1. Continuidad de una función de dos variables Una función f de dos variables es continua en un punto (x 0 , y 0 ) de una región abierta R si f (x 0 , y 0 ) es igual al limite de f (x , y) cuando (x , y) tiene a (x 0 , y 0 ). Esto es si : Se dice que f es continua en la región R si es continua en todos los puntos de R .

2. Ejercicio: Determina la continuidad de las siguientes funciones en el origen. a) b) c)

3. Propiedades de las funciones continuas de dos variables Si k es un número real y f, g son funciones continuas en un punto (x 0 , y 0 ), las funciones siguientes son continuas en (x 0 , y 0 ). 1. Múltiplo escalar: 2. Suma y diferencia: 3. Producto: 4. Cociente: si

4. Continuidad de las funciones compuestas Si h es continua en (x 0 , y 0 ) , y g es continua en h (x 0 , y 0 ) , la función compuesta (g ºh)(x , y)=g(h(x, y)) es continua en (x 0 , y 0 ).

5. Continuidad de una función de dos variables en una región R Puesto que las funciones racionales son continuas en todos los puntos de su dominio, f es continua en todos los puntos del plano xy excepto en la recta y=-x . a) b)

6. Derivada parciales de una función de dos variables ¿Cómo afecta a la función un cambio en una de sus variables independientes? ¿Cómo hallar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes? El procedimiento se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial

7. Derivada parciales de una función de dos variables Si z=f(x, y) , las primeras derivadas parciales de f con respecto a x e y son las funciones f x y f y definidas: y= constante x= constante

8. Notación para las derivadas parciales El valor de las primeras derivadas parciales en el punto (a, b ) se denota por: Dada , sus derivadas parciales se denotan por:

9. Ejercicio: Determina las derivadas parciales de las siguientes funciones.

10. Derivadas parciales de orden superior Derivar dos veces con respecto a x Derivar dos veces con respecto a y Derivar dos veces, primero respecto a x y luego a y Derivar dos veces, primero respecto a y y luego a x z z x z y z xx z xy z yx z yy

11. Derivadas parciales de orden superior Derivar dos veces con respecto a x Derivar dos veces con respecto a y Derivar dos veces, primero respecto a x y luego a y Derivar dos veces, primero respecto a y y luego a x Dada , sus derivadas parciales de segundo orden se denotan por:

12. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas o mixtas Sea f una función de x e y con f xy y f yx continuas en una región abierta R , entonces para todo (x, y) en R

13. Interpretación geométrica de la derivada parcial y=b

14. Interpretación geométrica de la derivada parcial

15. Interpretación geométrica de la derivada parcial es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto En forma análoga es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto

16. Interpretación geométrica de la derivada parcial Ejemplo: En lenguaje coloquial más simplificado, los valores de y en el punto dan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y . Halla la pendiente de la superficie dada por en el punto en las direcciones e .

17. Interpretación geométrica de la derivada parcial