El documento explica conceptos de proporcionalidad geométrica como el teorema de Tales y cómo dividir segmentos en partes iguales o proporcionales a otros números. También cubre semejanza de triángulos y hallar la cuarta proporcional numérica y geométrica. Resuelve varios problemas aplicando estos conceptos.

1. MATEMATICAS III ELABORADO POR :PAULINO GONZÁLEZ MENESIANO MADRID PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA T.TALES

2. LO QUE DICE EL TEOREMA DE TALES Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales. o bien Una aplicación inmediata del teorema de Thales es la división de un segmento en partes iguales y también en partes proporcionales a números dados.

3. DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES La figura muestra paso a paso el procedimiento para dividir el segmento AB en 5 partes iguales. Desde uno de los extremos (A) del segmento se traza una semirrecta cualquiera. Y con centro en A se traza una circunferencia de radio arbitrario que corta en 1 a la semirrecta. Se hacen circunferencias de igual radio a la primera hasta completar tantas como número de partes se desea dividir el segmento. Se une el ultimo punto (5) con B, y a continuación se trazan paralelas al segmento anterior por los puntos intermedios. Las intersecciones con el segmento inicial AB determinan la división del segmento buscada.

4. REPARTIR UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A OTROS VARIOS B A AB, Segmento que deseamos repartir C D E G F H Segmentos en proporción a los que deseamos dividirlo Colocamos el segmento Ponemos una línea auxiliar “r” r Sobre esta línea llevamos los segmentos Unimos el extremo de estos segmento con el extremo del segmento que queremos dividir A B Finalmente trazamos paralelas por los extremos de los segmentos.

5. Basta con trasladar a la semirrecta auxiliar la medida de los segmentos. Ejercicio. Divide un segmento de 8,2 cm. en partes proporcionales a 2, 1 y 3. Este Procedimiento geométrico también nos sirve para resolver problemas aritméticos de repartos proporcionales. Ejercicio. Tres amigos de 10, 12 y 15 años deben repartirse 350 €uros en partes proporcionales a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A NÚMEROS

6. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos y los lados correspondientes proporcionales. DEFINICIÓN CRITERIOS DE SEMEJANZA: (Requisitos mínimos para saber si dos triángulos son semejantes) 2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman . 3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son proporcionales. Consulta los gráficos 1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales .

7. El procedimiento es similar al anterior. Basta con trasladar a la semirrecta la medida de los segmentos. Ejercicio. Divide un segmento de 8,2 cm. en partes proporcionales a 2, 1 y 3. Este Procedimiento geométrico también nos sirve para resolver problemas aritméticos de repartos proporcionales. Ejercicio. Tres amigos de 10, 12 y 15 años deben repartirse 350 €uros en partes proporcionales a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A OTROS VARIOS

8. Hallar la cuarta proporcional numérica y geométrica a) Numérica Hallar la cuarta proporcional de 3, 6, 9 b) Geométrica Hallar la cuarta proporcional de los segmentos AB, CD, EF Tomo dos rectas concurrentes “r” y “r’ “ y sobre ellas llevo los segmentos como se indica C A D B F E B A E r’ D F C r Unimos los puntos B(E) y D Trazamos una paralela a ED que pase por F El segmento DG es la cuarta proporcional G

9. Hallar la tercia proporcional numérica y geométrica a) Numérica Hallar la tercia proporcional de 3, 6 b) Geométrica Hallar la cuarta proporcional de los segmentos AB, CD, EF Tomo dos rectas concurrentes “r” y “r’ “ y sobre ellas llevo los segmentos como se indica C A D B B A C’ r’ D D’ C r Unimos los puntos B(E) y D Trazamos una paralela a BD que pase por D El segmento DG es la cuarta proporcional G

10. Hallar la media proporcional numérica y geométrica a) Numérica Hallar la media proporcional de 3, 12 b) Geométrica Hallar la media proporcional de los segmentos AB, CD Llevamos ambos segmentos consecutivos ( En línea recta y seguidos ) En el punto de unión de los dos segmentos Levantamos una perpendicular , que cortará con la circunferencia Ese segmento es la media de los otros dos A B D C Media geométrica

11. PROBLEMA Los números 2, 5 y 7 y los números 14, 35, 49 ¿son proporcionales? ¿Cuál es la constante que permite pasar de los primeros a los segundos? ¿Y al revés? Verifico si puedo realizar proporciones entre los números. Mayo de los tres primeros a mayos de los segundos; menor a menor y mediano a mediano … Vemos que si son proporcionales, producto de medios igual a producto de extremos. La constante de proporcionalidad de los primeros a los segundos “x7” La constante de proporcionalidad de los segundos a los primeros “: 7 “ Verifico si puedo realizar proporciones entre los números. Mayo de los tres primeros a mayos de los segundos; menor a menor y mediano a mediano … Vemos que si son proporcionales, producto de medios igual a producto de extremos. La constante de proporcionalidad de los primeros a los segundos “x7” La constante de proporcionalidad de los segundos a los primeros “: 7 “

13. PROBLEMA Dibuja la figura semejante a la siguiente si la razón de semejanza es 3, en una cuadricula que tiene el lado triple que el lado de la otra cuadrícula. Para obtener la figure semejante, se multiplica por 3. tanto les longitudes de las líneas de la figura, como la longitud del lado de la cuadrícula original.

14. PROBLEMA Construye las figuras semejantes a las siguientes si la razón de semejanza es 2.

15. PROBLEMA Construye las figuras semejantes a las siguientes si la razón de semejanza es 2. Observar que la razón de semejanza de los lados es dos , pero que del área es 2x2 = 4. La razón de semejanza de las áreas es la de las longitudes al cuadrado.

16. PROBLEMA Mide los siguIentes dibujos a) ¿Son figuras semejantes? b) ¿Cuál es la razón de semejanza?

18. PROBLEMA Para las siguientes figuras expresa la razón de semejanza teniendo en cuenta que las medidas que se indican son las reales. a) El avión mido 3,3 centímetros de largo y en la realidad mide 60 metros. Como 60 metros son 6 000 centímetros, la razón de semejanza es: 3,3:6000 b) El árbol mide 2 centímetros de alto y en la realidad mido 5 metros. Como 5 metros son 500 centímetros, la razón de semejanza es: 2:500 equivalente a 1:250 e) La silla mide 2,4 centímetros de alto y en realidad mide 120 centímetros. Luego la razón de semejanza es: 2,4:120 = 0,02 d) La televisión mide 1,5 centímetros de alto y en la realidad mide 60 centímetros. Luego la razón de semejanza es:1,5:60 o lo que es lo mimo 3:120 ó 1:40

19. PROBLEMA Con ayuda del teorema de Tales construye un triángulo semejante al ABC siendo la razón de semejanza 1,5. Sobre la semirrecta CA, llevo medio segmento de CA (CA/2), y lo mismo hago sobre la semirrecta BC, así obtengo los puntos A’ y C’, que al unirlos me dan el tercer lado del triángulo Se modo que CA’ = 1,5.CA y BC’ = 1,5.BC de modo que

20. PROBLEMA Con ayuda del teorema de Tales construye un triángulo semejante al triángulo ABC sabiendo que la razón de semejanza es 2. Sobre la semirrecta BA, duplico la distancia BA, y lo mismo hago sobre la semirrecta BC, así obtengo los puntos A’ y C’, que al unirlos me dan el tercer lado del triángulo Se modo que BA’ = 2.BA y BC’ = 2.BC de modo que

21. PROBLEMA Construye un triángulo semejante al triángulo ABC sabiendo que la razón de semejanza es 1/4 Trazo una paralela a uno de los lados , y me quedarán dos triángulos en posición de Tales y por tanto semejantes. La paralela debo trazarla por la cuarta parte de uno de los lados , midiendo, trazando mediatrices o dividiendo por el teorema de Tales uno de los lados en 4 partes iguales

22. PROBLEMA Divido el segmento AB de longitud 16 centímetros en 5 partes Iguales. Dibujamos el segmento de 16 cm. En al extremo A colocamos una línea auxiliar y concurrente con ella AH, sobre esta semirrecta llevamos un segmento que tomamos como unidad 5 veces , con lo que llegamos al punto G Unimos G con B, y luego trazamos paralelas a GB, por los puntos C,D,E,F Y obtenemos los puntos C’, D’, E’, F’ que dividen al segmento en 5 partes iguales. H Unidad-tamaño libre

23. PROBLEMA Divide el segmento MN de longitud 13 centímetros en 7 parte, Iguales. Dibujamos el segmento de 13 cm. En al extremo M colocamos una línea auxiliar y concurrente con ella MK, sobre esta semirrecta llevamos un segmento que tomamos como unidad 7 veces , con lo que llegamos al punto I Unimos I con N, y luego trazamos paralelas a IN, por los puntos C,D,E,F,G,H, Y obtenemos los puntos C’, D’, E’, F’, G’, H’ que dividen al segmento en 7 partes iguales. K Unidad-tamaño libre

24. PROBLEMA En a escalera de la figura, ¿cuánto medirá el peldaño AB? Tenemos triángulos en posición de Tales: Realizamos la siguiente proporción que nos permite hallar AB

25. PROBLEMA Halla los puntos medios do los lados de un triángulo ABC cualquiera: A’ punto medio de BC B’ punto medio de CA C’ punto modio do AB a) Dibuja el triánguloA’B’C’. b) ¿Es A’B’C’ semejante a ABC? Por ser A’, B’, C’ puntos medios de los lados entonces se producen las siguientes igualdades AC=2.A’C’ AC=2.A’C’ AC=2.A’C’ Hacemos proporciones entra los lados que se corresponden (los opuestos a ángulos iguales ) Ángulo B  Ángulo C  Ángulo B  Son semejantes ya que siempre obtenemos la misma razón.

26. PROBLEMA En la figura se ha construido un pentágono semejante al ABCOE. Las medidas que aparecen en la figura están expresadas en centímetros. Sabiendo que AB´mide 7,5 halla las siguientes distancias B’C’, C’D’, D’E’ y AE’. Por ser figuras puedo establecer proporciones entre los lados homólogos, los que se corresponden, los opuestos a ángulos iguales AE’=7,5 B’C’=7,5.3/5 C’D’=7,5.4/5 B’C’=7,5.6/5 Sirve para encontrar la razón , que vale para toda la figura

28. PROBLEMA Escribe los lados de cinco triángulos semejantes a un triángulo de lados 3 cm, 4cm y 5cm. Por ser semejantes los nuevos triángulos tienen que formar proporción con este La proporciones se obtenían multiplicando por un mismo número. Por lo cual es suficiente con que multipliquemos a los lados por un mismo número a todos Ej x3 = 3.3; 4.3; 5.3  9, 12, 15 x7 = 3.7; 4,7; 5.7  21, 28, 35

29. PROBLEMA Halla el triángulo de lados enteros más pequeño semejante a cada uno de los casos siguientes a) 6cm, 8cm, 10cm c) 12cm, 16cm, 20cm b) 9cm, 12cm, 15cm d) 15cm, 20cm, 25cm Se trata de buscar otros triángulos que tengan números proporcionales y menores ( divididos por un número , lo más pequeños posibles, o sea divididos por el máximo común divisor a) m.c.d ( 6,8,10) = 2 , luego los lados serán 6/2, 8/2, 10/2  3,4,5 b) m.c.d ( 9,12,15) = 3 , luego los lados serán 9/3, 12/3, 15/3  3,4,5 c) m.c.d ( 12,16,20) = 4 , luego los lados serán 12/4, 16/4, 20/4  3,4,5 d) m.c.d ( 15,20,25) = 5 , luego los lados serán 15/5, 20/5, 25/5  3,4,5

32. PROBLEMA El terreno de un padre viene representado por el triángulo ABC, Le quiere dar una parte a su hijo, para lo cual a construido el triángulo BED. ¿Son los triángulos ABC y BED semejantes ? Por tanto, los triángulos tienen los tres ángulos iguales- Aplicando el criterio segundo de semejanza de triángulos, son semejantes. a) Ambos tienen un ángulo recto b) Ambos tienen un ángulo en común , el ángulo B c) El tercer ángulo es por tanto igual, juntos valen 180º Por tanto, los triángulos tienen los tres ángulos iguales- Aplicando el criterio segundo de semejanza de triángulos, son semejantes. a) Ambos tienen un ángulo recto b) Ambos tienen un ángulo en común , el ángulo B c) El tercer ángulo es por tanto igual, juntos valen 180º Por tanto, los triángulos tienen los tres ángulos iguales- Aplicando el criterio segundo de semejanza de triángulos, son semejantes. a) Ambos tienen un ángulo recto b) Ambos tienen un ángulo en común , el ángulo B c) El tercer ángulo es por tanto igual, juntos valen 180º Por tanto, los triángulos tienen los tres ángulos iguales- Aplicando el criterio segundo de semejanza de triángulos, son semejantes. a) Ambos tienen un ángulo recto b) Ambos tienen un ángulo en común , el ángulo B c) El tercer ángulo es por tanto igual, juntos valen 180º

33. PROBLEMA La sombra de una torre en un momento del día mide 20 metros. En ese momento la sombra de una vara vertical de 1 metro mide 40 centímetros. Calcule la altura de la torre. Como los rayos solares son paralelos, forman ángulos iguales con la horizontal. Por tanto, los triángulos formados por las sombras de la torre y de la vara son semejantes. (Tres ángulos iguales – El recto el de incidencia en el suelo, inclinación del rayo) Luego los triángulos son semejantes y se pueden hacer proporciones .

34. PROBLEMA Los lados correspondientes de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 12 cm. El área del primer triángulo mido 32 cm 2 . Halla el área del segundo triángulo. T 1 T 2 8 12 Razón de los lados es Razón de las áreas Luego

35. PROBLEMA En un mapa a escala 1:500 000 se tienen las siguientes distancias: a) 3,5cm b) 15cm Halla las distancias reales.

36. PROBLEMA En un mapa a escala 1 : 750000 se tienen Las siguientes distancias: a) 6,5cm b) 12,7cm c) 16cm d) 3cm Halla las distancias reales.

37. PROBLEMA En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de 2 centímetros ¿Cuál será la distancia real sabiendo que el mapa está realizado a escala 1: 800 000?

38. PROBLEMA La distancia entre dos ciudades es de 3cm. Halla la distancia real sabiéndo que: a) La escala del mapa es 1: 4 000 000. b) La escala del mapa es 1: 500 000. o) La escala del mapa es 1 175 000.

39. PROBLEMA Indica qué escala se aplica cuando en una fotocopiadora: a) Se reduce al 25 %. b) Se amplía al 300 %. Luego las escalas son a) 1:4 y b) 3:1

40. PROBLEMA En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 5,5 centímetros ¿Cuál será a distancia real sabiendo que el mapa está realizado a escala 1:500000?

41. PROBLEMA En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de 3 centímetros. Halla la escala sabiendo que ambas ciudades están a una distancia de 66 kilómetros. Escala 1: 2200000

42. PROBLEMA La superficie real de una casa es de forma rectangular, de 12 metros de argo y 10 metros de ancho. ¿Qué medidas tendrá en un plano que está realizado a escala 1: 50? Medidas del dibujo 24x20cm

43. PROBLEMA En el plano de una casa, el salón mide 2 centímetros de ancho y 3 centímetros de largo. Como el plano realizado a una escala 1:200, ¿cuáles serán las dimensiones del salón? Las medidas son 4 m x 6 m

44. PROBLEMA Determina la escala a la que se ha hecho el plano de una ciudad si 100 metros de la realidad se representan por 1 centímetro en el plano. Escala por tanto 1:10000

45. PROBLEMA Un edificio tiene forma de ortoedro y sus medidas reales Son 40 metros de largo, y 25 metros de ancho y 30 de alto. Halla las dimensiones de una maqueta realizada a: a) Escala 1 :10. b) Escala 1:50 A escala 1:10 A escala 1:50 Largo Ancho Alto Largo Ancho Alto

46. PROBLEMA La maqueta de un puente tiene 1,5 metros de largo y 0,03 metros de ancho. ¿Cuáles serán las medidas reales sabiendo que está realizada a escala 1:1000? Longitud Ancho

47. PROBLEMA Un topógrafo va a hacer un plano de un terreno de forma de hexágono regular de 10 metros de lado, a) ¿Cuánto medirá el lado del hexágono del plano si este se realiza a escala 1:100? b) Dibuja el plano del terreno a dicha escala

49. PROBLEMA En un plano la escala es 1:50000, dos puntos distan 4 cm, Calcula mentalmente la distancia entre esos dos puntos en la realidad. Sobre un mapa a escala 1: 800000, dos dudadas distan 9 cm. Calcuta mentalmente la distancia entre esas ciudades la realidad. En una maqueta realizada a escale 1:40 la distancia del tejada al suelo es de 60cm. Calcula mentalmente dicha distancia en la realidad.

51. PROBLEMA Divide el segmento AB en 8 partes iguales. Se divide el segmento AB en 8 partes iguales: Colocamos el segmento de 7 cm, y concurrente con él llevamos un segmento de una longitud que deseemos Tomamos un segmento cualquiera como unidad y lo llevamos sobre esta línea auxiliar 8 veces

52. PROBLEMA Los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes. Si AB’ mide 9 cm, halla las siguientes distancias: AC’ y B’C’ Se calcula la razón de semejanza: Luego debe cumplir que AC’ = 1,5 . AC Por tanto: AC’=1,5 . 5 = 57 Razonando de la misma manera: B’C’ = 1,5 . BC = 1,5 . 4 = 6 Luego AC’ mide 7.5 centímetros y B’C’ 6 centímetros.

53. PROBLEMA Los lados de un triángulo miden 10 cm, 7cm y 6cm. Y los de otro miden 20 cm, 14cm y 32cm. respectivamente. ¿Son semejantes estos triángulos? Los triángulos no son semejantes, pues los lados homólogos no son proporcionales.

54. PROBLEMA ¿Cuál es la mejor forma de colocar estos triángulos para ver si son semejantes? La mejor forma de colocar los triángulos, pare ver su semejanza es situados de manera que tengan un ángulo en común. Colocados de esta manera los lados adyacentes deben estar en misma recta y los lados opuestos deben ser paralelos En la figura se observe que el ángulo A es común, los lados AC y AC’ están en la misma recta al igual que los lados AB y AB’ y los lados BC y BC’ son paralelos. Por tanto, los triánguIos son semejantes.

55. PROBLEMA En un mapa con escala 1 : 25000 dos lugares están separados 4 centímetros Determina la distancia real entre ambos lugares. La escale indica que 1 centímetro del mapa representa 25000 centímetros de la realidad. Por tanto, 4 centímetros en el mapa son: 4 . 25000 = 100000 Se pasan los centímetros a kll6metros: 100000cm 1 km

56. PROBLEMA Los lados de una parcela en forma de cuadrilátero miden 10 cm, 12 cm, 22 cm y 18 cm. Halla las dimensiones reales sabiendo que la razón do semejanza es 1 :200. Expresa estas dimensiones en metros. Los lados de la parcela se obtienen multiplicando los valoras de sus medidas en el plano por la razón de semejanza, 200. Por tanto, las medidas del terreno son: 10 . 200 = 2000 12 . 200 = 2400 22 . 200 =4400 18 •200 = 3600 Se pasan las medidas a metros: 2000 cm = 20 m, 2400 cm =24 m 4400 cm = 44 m 3600 cm = 36 m

57. PROBLEMA Las medidas de un terreno triangular son 300 m, 400 m y 500 m. En un triángulo a escala, es decir, semejante al del terreno, el lado correspondiente al más pequeño mide 6 cm. Halla los restantes lados. Se pasan los metros a centímetros: 300 m = 30000 cm 400 m=40000cm 500m=50000 cm Se calcula la escala para ello se halla el cociente del lado más pequeño del terreno y el lado más pequeño del triangulo a escala: Se calculan lados desconocidos del triángulo a escala para ello se dividen las longitudes de los lados del terreno entre la escala Por tanto, los lados pedidos miden 8 y l0 centímetros.

58. PROBLEMA Un pino en un momento del día, proyecta una sombra de 12 metros. En ese mismo momento, otro pino de 1,60 metros proyecta una sombra de 80 centímetros. Calcula su altura. Se pasan los centímetros a metros: 80 cm = 0,8 m Como los rayos solares son paralelos, forman ángulos iguales con la horizontal. Por tanto los triángulos formados por las sombras de los pinos son semejantes Luego si h, es la altura, en metros, del pino que proyecta la sombra de 12 metros se cumple que: Por tanto, la altura del pino es 24 metros.

59. PROBLEMA Halla la medida de los lados de un triángulo isósceles de 72 cm de perímetro sabiendo que la razón de un de los lados Iguales a la base es de 3 a 2. Se llama “x” a los lados iguales del triángulo. Se llama “y” al lado desigual. La razón de uno de los lados iguales con el lado desigual es: luego: x=1,5y Como el perímetro mide 72 centímetros, se cumple que: x + x+ y = 72 Se sustituye “x” por su valor y nos queda: 1,5 y +1,5 y + y = 72 4y = 72 Luego y = 18 Se calculan las medidas que son: 27, 27 y 18 centímetros. x x y

60. PROBLEMA Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 metros, sabiendo que es semejante a otro rectángulo tuyos lados miden 36 metros y 45 metros, respetivamente. Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal del rectángulo, d Se calcula la razón da semejanza entre los rectángulos Se calculan las lados del rectángulo utilizando razón de semejanza: 36.1,25 =45; 48.1,25=60 ; Luego las dimensiones del rectángulo son 60 metros de largo por 45 de ancho 75 m 36 m 45 m

61. PROBLEMA El extremo superior de una torre se ve desde un punto del suelo bajo un ángulo de 45º. La distancia al de la torre es de 30 metros. a) Dibuja a escala esta situación. b) Comprueba en el dibujo cuánto vale la altura de la torre. c) Halla su valor en la realidad. a) El dibujo a escala es el siguiente: b) En el dibujo del apartado anterior, se observa que el triángulo rectángulo es isósceles; por tanto, la altura de torre es igual a la distancia del punto al pie da a torre c) Por tanto, como la distancia al pie de la torre es 30 metros, la altura de la torre es 30 metros.

62. PROBLEMA Una bombilla pequeña se encuentra situada a 0,5 m encima de una mesa cuadrada de 1m de lado y justo en el centro de la mesa. La sombra sobre el suelo tiene de área 6,76 m 2 . Halla la altura de la mesa. 1/2 =0,5 m l/2 = Formamos la proporción 0,5 m X X = Altura de la mesa Resolviendo la ecuación , X altura de la mesa , es 0,80

63. PROBLEMA

64. PROBLEMA A las 12 del mediodía un abeto proyectaba una sombra de 10 metros. A la misma hora la sombra de un palo vertical de 1 metro mIde 0,4 metros. ¿Qué altura tiene el abeto? Como los rayos solares son paralelos, forman angulos iguales con le horizontaL 1 lo lO Si hes a altura del arbol, setiene: — —. h=— 25 La altura del abeto es 25 metros.