operacion

1. Función Compuesta
Sean :f A C y :g B D funciones tales que   ,f A B  
Entonces se llama función compuesta de g y f y lo denotamos por
     g f x g f x A la función definida por para cada valor de A,
tal que su imagen este en el conjunto B
Gráficamente podemos expresar la función compuesta de g y f de la
siguiente manera

2. Euler - Matemáticas I
Tema:
12 2Operaciones con funciones. Acotación
Rec(g)
Composición de funciones
La función h(x) = (2x - 1)2 es la composición de dos funciones: g(x) = 2x-1 y f(t) = t2
x 2x-1 = t t2 = (2x-1)2
R R
g
R
f
x (2x-1)2
h(x) = f(g(x)) = f(2x-1) = (2x - 1)2 = (f o g)(x)
R R R
Dom(g)
Rec(f)
g
f
Dominio de la composición de funciones
El dominio de fog está formado
por los x tales que
• x está en el dominio de g
• g(x) está en el dominio de f
Dom(f)
Dom(fog)
Rec(fog)

3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
• Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.
• Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones:
• (f o g)(x) = f [ g (x) ]
• (g o f)(x) = g [ f (x) ]
• Ejemplo_1
• Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 - 1
• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1)
• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2
• Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

4. • Ejemplo_2
• Sea f(x) = √ x ,, g(x) = x2
• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x
• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x
• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)
• Ejemplo_3
•
• Sea f(x) = √ x ,, g(x) = √ x2
• 3 6 3
• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ (√ x2 ) = √ x2 = √ x
• 3 3
• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = √ (√ x)2 = √ x
• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)

5. Para cada uno de los pares de funciones determine
  22
 xxf   2g x x 
  g f x
  2
2 6f x x    7 2g x x 
  2
1f x x x     1g x x 
 
2
1
f x
x


  2 3g x x 
 
1
1
x
f x
x



 
1
1
x
g x
x



a)
b)
c)
d)
e)

6. Operacionescon funciones
Suma de f y g       xgxfxgf 
      f g x f x g x  
      f g x f x g x  
 
 
 
  0
f xf
x g x
g g x
 
  
 
Sean :f A C :g B D
Resta de f y g
Producto de f y g
Cociente de f y g
dos funciones tal que
   Dom f Dom g  
y

7. Euler - Matemáticas I
Tema:
12 7Operaciones con funciones. Acotación
Suma y diferencia de dos funciones
Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones
se define:
• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f)  Dom(g)
• Diferencia: (f  g) (x) = f(x)  g(x). Por tanto: Dom(f  g) = Dom(f)  Dom(g)
X
Y
x
f(x) f(x) + g(x)
f(x) =
x
1 + x2 : Dom(f) = R
g(x) =
1
x
: Dom(g) = R – {0}
(f + g) (x) = f(x) + g(x) =
=
x
1 + x2 +
1
x
:
Dom(f + g) = R – {0}
g(x)
1

8. Euler - Matemáticas I
Tema:
12 8Operaciones con funciones. Acotación
Producto y cociente de dos funciones
Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas
funciones se define:
• Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x).
•Por tanto: Dom(f . g) = Dom(f)  Dom(g)
Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas
funciones y g(x)  0 se define:
• Cociente: (f / g) (x) = f(x) / g(x). Por tanto:
• Dom(f / g) = Dom(f)  Dom(g)  {x  R : g(x)  0}
4

9. Ejemplo de operaciones
Función fórmula dominio
f f(x) = x2 (–, )
g g(x) = 1 + x [-1, )
3f 3f(x) = 3x2 (–, )
f – g (f – g)(x) = x2 – 1 + x [-1, )
f g (fg)(x) = x21 + x [-1, )
f /g (f / g)(x) = x2 / 1 + x (-1, )
g /f (g / f)(x) = 1 + x / x2 [-1, 0)  (0, )