Guía - taller que explica la noción de probabilidad condicional con varios ejemplos, y se dejan al final algunos ejercicios de refuerzo.

1. Probabilidad condicional
Institución Educativa Naranjal
Ing. José Noé Sánchez Sierra
Permite calcular la probabilidad de que un evento
ocurra si ocurre otro. Se escribe y se calcula:
( ∩ )
( | )=
( )≠0
( )
Se lee: probabilidad de que ocurra un evento B dado
que ocurra un evento A.
Ejemplo 1:
Una persona lanza una moneda tres veces ¿cuál es la
probabilidad de obtener 3 caras dado que salió por lo
menos una cara en la prueba anterior?
Solución
Primero, hallo el espacio muestral de lanzar tres
veces una moneda, teniendo en cuenta c:cara, s:sello.
={
,
,
,
,
,
,
}
,
Recuerde que el cardinal, es el número de elementos
( )=8
del espacio,
( ∩ ) 1
=
( )
8
Sexto, aplico la fórmula de probabilidad condicional, y
la regla del teléfono, u oreja o banano (extremos por
extremos, y medios por medios) para simplificar los
fraccionarios.
1
( ∩ ) 8 1
( | )=
= =
7 7
( )
8
R/: La probabilidad de obtener 3 caras dado que salió
al menos una cara en la oportunidad anterior es de
1/7.
( ∩ )=
Ejemplo 2:
Existen casos que solo basta con analizar el ejercicio,
sin necesidad de aplicar la fórmula de probabilidad.
Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por
una, de una bolsa que contiene 12 semillas de flores
(R) rojas y 6 de flores (B) blancas. ¿Cuál es la
probabilidad de qué:
a. La primera sea roja?
b. La segunda semilla sea blanca, dado que la
primera fue roja?
Solución
Segundo, hallo el espacio muestral del evento A, el
cual será que por lo menos hay una cara en los tres
lanzamientos. Por tanto, tomando el espacio muestral
“S” simplemente elimino el elemento donde no hay
caras, y obtengo:
={
,
,
,
,
,
,
Cuarto, hallo la intersección entre A y B, recuerde que
la intersección corresponde a los elementos comunes
entre ambos conjuntos, en este caso, solo hay uno,
por tanto, nos queda:
( ∩ )=1
} ;
Quinto, según la fórmula de probabilidad condicional
necesito las probabilidades del suceso A y la
intersección entre A y B, para ello utilizo la regla de
Laplace, que no es otra que dividir los cardinales,
como se muestra a continuación:
( )=
( )
( )
=
Semillas
Rojas
Blancas
Total
( )=7
}
Tercero, me falta hallar el espacio muestral del evento
B, donde todos son caras:
( )=1
= { }
( ∩ )={
Primero, hago un conteo del total de casos posibles,
para ello organizó los datos en una tabla:
=
7
8
Cantidad
12
6
18
Segundo, hallo la probabilidad de que sea roja.
( )=
(
=
)
12 6 2
= =
18 9 9
Tercero, hallo la probabilidad de que la segunda
semilla sea blanca, pero como ya saque una roja de la
bolsa, el total cambia, de 18 pasa a ser 17.
( | )=
(
Ejemplo 3:
Se lanza un dado, hallar la
probabilidad de que salga un
número 2, si sabemos que
sale un número par.
)
=
6
17

2. Solución
Ejercicios
Para solucionar este ejercicio, seguiré el mismo
procedimiento que en el ejemplo 1.
1. Se lanza un dado, hallar la probabilidad de
obtener el número 5, si sabemos que obtuvimos
un número mayor que 3. (desarróllelo de las dos
maneras)
2. Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una
por una, de una bolsa que contiene 15 semillas de
flores (R) rojas y 7 de flores (B) blancas. ¿Cuál es
la probabilidad de qué:
Manera formal
Primero, hallo el espacio muestral de lanzar un dado
( )=6
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Segundo, hallo el espacio muestral del evento A,
donde sale un número par:
( )=3
= {2, 6, 8}
Segundo, hallo el espacio muestral del evento B, que
es que salga un dos:
( )=1
= {2}
Cuarto, hallo la intersección entre A y B, recuerde que
la intersección corresponde a los elementos comunes
entre ambos conjuntos, en este caso, solo hay uno,
por tanto, nos queda:
( ∩ ) = {2} ;
( ∩ )=1
Quinto, según la fórmula de probabilidad condicional
necesito las probabilidades del suceso A y la
intersección entre A y B, para ello utilizo la regla de
Laplace, que no es otra que dividir los cardinales,
como se muestra a continuación:
( )=
( )
( )
=
=
3 1
=
6 2
( ∩ ) 1
=
( )
6
Sexto, aplico la fórmula de probabilidad condicional, y
la regla del teléfono, u oreja o banano (extremos por
extremos, y medios por medios) para simplificar los
fraccionarios.
1
( ∩ ) 6 2 1
( | )=
= = =
1 6 3
( )
2
( ∩ )=
a. La primera sea roja?
b. La segunda semilla sea blanca, dado que la
primera fue roja?
c. La segunda semilla sea roja, dado que la
primera fue roja?
3. Una persona lanza una moneda cuatro veces
¿cuál es la probabilidad de obtener 3 caras dado
que salió por lo menos una cara en la prueba
anterior?
4. En una empresa hay 75 empleados, de los cuales,
40 son encargados de sección, y 35 son
administrativos. Algunos de ellos utilizan
ordenador para sus tareas, y otros no. Tal como
se muestra en la siguiente tabla:
Encargados
Administrativos
Total
Sin
Ordenador
8
20
28
Con
Ordenador
32
15
47
Total
40
35
75
Calcular la probabilidad de que al elegir una
persona
de
la
empresa
sea
un
encargado, sabiendo que no tiene ordenador.
(Clave: la intersección es la suma de cada
columna, el total de sin ordenador, es una
intersección, y con ordenador otra)
5. Explique la solución del siguiente ejercicio:
R/: La probabilidad de obtener 2 después de sacar un
número par a lanzar un dado es de 1/3.
Otra forma de solucionarlo.
Si al lanzar el dado obtengo un número par, mi nuevo
espacio de muestro pasa de ser 6 a 3 elementos, y de
allí solo tengo una sola oportunidad, es decir, 1 de 3.
Por tanto, la probabilidad de obtener un dos, después
de haber sacado un número par al lanzar el dado es
de,
1
( | )=
3
Tarea:
Dar dos ejemplos de diagrama de árbol (investigue)