Cap10 Oscilaciones Electromagneticas

1. Cuaderno de Actividades: Física II
10) OSCILACIONES
ELECTROMAGNÉTICAS
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 187

2. Cuaderno de Actividades: Física II
10.1) Circuitos LC
De la 2ª Ley de Kirchhoff :
q0 −
q
−L
di
≡0
i( t) C dt
C 1
→ q + Lq& ≡ 0
&
C
1
→q +
&& q ≡0
LC
Esta ecuación ya se ha encontrado en la mecánica clásica.
Simetría con
Movimiento Oscilatorio,MAS :
k
mx + kx ≡ 0, ω 2 ≡
&&
m
x ( t ) ≡ Asenωt + }
{ δ
k m
PE
0 x x
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 188

3. Cuaderno de Actividades: Física II
• Simetrías
MECANICA ⇔ ELECTROMAGNETISMO
x ⇔ q
k ⇔ C −1 , 1
C
m ⇔ L
 1 π 1
q ( t ) ≡ q0 sen  t + , ω2 ≡
 LC 2 LC
 1   1 π
i ( t ) ≡ q0   cos  t+ 
 LC   LC 2
2π
T≡ ≡ 2π LC
ω
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4. Cuaderno de Actividades: Física II
10.2) Circuitos RLC en serie
t ≡0 t >0
C L R
i ≡ i( t)
"⊕" f ≡ bv
k
m
PE
Fr m
0 x x
2ª Ley de Kirchoff :
q di
− − L − Ri ≡ 0 ← q ≡ q ( t )
C dt
&&  R
q +
 & 1 C
q + 

q ≡ 0
L   L 
−R
t
q ( t ) ≡ q (0)e 2L
sen { ωt + ϕ}
1 R
ω ≡ { ω0 + ωb2 }
1
2 2
; ω0 ≡
2
, ωb2 ≡
LC 2L
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 190

5. Cuaderno de Actividades: Física II
"⊕" f ≡ bv
k
2ª Ley de Newton : m
Fr ≡ − kx − bv ≡ ma
− bt
b k
→ && + x + x ≡ 0 → x ( t ) ≡ Ae 2 m sen { ωt + ϕ}
x &
m m
k b
ω 2 ≡ { ω02 − ωb2 } , ω02 ≡ , ωb ≡
m 2m
MECANICA ⇔ ELECTROMAGNETISMO
b ⇔ R
m ⇔ L
k ⇔ C −1 , 1
C
*La masa inercial, m, se relaciona con L pues las dos tiene carácter opositor.
*Si k es muy grande la deformación, x, es pequeña, a mayor k menor x;
análogamente, si el C es grande se tendría gran carga, q, por eso k se
-1
relaciona con C .
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 191

6. Cuaderno de Actividades: Física II
S6P8) El circuito mostrado tiene el condensador con carga Q.
a) Halle la ED en función de q(t)
b) Resuelva la ED
c) Grafique q(t) e I(t)
d) ¿Para que valores de resistencia la forma de q(t) será diferente?
10 Ω
45µF
8mH
b=R
k = 1/ C
m=L
&&  R
q +
 & 1 C
q + 

q ≡ 0
L   L 
R
wR =
2L
1
w0 = wk =
LC
m=L
Para wR < w0
→ MAA
Para wR = w0
→ M Amortiguado Critico
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 192

7. Cuaderno de Actividades: Física II
R 10
Para wR > w0 wR = =
2 L 2 × 8 ×10−3
1 1
w0 = wk = =
→ M SobreAmortiguado LC 8 × 10−3 × 45 ×10−6
L?
S6P28)
En el circuito que se muestre en la figura, el interruptor S está cerrado en el
instante t = 0, produciendo una corriente i1 a través de la rama inductiva y una
corriente i2 a través de la rama capacitiva. La carga inicial en el capacitor es
cero y la carga en el instante t es q2.
a) Deduzca lasexpresiones para i1 , i2 y q como funciones del tiempo.
Exprese su respuesta en términos de ε, L, C, R1, R2 y t. Para el resto del
problema, tome los siguientes valores para los elementos del circuito: ε = 48 V,
L = 8,0 H, C =20 µF, R1 = 25 Ω y R2 = 5000 Ω,
b) ¿Cuál es la corriente inicial a través de la rama inductiva? ¿Cuál es la
corriente inicial a través de la rama capacitiva?
c) ¿Qué valores tienen las
corrientes a través de la rama inductiva y de la rama capacitiva un tiempo
grande después de que el interruptor ha sido cerrado? ¿Qué se puede
considerar como un “tiempo grande”? Explique su respuesta,
d) ¿En qué instante t1 (exacto hasta dos cifras significativas) serán iguales las
corrientes i1 e i2 ? (sugerencia: Podría considerar el uso de los desarrollos en
serie para los exponenciales) e) Para las condiciones dadas en d) determine i1,
f) La corriente total a través de la batería es i = i 1 + i2 ,¿En qué instante t2
(exacto hasta dos cifras significativas) será igual a la mitad de su valor final?
+ ε
s
R1 L
R2 C
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8. Cuaderno de Actividades: Física II
Solución:
t = 0 : s ↓, q ( 0 ) = 0, ε = 48, L = 8, C = 20 µ , R1 = 25 ∧ R2 = 5k
di1
a ) De la 2da LK :1) + ε − R1i1 − L =0
dt
q di
2) − R2i2 − + L 1 + R1i1 = 0 ← q = i2
&
C dt
q
De ( 1) en ( 2 ) : − R2 q −
& + ε = 0 ( ojo : malla externa ! = )
C
q
ε − R2 q − = 0 { E c DiF " conocida "}
&
C
q = ε C ( 1 − e − t / R2C )
ε − t / R2C
i2 = q =
& e
R2
De ( 1) : + ε − Li1' − R1i1 = 0 { E C DiF " conocida "}
 q 
ε − R2 q − C = 0 

&

i1
+ ε − Li1' − =0
1
 
 R1 
 −
t
 1 

1  L  
ε  − 1 
Rt
i1 = ε 1 − e  R1   =  1 − e L 
R1   R1  
 
 
ε 48
b) i1 ( 0 ) = × ( 0 ) = 0 , i2 ( 0 ) = ≈ 10−2
R1 5 × 10 3
ε 48
c) i1 ( t → ∞ ) = = ≈ 2 , i2 ( t → ∞ ) = 0
R1 35
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9. Cuaderno de Actividades: Física II
t → ∞ : ?Kτ C = R2C = 5 x103 x 20 x10−6 = 0,1
L 8
τL = = = 0,32
R1 25
d ) t1 = ?/ i1 = i2
t
ε  − 11 
Rt
ε − R21C
i1 ( t1 ) =  1 − e L
 = i 2 ( t1 ) = e
R1   R2
i i1
2
10-2
i2
0 t1 t
x 2 x3
Usando: e x =1+x +
{ + L
2! 3!
t
ε  − 1 
Rt
ε − R21C
i1 ( t1 ) =  1 − e L  = i 2 ( t1 ) = e
R1   R2
1   R1   1  t1 
1 − 1 − L t1   = R 1 − R C 
R1    2  2 
R2 R1  t 
x t1 = 1 − 1 
R1 L  R2C 
R2 t 1 1
t1 = 1 − 1 → t1 = = ≈ 0, 0016
L R2C  R2 1   5 x10
3
1 
 +   + 
 L R2C   8 0,1 
48  25 x 0,0016

e) i1 ( t1 ≈ 1, 6 x10−3 ) =
−
−3
 1− e 8
 ≈ 9, 6 x10
25  
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10. Cuaderno de Actividades: Física II
f) i = i1 + i2
1 1
t 2 = ?/ i ( t2 ) = i ( t → ∞ ) = x 2 = 1
2 2
i ( t2 ) = i1 ( t2 ) + i2 ( t2 ) = 1
i1 ( t2 ) = 1
ε  − 1 t2 
R
i1 ( t2 ) = 1 − e L  = 1
R1  
48  − 2 
t
= 1 − e 0,32
 =1
25 



 25 
−0,32 ln 1 −  = t2 = 0, 24
 48 
S6P27) Considere un circuito RLC subamortiguado (débilmente amortiguado)
se pide determinar:
a) Una formula para la energía U = UE + UB almacenadas en los campos
eléctricos y magnético como función del tiempo. Establecer el resultado
en términos de la carga inicial Q0 del capacitor la resistencia R y la
inductancia L.
b) Muestre cómo dU/dt se relaciona con el cambio de energía que se disipa
en el resistor.
L
R S
C
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11. Cuaderno de Actividades: Física II
Solución:
w0 > wR
1 1 1 1 q 2 1 2 q 2 Lq 2
&
a ) EEM = U ≡ U E + U B ≡ C { ∆V } + LI 2 ≡
2
+ LI ≡ +
2 2 2 2C 2 2C 2
−R
t
q ( t ) ≡ q (0)e 2 L cos { ωt − ϕ}
dq  −R −Rt −R
t 
i≡I ≡ ≡ q(0)  e cos { ωt − ϕ } − ω e 2 L sen { ωt − ϕ} 
2L
dt  2L 
q 2 Lq 2 1  2 L 2  
−R −R 2
 t −R 
L 
& t
U≡ + ≡ q (0)e cos { ωt − ϕ} +  q (0)e 
& L 2
cos − wsen   
2c 2 2c 
 2
  L  

  
2
q (0) −R
t 1
  R2 Rw 

≡ e L
 cos 2 + L  2 cos 2 + cos sen + w2 sen 2  
{
2 c  4L L  1 R2 
  
− 2

 


 LC 4 L 
  

q2 ( 0) −R
1 R2 
cos { 2 ( ωt − ϕ ) } 
t
U≡ e L
 + Rw cos sen +
2 C 4L 
b) α) Por conservación de la E
2
Q0
E + E + ER ≡ Ei ≡
r
E
r
B
1 24
4 3 2C
Q02 Q2 Q2
EEM ≡ − ER ≡ 0 − ∫ { Ri 2 } dt ≡ 0 − ∫ Rq 2 dt
&
2C 2C 2C
→
d
dt
EM ≡ 0 −
d
dt
{ ∫ Rq& dt} ≡ −Rq&
2 2
d
→ EM ≡ − Rq 2
&
dt
β) Usando la Ec DIF
q2 1 2
EM ≡ U E + U B ≡
r r + Lq
&
2c 2
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12. Cuaderno de Actividades: Física II
 
 1  −R 
&
d 2 qq 2 Lqq
& &&&
EM ≡ + ≡ Lq  q +
& && q  ≡ Lq  q  ≡ − Rq 2
& &
dt 2C 2  1 24
4 3LC   L 
 
2
La EM disminuye y lo hace disipando energía a través de la R. (RI !)
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