𝑓( 𝑥) = {
−2, 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 0
2, 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 1
}
Y con 𝑓 periódica, de periodo 2, fuera del intervalo [−1,1].
Solución: la gráfica de 𝑓 es la onda cuadrada de la figura 8.49. Las fórmulas de
Euler- Fourier (9.7) y (9.8), con 𝑙 = 1, dan
𝑎0 =
1
1
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (−2) 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥 = 0
1
0
0
−1
1
−1
Análogamente
𝑎 𝑘 =
1
1
∫ 𝑓( 𝑥)cos( 𝑘𝜋𝑥
1
)
1
−1
𝑑𝑥 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1,2,3,….
Finalmente
𝑏 𝑘 =
1
1
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑘𝜋𝑥
1
)𝑑𝑥 = ∫ (−2) 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑘𝜋𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 2
1
0
0
1
1
−1
𝑠𝑒𝑛( 𝑘𝜋𝑥) 𝑑𝑥
=
2
𝑘𝜋
cos(𝑘𝜋𝑥) |
0
−1
−
2
𝑘𝜋
cos( 𝑘𝜋𝑥) |
1
0
=
4
𝑘𝜋
[cos0 − cos(𝑘𝜋)]
=
4
𝑘𝜋
[1 − cos(𝑘𝜋)] = {
0, 𝑠𝑖 𝑘 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
8
𝑘𝜋
, 𝑠𝑖 𝑘 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

2. cos( 𝑘𝜋) = 1, 𝑠𝑖 𝑘 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
cos( 𝑘𝜋) = −1, 𝑠𝑖 𝑘 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Con todo ello, se obtiene la serie de Fourier
𝑎0
2
+ ∑[ 𝑎 𝑘 cos( 𝑘𝜋𝑥) + 𝑏 𝑘 𝑠𝑒𝑛( 𝑘𝜋𝑥)] = ∑ 𝑏 𝑘 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑘𝜋𝑥) = ∑ 𝑏2𝑘−1 𝑠𝑒𝑛(2𝑘 − 1)𝜋𝑥
∞
𝑘=1
∞
𝑘=1
∞
𝑘=1
= ∑
8
(2𝑘−1)𝜋
𝑠𝑒𝑛[(2𝑘 − 1)𝜋𝑥]∞
𝑘=1
Porque 𝑏2𝑘 = 0 y 𝑏2𝑘−1 =
8
(2𝑘−1)𝜋