Expresiones algebraicas

ESCUELA NORMAL SUPERIOR MARCOS
SASTRE.
I. S. F. D. Nº 115.
ALGEBRA Y GEOMETRÍA I.
PROFESORADO PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA
Profesor: Noat, Guillermo Carlos
Expresiones Algebraicas
En el álgebra se observa que se emplean letras y otros símbolos para representar números
o cantidades conocidas y desconocidas en ecuaciones y desigualdades.
Ejemplos: bn
= b.b ......b ; 0bsi;
1
≠=−
n
n
b
b ; a (b + c) = a b + a c
Variables
Cuando se emplea una letra u otro símbolo a lo cual puede asignarse cualquier valor de
un conjunto de números dado o implícito, se le llama variable.
Las letras cercanas al final del alfabeto, como x, y, z, w para indicar variables.
Constantes
Las letras u otros símbolos también pueden usarse para designar números fijos, pero no
especificados, se les llama constantes.
Las letras cercanas al comienzo del alfabeto, como a, b, c para indicar constantes.
Ejemplo: La expresión a x + b, a y b representan constantes y x es una variable.
El término expresión algebraica se emplea para cualquier combinación de variables y
constantes que se forme utilizando un número finito de operaciones.
Ejemplos: a x2
; a x2
+ b x + c ;
byax
yx
−
+
2
3
; 1.7 c + 37 ;
yx
yx
72
7 23
−
+−
Alaniz Sara – Ares Oscar
1

Términos Algebraicos
Si una expresión algebraica consiste en partes unidas por signos más o menos, se le llama
suma algebraica. Cada una de las partes de una suma algebraica, junto con el signo que la precede,
se le llama término algebraico.
Ejemplo: Los términos algebraicos de la suma algebraica 5 x2
+ 4 x7
y - 3
7
y
x
son:
5 x2
; 4 x7
y ; - 3
7
y
x
Partes de un Término Algebraico
Cada término consta de dos partes. Una de ellas es el coeficiente y la otra contiene las
variables. El coeficiente es el producto de las constantes. Normalmente el coeficiente se escribe al
comienzo del término. Una variable sin coeficiente visible, se entiende que posee coeficiente uno.
Ejemplo:
1) El coeficiente del término 4 x 2
es 4.
2) El coeficiente del término 18 x 5
y es 18.
3) El coeficiente del término
6
9
7
y es
9
7
.
4) El coeficiente de x6
y z es 1.
5) El coeficiente de 4 π b x es 4 π b
Términos Semejantes
Los términos en que intervienen exactamente las mismas variables elevadas a
exactamente la misma potencia se llaman términos semejantes.
Ejemplo: 4 x y2
z4
es semejante a -27 x y2
z4
4 x y2
z4
no es semejante a 4 x2
y z4
.
Monomios
Una expresión algebraica con un solo término es un monomio.
Ejemplos: 4 x2
; -8 x z3
y7
;
7
5
7
yx ; 4 π a y3
z
Grado del monomio: La suma de los exponentes de la parte literal se llama grado del monomio.
Ejemplos:
1) 4 x2
tiene grado 2.
2) -8 x z3
y7
tiene grado 11.
2

3)
7
5
7
yx tiene grado 8.
4) 4 π a y3
z tiene grado 4
Operaciones entre Monomios:
Suma y Resta de Monomios
Para suma o restar monomios, se suman o se restan los coeficientes de términos
semejantes.
Ejemplos:
1) 3 x2
y + 5 x2
y = 8 x2
y
2) 7 x3
y3
- 2 x3
y3
= 5 x3
y3
3) 3 x2
y + y3
- 7 x2
y = y3
-4 x2
y
Importante: Sólo se pueden sumar o restar términos semejantes
Producto de Monomios
Cuando se multiplican monomios, se multiplican los coeficientes numéricos para obtener el
coeficiente numérico del producto. Luego se multiplican los factores re3stantes usando las reglas de los
exponentes:
Ejemplos:
1) (3 x3
) ( - 7 b x4
) = -21 b x7
2) (4 a x2
) ( 7 b x3
) = 28 a b x5
3) (-5 x y2
z3
) ( 3 x2
y2
) = -15 x3
y4
z3
4) ( )( ) 5443
632 yxyxyx =
Ejercitación
1) Identifique las variables y las constantes de cada expresión:
a) 4 x y b)
wt
x
3
5 2
c) 8π r2
2) Identifique los términos algebraicos de cada expresión:
a) 47 x4
- 9 y5
b) - 3 x5
-(4 a) + y
b
9
5
+





3) Identifique los términos semejantes:
a) 3 x2
y ; 17 x2
y ; 12 x y2
b) 3 x2
y ; 9 x y2
; 5 (x y2
) ; 6 ( x2
+ y )
4) Simplifique cada expresión algebraica:
3

a) 4 x + 7 x b) 5 y - 2 y c) 3 z - z
5) Multiplique los siguientes monomios:
a) (a2
x) (a x2
) b) ( b y2
) ( b2
y ) c) (3 a x ) ( 2 a x2
)
d) (5 b y) (3 b2
y) e) ( 2 x w2
z ) (-3 x2
w) f)(-4ya2
b) (6y2
b)
g) (3 x) (4 a x) (- 2 x2
b) h) (4 y) ( 3 y2
b) (-5 b y2
) i)
4
2
y
75 











y
bb
6) Con objeto de determinar el costo de ampliación de una carretera, se utilizaron diversas
comparaciones del costo. Estas condujeron a la siguiente expresión para determinar el costo total:
ppp
3
2
2
1
++ . Simplifique mediante la combinación de los términos semejantes.
Polinomios:
Llamaremos polinomios a la suma de monomios en los que, las variables estén
elevadas a potencias naturales o cero.
Ejemplos:
1) 2 x3
- 3 x2
+ 4 x + 1, una sola variable x; se lo escribe p(x)= 2 x3
- 3 x2
+ 4 x + 1
2) 2 x2
y – 5 x y3
dos variables x, y; se lo escribe p(x, y) = 2 x2
y – 5 x y3
3) 2x y + 3 z y - 4y tres variables x, y, z, se lo denota p(x, y, z)= 2x y + 3 z y - 4y
El grado del polinomio, está dado por el término de mayor grado.
p(x)= 2 x3
- 3 x2
+ 4 x + 1 tiene grado 3.
P(x, y) = 2 x2
y – 5 x y3
tiene grado cuarto.
p(x, y, z)= 2x y + 3 z y - 4y tiene grado 2
Definición:
Un polinomio con exactamente dos términos se lo denomina binomio.
Ejemplos: p(x, y)= a x2
+ b y ; p(x)= 4 x + 5 ; p(x, y)= 6 x6
- 9 y
Un polinomio con exactamente tres términos es un trinomio.
Ejemplos: p(x)= 3 x3
- 2 x + 1 ; p(x, y, z, w)= 2x y + 3 z y - 4 w
Operaciones entre Polinomios
Suma y Resta
Para suma o restar dos polinomios, se suman o se restan los coeficientes de términos
semejantes.
Ejemplos:
1) ( 3 x2
+ 2 x y -5 y) +(-6 xy + 6 x2
- 7 y) = 9 x2
- 4 x y -12 y
4

2) (4 y - 3 z + 4 x y) - (7 y - 8 z - 6 x y) = -3 y + 5 z + 10 x y
3) 3 x2
+ 2 x y - y3
- 8 x y = 3 x2
- 6 x y - y3
4) ( 2 x2
–5 x +3 )+( -3 x3
+ 2 x –1) = - 3 x3
+ 2 x2
–3 x + 2
5) (5 x7
- 3 x4
+ 3 x2
+2 x ) + ( -5 x7
+ 9 x6
+ 4 x +4.8 ) = 9 x6
- 3x4
+ 3 x2
+ 6 x + 4.8
Observación:
♦ En caso que, se suman dos polinomios de distinto grado, la suma es un polinomio que, tiene el
grado del mayor grado de los polinomios sumados.
♦ En caso que, se suman dos polinomios de igual grado, la suma es un polinomio que, tiene el
grado menor o igual al grado de los polinomios sumados.
Producto
Para multiplicar un polinomio por otro, cada término de un polinomios se multiplica por
cada término del otro polinomio. Es decir se usa la propiedad distributiva.
Ejemplos:
1) 4 x2
y (3x y2
+ 2 x3
y ) = (4 x2
y) ( 3 x y2
) + (4 x2
y ) (2 x3
y) = 12 x3
y3
+ 8 x5
y2.
2) ( x2
+ b ) (x + c) = x2
(x + c) + b ( x + c) = x3
+ c x2
+ b x + b c
Otro método consiste en multiplicar de la misma manera que con los números reales.
Cuando se emplea éste método, los términos semejantes se colocan en la misma columna.
Ejemplo:
5,2511088
10048
5024
5,202
502
5024
2345
2345
234
23
2
23
−−++−
++−
−++−
−++−
−−×
++−
xxxxx
xxxx
xxxx
xxx
,xx
xxx
Productos Especiales
 El producto especial (a + b) (a - b)
En el siguiente ejemplo se muestra un producto especial:
Ejemplo: (x + 4) (x - 4) = x2
- 4 x + 4 x - 16 = x2
- 16.
En general: ( a+ b ) ( a- b) = a2
- a b + a b - b2
= a2
- b2
Diferencia de cuadrados (a + b) (a - b) = a2
- b2
Ejemplos:
1) (x -7) (x + 7) = x2
- 49 obsérvese que 49= 72
2) (3 a + b) ( 3 a - b) = 9 a2
- b2
obsérvese que (3 a)2
= 9 a2
.
5

3)
22
4
9
16
2
3
4
2
3
4
yxyxyx −=





+





−
 El producto especial (a + b)2
Recordemos que (a+ b)2
= (a + b) ( a+ b), si multiplicamos obtenemos:
(a+ b)2
= (a + b) ( a+ b) = a2
+ a b + b a + b2
= a2
+ 2 a b + b2
Es decir: (a+ b)2
= a2
+ 2 a b + b2
A la expresión a2
+ 2 a b + b2
se la conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Observación: El resultado contiene los cuadrados de los términos primero y último. El término central
es el doble producto de a y b.
Cuadrado de un binomio: ( a + b)2
= a2
+ 2 a b + b2
( a - b)2
= a2
- 2 a b + b2
Ejemplos:
1) ( x + 3 y)2
= x2
+ 6 x y + 9 y2
2) (4 a - b)2
= 16 a2
- 8 a b + b2
3)
2
2
2222
4
3
4
3
44
3
4
3
2
2
24
3
2






+−=





+











−





=





−
c
x
ca
x
accaxaxcax
RECUERDE QUE: ( a + b)2
≠ a2
+ b2
( a - b)2
≠ a2
- b2
 El producto especial (a + b)3
Recordemos que (a+ b)3
= (a + b)2
( a+ b), teniendo en cuenta que:
(a+ b)2
= a2
+ 2 a b + b2
Sustituyendo, multiplicando, asociando y conmutando obtenemos:
(a+ b)3
= (a + b)2
( a+ b) = (a2
+ 2 a b + b2
) ( a + b) = a3
+ 3 a2
b + 3 a b2
+ b3
Es decir que: (a+ b)3
= a3
+ 3 a2
b + 3 a b2
+ b3
A la expresión a3
+ 3 a2
b + 3 a b2
+ b3
se la conoce como cuatrinomio cubo perfecto
Ejemplos:
1) 8 b3
+ 12 a b2
+ 6 a2
b + a3
= (2 b + a )3
2) y3
+ 3 y2
+ 3 y + 1 = ( y + 1 )3
3) x3
- 6 x 2
+ 12 x - 8 = ( x - 2 )3
Ejercitación
7) Simplifique cada expresión:
6

a) 10 w + w2
- 8 w2
b) 7 x y2
- 5 x2
y + 4 x y2
c) 4(a+b) + 3 (b+a)
d) 2( x + 3 y) - 3(x- 2y) + 5(2 x - y) e) ( )958176
3
1 4545
+−−+





−+− xxxxxx
8) Multiplique los siguientes polinomios:
a) (a +b) ( a+ c) b) (x+ 5 ) (x2
+ 6) c) (4 x2
- 2 x + 1) (3 x -2)
d) (a +8) ( a -8) e) (a x + 2) ( a x - 2) f) (3 x - 2) 2
g) ( 2 a + b)2
h) (a + 2)3
i) ( m- n)3
9) Un aeroplano usa su radar para medir el alcance R del eco dirigido a otro objeto. Si x representa la
distancia al punto eco de la tierra, entonces resulta la expresión siguiente:
(2 R- x)2
- x2
- R2
División de Polinomios
Cuando se hace una división entre números naturales sin sacar decimales, la división se
llama entera. Se obtiene un cociente y un resto, y se cumple:
Dividendo = divisor x cociente + resto
743= 29 x 25 + 18
resto < divisor
18 < 25
Los polinomios se disponen como en la división de números y ordenados por sus
potencias de mayor a menor. Los términos del cociente se obtienen en varios pasos, parecidos a la
división numérica.
Ejemplo: Divida (8 x5
– 2 x2
+ x3
– 3) por (-2 x2
+ 4 x3
+ x –1)
Solución:
Escribimos el dividendo y el divisor ordenados en potencias decrecientes:
Dividendo: 8 x5
+ x3
- 2 x2
– 3 y divisor: 4 x3
-2 x2
+ x –1
Luego observemos. ¿Faltan algunos términos en el dividendo? En ese caso, completemos con
coeficientes de cero.
En nuestro problema, el dividendo no tiene coeficiente en x4
y en x, en consecuencia el dividendo nos
queda de la siguiente manera:
8 x5
+ 0 x4
+ x3
– 2 x2
+ 0 x - 3.
Ahora estamos en condiciones de realizar la división:
1.-Dividamos el primer término del dividendo por
el primer término del divisor: 8 x5
: 4 x3
= 2 x2
8 x5
+ 0 x4
+ x3
– 2 x2
+ 0 x - 34x3
- 2x2
+ x -1
2 x2
2.- El término del cociente se multiplica por el
divisor. El producto se le resta al dividendo(o se le
cambia el signo y se suma).
8 x5
+ 0 x4
+ x3
– 2 x2
+ 0 x - 34x3
- 2x2
+ x -1
-8 x5
+ 4 x4
-2 x3
+2 x2
______ 2 x2
7
743 25
50 29
253
225
18
−
−

4 x4
- x3
+ 0 x2
+ 0 x –3
3.- Con 4 x4
- x3
+ 0 x2
+ 0 x –3 como nuevo
dividendo se repiten los pasos 1 y 2.
Así, se obtiene otro término del cociente de menor
grado: 4 x4
: 4 x3
= x
8 x5
+ 0 x4
+ x3
– 2 x2
+ 0 x - 34x3
-2x2
+ x-1
-8 x5
+ 4 x4
-2 x3
+2 x2
______ 2 x2
+ x
4 x4
- x3
+ 0 x2
+ 0 x –3
-4 x4
+ 2x3
- x2
+ x____
x3
- x2
+ x - 3
4.-El proceso continúa hasta que no se pueden
obtener más términos del cociente.
Resto: -
2
1
x2
+
4
3
x -
4
11
Cociente: 2 x2
+ x +
4
1
Grado(resto) < Grado(divisor)
8 x5
+ 0 x4
+ x3
– 2 x2
+ 0 x - 34x3
- 2x2
+ x -1
-8 x5
+ 4 x4
-2 x3
+2 x2
______ 2 x2
+ x +
4
1
4 x4
- x3
+ 0 x2
+ 0 x –3
-4 x4
+ 2x3
- x2
+ x____
x3
- x2
+ x - 3
-x3
+
2
1
x2
-
4
1
x +
4
1
__________________
-
2
1
x2
+
4
3
x -
4
11
La división está bien hecha si se cumple que:
Dividendo = divisor x cociente + resto
Grado (resto) < Grado (divisor)
División Exacta. Múltiplos y divisores
La división numérica es exacta si el resto es cero. La división entre 425 y 17 es exacta. Esto permite
expresar a 425 como el producto de dos factores: 425 = 17.25.
Expresemos esto con las siguientes frases, todas ellas equivalentes:
425 es divisible por 17 y por 25
17 y 25 son divisores o factores de 425
425 es múltiplo de 17 y de 25
Una descomposición en factores es completa si todos los factores son primos; entonces, la
descomposición es única:
425= 5. 5. 17 = 52
. 17
Con un polinomio se puede hacer lo mismo que con los números; descomponer en producto de
factores.
División Exacta de polinomios. Múltiplos y divisores
8

La división entre polinomios es exacta si el resto es cero.
La división (2 x3
+ 5 x2
+ 11 x - 7 ) : (2 x -1) es exacta. Se obtiene:
2x3
+ 5 x2
+ 11 x - 7 = (2 x -1) ( x2
+ 3 x + 7)
2x3
+ 5 x2
+ 11 x - 7 es divisible por (2 x -1) y por ( x2
+ 3 x + 7)
(2 x -1) y ( x2
+ 3 x + 7) son divisores de 2x3
+ 5 x2
+ 11 x - 7
2x3
+ 5 x2
+ 11 x - 7 es múltiplo de (2 x -1) y de (x2
+ 3 x + 7)
Regla de Ruffini:
Cuando el divisor es un polinomio de la forma x ± a , se puede aplicar el método ya
aprendido o aplicarse la regla de Ruffini, que prescinde de las variables.
Ejemplo: Dividir (3 y4
+ 0 y3
+y2
-5y+4) : (y +1), primero aplicando el método aprendido, y luego
aplicando la regla de Ruffini
3 y4
+ 0 y3
+y2
-5y+4 y +1________
-3y4
-3y3
3 y3
-3y2
+4y-9
- 3y3
+ y2
-5 y+4
3 y3
+3y2
____
4y2
- 5 y+4
-4y2
-4 y_____
-9 y + 4
9 y + 9
13
3 0 1 -5 4
-1 -3 3 -4 9
3 -3 4 -9 13
El polinomio cociente es 3 y3
-3y2
+4y - 9 ; y el polinomio resto es 13.
Valor Numérico de un polinomio. Teorema del resto
El valor numérico de un polinomio en x= a es el valor que se obtiene de sustituir a la
variable x por el número a y efectuar las operaciones indicadas.
Se obtiene un número al que denominaremos como p(a)
Ejemplo: El valor numérico de 3 x3
-3x2
+4x-9 en x= 1, x= 0 , x= -1, x= a
El valor numérico del polinomio en x= 1, es p(1) = 3 ( 1) 3
–3 ( 1)2
+ 4.1 -9 =- 5
El valor numérico del polinomio en x= 0, es p(0) = 2 ( 0) 3
–3 ( 0)2
+ 4.0-9 = -9
9

El valor numérico del polinomio en x= -1, es p(-1) = 3 (- 1) 3
–3 ( -1)2
+4.(-1)-9 = -19
El valor numérico del polinomio en x = a ( a un número real), es:
p(a) = 2 ( a) 3
– ( a)2
+4ª -9
Cuando el valor numérico del polinomio en x = a es cero se dice que a es raíz del polinomio o
cero del polinomio.
En el ejemplo x= -1 es raíz del polinomio P(x) =2 x3
– x5
+1
Teorema del Resto
El resto de dividir un polinomio p(x) de grado mayor o igual a uno, por otro de la forma x +
a, es el valor numérico del polinomio p(x) para x= a cambiado de signo.
Demostración:
p(x)  x + a
/ c(x) , de modo tal que p(x) = (x + a) c(x) + r ,
r
El resto de la división es r = p(-a),
En el ejemplo: ( 3 y4
+ 0 y3
+y2
-5y+4 ) : (y +1)
r = 3 (-1)4
+ 0 (-1) 3
+ (-1)2
– 5 (-1) + 4 = 13
Divisibilidad
Un polinomio p(x) es divisible por q (x) , cuando el resto de la división entre p(x) y q(x) es cero.
Ejercitación
10) Efectúe la división indicada en los siguientes ejercicios:
a) (23 x2
- 5 x4
+ 12 x5
- 12- 14 x3
+ 8 x) entre ( 3 x2
- 2 + x)
b) ( 10 a + 21 a3
- 35 + 6 a5
- 25 a4
+ 21 a7
- 14 a6
) entre (2 a + 7 a3
-7)
c) (x2
- y2
) entre ( x- y)
d) ( a2
- b2
) entre ( a+ b)
e) ( w3
- z3
) entre ( w - z)
f) (x3
+ y3
) entre ( x+ y)
11) Aplique la Regla de Ruffini, para realizar las siguientes divisiones:
a) (5 x3
+ 2 x2
- x + 8) : ( x+ 3)
b) (-2 x + 3 x2
- x3
+ 2 x4
+ x5
) : ( x- 2)
c) (x3
+ 43
) : ( x + 4)
d) ( a4
- 34
) : ( a - 3)
10

12) Aplique la Regla de Ruffini para encontrar el cociente y verifique el resto que se obtiene, aplicando
el Teorema del Resto:
2
3634 23
+
−+−
x
xxx
13) La expresión de la resistencia total de tres resistencias en un circuito eléctrico en paralelo es
213132
321
R RRRRR
RRR
++
Determine el recíproco de ésta expresión y efectúe la división indicada.
14) El área de un rectángulo está definida por ( x3
+ 6 x2
- 7 x) y la longitud de un lado del rectángulo es
x+7.
a) ¿Qué expresión algebraica describe el ancho de éste rectángulo?
b) Si x= 4 cm, ¿Cuáles son el largo, el ancho y el área de este rectángulo?
Factoreo de Expresiones Algebraicas
A fin de simplificar el proceso de resolución cuando operamos algebraicamente, resulta
conveniente, replantear distintas expresiones algebraicas, presentándolas como producto de dos o más
factores, esto es factorearlas.
Como su nombre lo indica entonces, factorear implica expresar un polinomio como producto de
dos o más factores.
Veamos brevemente los distintos casos desde el más simple.
Factor Común
Todos los términos del polinomio contienen un mismo factor numérico y/o lineal; en otras
palabras, cada término es divisible por un mismo monomio. Este se extrae como monomio que
multiplica a un nuevo polinomio que resulta de dividir a cada término del polinomio original.
Ejemplo: Factorear 5 x4
y2
- 10 x2
y3
- 15 x3
y2
Tiene como divisor máximo común a: 5 x2
y2
Luego puede extraerse como factor que multiplica a: x2
- 2 y - 3 x
Y esto implica que:
5 x4
y2
- 10 x2
y3
- 15 x3
y2
= 5 x2
y2
( x2
- 2 y - 3 x )
Factoreo por Grupos
A veces el polinomio que se quiere factorear, no contiene un factor común en todos los
términos, pero si por grupos.
Ejemplo: Factorear 3 a x+ b2
y + a y + 3 b2
x
11

Aplicando la propiedad asociativa y la conmutativa, se obtiene:
3 a x+ b2
y + a y + 3 b2
x = ( 3 a x + 3 b2
x) +( b2
y + a y ) factoreando en cada grupo:
= 3 x ( a+ b2
) + y ( a + b2
) factoreando en grupos
= ( a + b2
) ( 3 x + y)
Trinomio Cuadrado Perfecto
Recordemos que el cuadrado del binomio x+ y , es igual a la suma del cuadrado de las
bases más dos veces el producto de los mismos.
Ejemplo: Factorear x2
+ 2 x y + y2
Recordando lo trabajado en productos especiales:
x2
+ 2 x y + y2
= ( x + y )2
Cuatrinomio Cubo Perfecto
Cuatro términos, dos de los cuales son cubos perfectos; otro término es el triple producto del
cuadrado de la base del primero por el segundo y el cuarto es el triple producto de la base del primero
por el cuadrado de la base del segundo.
Ejemplo: Factorear 8 b3
- 12 a b2
+ 6 a2
b - a3
De nuevo aplicando uno de los productos especiales, se obtiene que:
8 b3
- 12 a b2
+ 6 a2
b - a3
= ( 2 b - a )3
Diferencia de Cuadrados
Consideremos el caso del binomio ( a2
- b2
), se puede factorear así:
( a2
- b2
) = ( a - b) ( a+ b)
Visto como un producto especial
Ejemplo: Factorear ( 9 - y2
)
Aplicando el producto especial (a- b) (a+ b) obtenemos:
( 9 - y2
) = (3- y) ( 3 + y)
Factoreo de la suma o diferencia de dos potencias de igual grado por la suma o
diferencia de sus bases
En primer lugar analizaremos si es posible factorear la suma de potencias por la suma o
diferencia de sus bases.
Ejemplos:
1) Factorear x5
+ 25
Como x= -2 es raíz del polinomio, el polinomio x5
+ 25
es divisible por x + 2, efectuando la división del
polinomio x5
- 25
por x +2 se obtiene:
12

x5
+ 25
x+ 2_______________
x4
- 2 x3
+ 4 x2
- 8 x + 16
/
0
En consecuencia: x5
+ 25
= ( x + 2 ) (x4
- 2 x3
+ 4 x2
- 8 x + 16)
2 ) Factorear x5
- 25
Como x= 2 es raíz del polinomio, el polinomio x5
- 25
es divisible por x - 2, efectuando la división del
polinomio x5
- 25
por x -2 se obtiene:
x5
- 25
x-2__________________
x4
+2 x3
+ 4 x2
+ 8 x + 16
/
0
En consecuencia: x5
- 25
= ( x- 2 ) (x4
- 2 x3
+ 4 x2
- 8 x + 16)
3) Factorear x6
- 26
Como x= 2 es raíz del polinomio, el polinomio x6
- 26
es divisible por x - 2, efectuando la división del
polinomio x6
- 26
por x -2 se obtiene:
X6
- 26
x-2______________________
x5
+2 x4
+ 4 x3
+ 8 x2
+ 16x + 32
/
0
Ceros o raíces de un polinomio
Definimos cero o raíz de un polinomio p(x) a aquel valor de la variable (x = x1) que hace cero el valor
numérico del polinomio. En símbolos
= ⇒1( ) 10xp x es raíz.
Pero si p(x1) = 0, por el Teorema del Resto, sabemos que el resto de dividir p(x) por (x – x1) es cero.
Decimos entonces que (x – x1) es divisor de p(x).
Todo polinomio de grado n, con n ≥ 1, admite n raíces y puede tener a lo sumo -n raíces reales.
Encontrar las raíces de un polinomio de grado uno o de grado dos es relativamente sencillo.
Cuando necesitamos encontrar raíces de un polinomio de grado tres o más debemos recurrir al
TEOREMA de GAUSS que expresa lo siguiente:
Si p(x) es un polinomio de grado n (n ≥ 1), con coeficientes enteros, término independiente no nulo y
admite al menos una raíz racional a/b (con a y b co-primos), entonces se verifica que:
a es divisor del término independiente
b es divisor del coeficiente principal
13

Ejemplo: Sea p(x) = 9x3
- 12x2
- 9x + 12, hallar sus raíces racionales.
Solución:
Los divisores de 12 (a) son: 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, - 2, - 3, - 4, -6, -12
Los divisores de 9 (b) son: 1, 3, 9, -1, - 3, - 9.
Luego las posibles raíces racionales (a/b) (enteras o fraccionarias) son 1,2,
3, 4, 6, 1/3, 1/9, 2/3;.... Y los respectivos valores negativos.
Sabemos que en este caso a lo sumo existen 3 raíces reales, para encontrarlas entre todas las posibles
mencionadas comenzamos a probar, hasta detectar el valor de una de ellas.
Verificamos que p(1) = 0, luego por el Teorema del Resto sabemos que (x - 1) es divisor de p(x).
Aplicando la Regla de Ruffini encontramos el polinomio cociente de dividir p(x) por (x - 1)
Por lo tanto
p(x) = (x - 1) (9x2
- 3x - 12)
Ahora continuamos buscando las raíces de 9x2
- 3x - 12, reiterando el procedimiento.
Recordemos que encontrar las raíces de un polinomio nos permite conocer los divisores del polinomio y
con ellos podemos factorizarlos.
Raíces simples y raíces múltiples
Cuando un polinomio tiene una raíz x1, sabemos que (x – x1) es divisor del polinomio.
Cuando efectuamos la división empleando la Regla de Ruffini, si sólo podemos dividir una sola vez por
dicho divisor, decimos que x1 es una raíz simple
En cambio si podemos dividir sucesivamente varias veces por el mismo divisor decimos que tiene raíz
múltiple.
El orden de la multiplicidad surge del número de divisiones sucesivas exactas que se pueden efectuar
con el mismo divisor.
Ejemplo: Sea p(x) = x3
+ 3x2
- 4x - 12 un polinomio que tiene como raíces x1 = 2, x2 = -2 y x3 = -3 Estas
son raíces simples pues sólo se puede dividir una única vez por (x - 2), por (x + 2) y por (x + 3).
Realicen la verificación correspondiente
Ejemplo: q(x) = x3
- 3x2
+ 4 comprobamos que una raíz es x1 = -1
q(-1) = (-1)3
- 3(-1)2
+ 4 = 0 → (x + 1) es divisor de q(x)
Aplicando la Regla de Ruffini verificamos que sólo se puede dividir una vez por (x + 1), pues cuando
efectuamos la segunda división el resto es distinto de cero. Por lo tanto -1 es una raíz simple
1 -3 0 4
-1 -1 4 -4
1 -4 4 0 = R
14

-1 -1 5
1 -5 9 = R
Trabajando con el cociente que resulta de la primer división (x2
– 4x + 4) y probamos que x2 = 2 es raíz
ya que
( )− × + = ⇒ −2
2 4 2 4 0 2x es divisor de p(x)
Aplicando la Regla de Ruffini verificamos que se puede dividir dos veces por (x - 2). Se puede trabajar
con el cociente que resulto de la primer división (por x + 1) o con el polinomio original. En este caso
concluimos que 2 es raíz con multiplicidad de orden 2 (o bien que es raíz doble).
1 -4 4
2 2 -4
1 -2 0 = R
2 2
1 0 = R
Factorización de un polinomio en una variable
Factorizar un polinomio es escribir dicho polinomio como producto de factores primos.
Para ello es necesario definir polinomio primo o irreducible
Un polinomio p(x), de grado mayor que cero, es primo o irreducible si y sólo sí todas las
descomposiciones de la forma p(x) = q(x) . c(x) son tales que alguno de sus factores es de grado cero.
Ejemplos:
1) p(x) = 7x - 3 p(x) = 7(x - 3/7) p(x) = 3(7/3x - 1)
p(x) es primo o irreducible por cuanto en todos los casos alguno de sus factores es de grado cero.
2) q(x) = x2
- 4x no es primo por cuanto se puede expresar
q(x) = x ( x - 4)
y ninguno de sus factores es de grado cero.
Factorización de Polinomio conociendo sus raíces
Si un polinomio
1 2
( ) 1 2 1 0...n n
x n np a x a x a x a x a−
−= + + + + + con a n ≠0, tiene n raíces reales x1, x2,… xn-1,
xn , se expresa como producto de su coeficiente principal por los factores primos mónicos de la forma (x
– x1), es decir
( ) ( ) ( ) ( )− −= × − × − × × − × −( ) 1 2 1 2...x n n np a x x x x x x x x
Ejemplo:
1) Sea p(x) = 9x3
- 12x2
- 9x + 12 un polinomio de grado tres, cuyas raíces son x1 = 1; x2 = -1 y x3 = 4/3,
expresado como producto de polinomios primos resulta
p(x) = 9 (x - 1) (x + 1) (x - 4/3)
15

2) Sea un polinomio que tiene una raíz simple en x1 = -1 y una raíz doble en x2 = 2, factorizado resulta
q(x) = (x + 1) (x - 2)2
Al desarrollarlo se obtiene:
q(x) = x3 - 3x2
+ 4
Expresiones algebraicas racionales o fraccionarias
Sean
−
3
2
81
x
x
con ≠ 9x y
−
−
2 3
5 1
x
x
con ≠
1
5
x
A expresiones algebraicas de esta naturaleza se las denomina EXPRESIONES ALGEBRAICAS
RACIONALES FRACCIONARIAS.
Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL NO ENTERA O FRACCIONARIA es el cociente indicado
de dos polinomios, si el del denominador no es el polinomio nulo (0) y no es de grado 0 (número real
distinto de cero).
O sea
( )
( )
x
x
p
q
con ( )≠ ∧ ≠( ) ( )0 0x xq gr q
Operaciones
1. Simplificación:
Sea
( )
( )
x
x
p
q
una expresión fraccionaria donde
p(x) = p1(x).h(x) y q(x) = q1(x).h(x),
entonces
×
= =
×
( ) 1( ) ( ) 1( )
( ) 1( ) ( ) 1( )
x x x x
x x x x
p p h p
q q h q
para valores de x que no anulen q(x).
Ejemplo:
Simplificamos la expresión:
−
−
2
2
36
3 18
x
x x
con ≠ ∧ ≠0 6x x
( ) ( )
( )
( )+ − +−
= =
− × −
2
2
6 6 636
3 18 3 6 3
x x xx
x x x x x
16

La expresión simplificada es,
( )+ 6
3
x
x
pero hay que tener presente que ≠ ∧ ≠0 6x x ; entonces la
simplificación es:
( )+ 6
3
x
x
con ≠ ∧ ≠0 6x x
Mínimo común múltiplo de polinomios (mcm)
Sea un conjunto de dos o más polinomios y tal que cada uno se halla expresado como producto de
factores primos o irreducibles, decimos que el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO entre ellos es el producto
de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente
Ejemplo:
Calculamos el mínimo común múltiplo entre:
−2
9x , + +2
6 9x x y + 3x
Al factorear resulta:
( ) ( )
( )
− = − +
+ + = +
2
22
9 3 3
6 9 3
x x x
x x x
x + 3 es primo
Entonces el mcm es ( ) ( )− +
2
3 3x x .
2. Adición y sustracción:
Sea
−
+ −
− −2
3 4 3 1
1
x
x x x x
con { }≠ 0;1x
determinamos el mcm entre los polinomios denominadores
x -1 es primo
x2
- x = x(x - 1)
x es primo
entonces el mcm es x(x - 1).
Se efectúa la operación de forma análoga a la adición y sustracción entre números racionales, así se
obtiene:
( )
( ) ( )
+ − − −− −
+ − = =
− − − −2
3 4 3 13 4 3 1 6 2
1 1 1
x x xx x
x x x x x x x x
3. Multiplicación:
Se procede de forma análoga a la multiplicación de números racionales.
17

Sea, por ejemplo:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
+ − + +− +
× × = × × =
+ + + − + + − ++
24 2
22 2 2 2
1 1 1 31 3 1 1
6 9 1 1 1 1 1 33
x x x x xx x x x
x x x x x x x xx
4. División:
Previamente definimos expresión reciproca de
( )
( )
x
x
p
q
a
( )
( )
x
x
q
p
para valores de x que no anulen p(x) ni q(x).
Luego:
= ×( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
:x x x x
x x x x
p r p s
q s q r
tal que ≠ ∧ ≠( ) ( )0 0x xr s
Ejercitación
15) Factoree los siguientes polinomios
a) 16 a8
b t + 64 a b9
t7
+ 8 a5
b3
t +40 a4
b t5
b) 65 a c + 16 c x - 14 x y - 35 a y
c)
344226
4
5
16
25
36
9
ypypyp −+
d) 64 x3
y3
- 24 x2
y2
+ 3xy -
8
1
e)
2264
16
9
25
4
qpzx −
f) a4
- 34
g) a3
m9
+ b6
c9
h) 1,2 a2
n3
z3
+ 0,8 a3
n2
z4
+ 4,2 a n5
z
i) 9 a c + 6 cm- 3 c x - 6 a2
- 4 a m + 2 a x
j)
394653263
27
8
ba2
2
9
8
27
cbccbaca −+−
k)
164
x10000
256
1
−a
l) x3
+ 43
m) 27 n3
- 64 r6
n) 2,4 b5
z3
- 1.2 b z2
+ 0.6 b2
z5
o) 16 p x z - 4 p x -24 p y z + 6 p y + 8 q x z - 2 q x - 12 q y z + 3 q y
p) 81 -x 8
16) Simplificar:
18

3223
22
8365427
4129
bbabaa
bbaa
+++
++
17) Resolver previo factoreo:
a)
( )222
44
2
93
2
baa
ba
b
a
−
−
+
b)
44
3
2
2
2
++
+
−
+ xx
x
x
c)
( )( )
x
x
x
x
x
xx
2
84
.
16
4
.
44x
24
4
2
2
2
−
−
−
+−
−+
d)
( ) ( ) 8x
b10-xb5
:
42x2
5105
32
−+++
++
xx
mbbxb
19

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