1. PRODUCTOS NOTABLES
DIVISIÓN ALGEBRAICA
COCIENTES NOTABLES
EQUIPO DE CIENCIAS

2. ESQUEMA DE LA UNIDAD
PRODUCTOS
NOTABLES,
DIVISIÓN
ALGEBRAICA,
COCIENTES
NOTABLES
PRODUCTOS
NOTABLES:
DIVISIÓN
ALGEBRAICA:
COCIENTES
NOTABLES:
DEFINICIÓN
TABLA DE
IDENTIDADES
CASOS
ESPECIALES
ELEMENTOS
CASOS
MÉTODOS DE
DIVISIÓN
TEOREMA DEL
RESTO
CONCEPTO
CASOS
TÉRMINO
GENERAL

4. APLICACIONES
¿Cómo calcularía el siguiente número?
2
1234568
2
1234567
Lo veremos al final de la clase…

5. PRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTOS
NOTABLES
SUMA Y DIFERENCIA
DE UN BINOMIO AL
CUADRADO
SUMA Y DIFERENCIA
DE UN BINOMIO AL
CUBO
IDENTIDADES DE
LEGENDRE, STEVEN
Y ARGAND
IDENTIDADES
CONDICIONALES
IDENTIDADES
ADICIONALES

6. ¿Qué son los Productos Notables?
• Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
se puede obtener sin realizar la multiplicación.

7. SUMA Y DIFERENCIA DE UN
BINOMIO AL CUADRADO
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x - y)² = x² - 2xy + y²
Por ejemplo:
• (x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9
• (a - 2)² = a² - 2(a)(2) + 2² = a² - 4a + 4
• (4y + 1)² = (4y)² + 2(4y)(1) + 1² = 16y² + 8y + 1
• (5n - m)² = (5n)² - 2(5n)(m) + (m)² = 25n²-10nm+m²
• (3+(-2b))2 = 3² + 2(3)(-2b) + (-2b)²=9 -12b + 4b²

8. SUMA Y DIFERENCIA DE UN
BINOMIO AL CUBO
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
= x3 + 3xy(x + y) + y3
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
= x3 - 3xy(x - y) - y3
Por ejemplo:
• (x+4)3 = x3 + 3(x)2(4) +3(x)(4)2 + 43 = x3 + 12x2+48x + 64
• (x-1)3 = x3 - 3(x)2(1) +3(x)(1)2 - 13 = x3 - 3x2+3x - 1

9. IDENTIDADES DE
LEGENDRE, STEVEN Y ARGAND
Identidad de Legendre
(x + y)² + (x – y)² = 2(x² + y²)
(x + y)² – (x – y)² = 4xy
EJEMPLOS:
1) (x + 7)2 + (x - 7)2 = 2(x2 + 72) = 2(x2 + 49) = 2x2 + 98
2) (x + 5)2 - (x - 5)2 = 4(x)(5) = 20x

10. IDENTIDADES DE
LEGENDRE, STEVEN Y ARGAND
Identidad de Steven
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ac)x + abc
EJEMPLOS:
1) (x + 2)(x - 9) = x2 + (2 - 9)x + (2)(-9) = x2 - 7x - 18
2) (x + 1)(x + 3)(x + 5) = x3 + (1+3+5)x2 + [(1)(3)+(3)(5)+(1)(5)]x + (1)(3)(5)
= x3 + 9x2 + 23x + 15

11. IDENTIDADES DE
LEGENDRE, STEVEN Y ARGAND
Identidad de Argand
(x² + xy + y²)(x² – xy + y²) = x4 + x²y² + y4
(x² + x + 1)(x² – x + 1) = x4 + x² + 1
EJEMPLO:
(x2 + 11x + 112) (x2 - 11x + 112) = x4 + (112) (x2) + 114
= x4 + 121x2 + 14641

12. IDENTIDADES CONDICIONALES
(a b c)2 a 2 b2 c 2 2(ab ac bc)
(a b c)3 a3 b3 c3 3(a b c)( ab ac bc) 3abc
Si: a + b + c = 0
Si a b c
0
Se cumple:
2
2
2
3
3
3
a + b + c -2(ab + ac + bc)
a + b + c 3abc
2
2
Si: a + b + c
Donde: a, b, c
2
ab + ac + bc
R
Se demuestra que:
a
b
c

13. IDENTIDADES ADICIONALES
 Diferencia de cuadrados
(a + b)(a – b) = a2 – b2
 Suma y diferencia de cubos
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

14. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1) Reducir:
A (2 3 3 2 )2 (2 3 3 2 )2
2) Si:
Hallar
3) Si: a + b = 5
ab = 2
Calcular: a3 + b3
4) Si:
Hallar: M = x3 + 3x + 8

15. TRIÁNGULO DE PASCAL
El triángulo de Pascal
mostrado es para un
binomio de grado 10.

17. EVALUACIÓN
1) Reducir:
M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 – x + 1) + 1
2) Si:
Calcular:
PIERRE DE FERMAT