Este documento describe el proceso de modelización de sistemas discretos que involucra aleatoriedad. Explica que la modelización implica identificar las entidades y reglas del sistema, representar el comportamiento aleatorio, y validar que el modelo representa válidamente al sistema real. También cubre temas como la generación de números aleatorios, distribuciones de probabilidad, pruebas de bondad de ajuste, y ejemplos de cómo modelar sistemas estocásticos.

1. MODELIZACIÓN DE LA
ALEATORIEDAD
EN SISTEMAS DISCRETOS
UNIVERSIDAD GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
ESCUELA DE INGENIERÍA
CARRERA DE ING. DE SISTEMAS
SIMULACIÓN DE SISTEMAS
RECOPILADO POR:RECOPILADO POR:
ING. HUVILMAR SALAZARING. HUVILMAR SALAZAR

2. PROCESO DE MODELIZACIÓNPROCESO DE MODELIZACIÓN
El proceso de modelización o construcción del modelo implica:
 Identificación de las entidades principales del sistema y de
sus atributos característicos.
 Identificación y representación de las reglas que gobiernan
el sistema que se quiere simular.
 Captación de la naturaleza de las interacciones lógicas del
sistema que se modeliza.
 Verificación de que las reglas incorporadas al modelo son
una representación válida de las del sistema que se
modeliza.
 Representación del comportamiento aleatorio.

3. PROCESO DE MODELIZACIÓNPROCESO DE MODELIZACIÓN

4. VALIDACIÓN DEL MODELO
 Es el proceso de llevar a un nivel
aceptable la confianza del usuario
referente a que acepte cualquier inferencia
acerca de un sistema que se derive de la
simulación.
 No existe la “prueba de validación”. En
lugar de esto, el experimentador debe
realizar pruebas a lo largo del proceso de
desarrollo del modelo, a fin de crear
confianza.

5. EXPERIMENTACIÓN Y ANÁLISIS DE
SENSIBILIDAD
 La experimentación con el modelo
(corrida) nos permite obtener la
información deseada.
 El análisis de sensibilidad consiste en la
variación sistemática de los valores de los
parámetros sobre algún intervalo de
interés y en la observación del efecto en la
respuesta del modelo.

6. MÉTODOS PARA VALIDAR EL
MODELO
 Debemos cerciorarnos de que el modelo tenga validez de
forma general.
 Es posible que el modelo dé respuestas absurdas s i se
lleva los parámetros a valores extremos ?
 El segundo y tercer método se basan en la prueba de
suposiciones y en la prueba de transformaciones de
entrada-salida. Estas conllevan el uso de pruebas
estadísticas de medias y varianzas, regresión, análisis de
factores, autocorrelación, pruebas no paramétricas, etc.

7. DIAGRAMA DE FLUJOGRAMADIAGRAMA DE FLUJOGRAMA

8. LAYOUT
DE PROCESOS

9. COMO COMPRENDER LOS
PROCESOS DE NEGOCIO
 Para comprender, estudiar y mejorar los
proceso de negocio, primero tenemos que
identificarlos, definirlos y descubrir tanto
su estructura como sus relaciones.
 Los procesos de negocio no son analizados
como cajas negras.
 Para lograr esto, realizamos una
descomposición funcional del negocio.

10. FUNCIONES Y PROCESOS DE
NEGOCIO
 Una función es un grupo de actividades de alto
nivel que juntas apoyan un aspecto del negocio.
 Los procesos de negocio también son
agrupamientos de actividades, pero ocurren a un
nivel inferior.
 La ejecución de un proceso tiene sentido para el
negocio; es una actividad que se inicia por un
evento.

11. CÓMO MODELAR EL SISTEMA ?

12. CÓMO SE MODELAN LOS
PROCESOS ?
 Se usan gráficos (generalmente cajas y flechas)
para proveer los datos acerca de la estructura del
sistema, razón por la que la mayor parte de la
gente piensa en modelos de procesos como
representaciones pictóricas.
 Con el modelamiento de procesos se puede mirar
el sistema de interés con profundidad, de modo
que delicados matices de su organización puedan
ser analizados, comprendidos y tal vez lo mas
importante, comunicados a otros.

13. MODELAMIENTO DE PROCESOS
IDEFØ
 Modelamiento de actividades IDEFØ o
Procesos de Negocio, es una técnica para
analizar el sistema total como un conjunto
de actividades o funciones
interrelacionadas.
 Las actividades (verbos) del sistema son
analizadas independientemente del o de los
objetos que los llevan a cabo.

14. IDEFØ: QUE ES ?
Una técnica para modelar :
 Funciones :
• actividades
• acciones
• procesos
• operaciones
 Relaciones funcionales y datos
(información y objetos) de un sistema o
empresa.

15. IDEFØ Es…
 Lenguaje de modelamiento gráfico
(sintaxis y semantica) + metodología para
desarrollar modelos de procesos (utiliza
técnica ICOM).
 Describe :
– que hace un sistema
– que controles tiene
– sobre que trabaja
– como ejecuta sus funciones
– que produce
 En resumen IDEFØ = gráfico + texto +
glosario

16. ICOM
 Inputs
– Items consumidos o transformados por procesos
– Ejemplo : materiales, información, capital, energía, ...
 Controles
– Restricciones o gobierno del proceso
– Ejemplos : lineamientos, reglas de negocio, políticas, ...
 Outputs
– Resultados del proceso, esto es una entrada transformada
– Ejemplos : materiales, información, ...
 Mecanismos
– Recursos utilizados para producir la salida (usada por los
procesos)
– Ejemplos : personal, sistemas, equipos, ...

17. IDEFØ
 La actividad (o función) es
representada por una caja.
 Inputs son representados
por la flechas fluyendo
hacia el lado izquierdo de la
caja.
 Outputs son representados
por flechas fluyendo desde
el lado derecho de la caja.
 Flechas que fluyen hacia la
parte superior de la caja
representan restricciones o
controles.
 Flechas fluyendo hacia el
lado inferior de la caja son
los mecanismos.
El Orden de las cajas no implica
necesariamente una secuencia !!
La descomposición es Top Down !!

21. EJEMPLO DE MODELACIZACIÓNEJEMPLO DE MODELACIZACIÓN

22. QUE SIGUE…QUE SIGUE…
 Una vez identificados y
comprendidos los procesos
u actividades, se define la
situación problema.
 A continuación se
identifican las variables del
vector de estado (var.
aleatorias), para luego
observar y registrar su
comportamiento (muestra).
 Se organiza la data
recogida y se plotea,
procediendo a plantear una
hipotesis nula H0.

23. GENERACIÓN DE NUMEROSGENERACIÓN DE NUMEROS
ALEATORIOSALEATORIOS
 Números Random ( #r )
Son números reales (r) distribuídos
uniformemente en el intervalo [0,1].

24. Algoritmos para generar #r
Algoritmos congruenciales :
 Mixto : #ri+1 = ( a + b #ri)Mod(m)
 Multiplicativo : #ri+1 = ( b #ri)Mod(m)
EJEMPLO: Generar 2 números aleatorios de módulo
8 con constantes a= 7 y b= 5 y una semilla r0 = 4.
ri+1= (5ri + 7)MODULO(8)
r1= 27 MODULO (8) = 3
r2= 22 MODULO (8) = 6

25. Restricciones para los
parámetros de algoritmo
 a, b, m y r0 deben ser mayores que cero (0).
 r0 no debe ser múltiplo de 2 ni de 5.
 a debe ser impar.
 a y m deben ser primos entre si.
 b = 200t ± z tal que :
 z = 3,11,13,19,21,27,29,37,53,59,61,67,69,77,83,o 91.
 t = 1,2,3,4,5, ...
 m = 10d y d ³4 (d # de bits de una palabra del
computador)
 Periodo máximo m/20

26. Parámetros y Variables
En un experimento se tiene información o
datos de dos tipos:
 PARÁMETROS: permanecen sin cambio
durante todo el tiempo que dura el
experimento. Ejemplo Pi=3.14
 VARIABLES: cambian durante el
experimento. Ejemplo r1= 0.25, 0.11, 0.014

27. Variable Aleatoria
 PROCESO ESTOCASTICO: experimento
donde no es posible conocer de antemano
los resultados obtenidos para cada valor
de una variable. Se cumplen las
propiedades de la teoría de probabilidad
para las variables asociadas. Ejemplo:
Servicio de Atención, Semáforo, Red de
Comunicación, Central Telefónica.
 VARIABLE ALEATORIA: variable en un
proceso estocástico.

28. Distribución de probabilidad

29. Tipos de Distribución
Probabilidad
 CONTINUAS: los valores de las VA están
en algún rango de los números reales y
cubren entre todos ellos todo el rango.
 DISCRETAS: los valores de las VA
pertenecen a algún rango de los enteros o
reales. Entre dos valores de la VA hay por
lo general una infinidad de valores que no
se asocian a la variable aleatoria.

30. Funciones Generadoras de
Valores Aleatorios
 Para reproducir el comportamiento de los
sistemas a través de los modelos, es necesario
reproducir el comportamiento de los objetos del
sistema, a través de la reproducción de las
actividades en las que intervienen, especialmente
las relacionadas con variables aleatorias.
 Recogemos una muestra de datos para cada
variable identificada, realizamos el ajuste
correspondiente a alguna función de probabilidad
conocida o no.

31. FUNCIONESFUNCIONES
GENERADORAS DEGENERADORAS DE
VALORES ALEATORIOSVALORES ALEATORIOS

32. Método de la
Transformación Inversa
 Muchas de las
Funciones de
Distribución de
probabilidad
acumuladas son
univalentes de allí
que tienen inversa.

33. Uniforme Continúa (UC)

34. Exponencial Negativa (Exp)

35. Lineal (Lin)

36. Normal (Norm)

37. Bernoulli (Bern)

38. Binomial (Bin)

39. Poisson (Pois)

40. Uniforme Discreta (UD)

41. Ejemplos
 Ejemplo1: Sea f(x)= 2 x , 0 = x = 1
Entonces M = 2 y g(x)= 2x/2 = x
a. Generar r1 y r2
b. x = a + (b – a) r1 = 0 + (1 - 0) r1 = r1
c. Si r2 = r1 entonces x es observación, de lo contrario volver a
generar r1 y r2.
 Ejemplo2: Sea f(x)= 2x/9 para 0 = x = 3, entonces
M=2/3 y g(x)= (2x/9)/(2/3)= x/3
a. Generar r1 y r2
b. x= a + (b - a)r1 = 0 + (3 - 0)r1 = 3r1
c. Si r2 = g(x) = x/3, así r2 = 3 r1/3 = r1, o sea si r2 = r1,
entonces x
es observación, de lo contrario volver a generar r1 y r2.

42. Pruebas de Bondad de Ajuste
 Estas pruebas nos permiten determinar si
la muestra de los datos recogida, respecto
a una variable aleatoria de interés para el
estudio, se puede aproximar a partir de
una función de distribución de probabilidad
teórica (H0).
H0 : “No existe diferencia significativa entre los datos
observados y los que se obtendrían a partir de una
distribución ............ (distribución de probabilidad teórica)”.

43. Prueba de Ji-Cuadrado

44. Ji-Cuadrado ...

45. Prueba de Kolmogorov -
Smirnov
 Es recomendable para muestras cuyo tamaño
esta comprendido entre 10 y 100.
 Se determinan las frecuencias relativa y
acumulada de los valores observados, y la
probabilidad teórica y acumulada para la
distribución teórica.
 El estadístico K/S calculado se determina a
partir de la máxima de las diferencias
absolutas entre la frecuencia y probabilidad
acumuladas.
 El estadístico K/S teórico se obtiene de tablas
dado un a (nivel significancia) y n (tamaño
muestra).
 Se acepta H0 si se cumple que :

46. Tabla de Kolmogorov/Smirnov
para una(1) muestra

47. Ejemplo 1

53. Recomendaciones
 Dada una muestra de tamaño n para una variable aleatoria,
se puede utilizar la Fórmula de Sturges para aproximar el
número de intervalos en los que se les puede agrupar :
K = 1 + 3.3 log n
 Dado que se tienen que aproximar los parámetros de la
distribución de probabilidad teórica, se pueden utilizar las
siguientes relaciones :

57. EJEMPLO 4EJEMPLO 4
 Los alumnos de la Metodología de Investigación están distribuidos
entre 60% para la especialidad de Sistemas y 40% para la
especialidad de Informática. Se desea simular la cantidad de
alumnos de la especialidad de Sistemas que figuran dentro del
arribo de un grupo de cuatro alumnos.
 Estamos al frente de un comportamiento Binomial, el cual
simulamos a través de comportamientos Bernoulli.