CALCULO VECTORIAL

1. FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL
Licenciado: Julio Cesar Barreto García 1 Materia: Matemática III
VECTORES: Norma de un vector:
uuu n
u
22
2
2
1
 
Vector unitario:
u
u
Producto punto o producto escalar:


n
i
nnii vuvuvuvuvu
1
2211 
Cosenos directores:
1)(cos)(cos)(cos
;)cos(,)cos(,)cos(
222
321




u
u
u
u
u
u
Angulo entre dos
vectores:
vu
vu 
)cos(
Componente de v a lo largo de u:
)cos()cos(  v
u
vu
u
vu
vcompu 


Producto cruz o producto vectorial:
2222
)(
)(
vuvuvu
senvuvu

 
Área del paralelogramo generado
por u y v: vuA 
Área del triángulo
es la mitad del área
del paralelogramo
generado por u y v
Producto cruz o producto vectorial:
)()()( 212131313232
321
321
uvvukuvvujuvvui
vvv
uuu
kji
vu


Triple producto escalar:
321
321
321
)(
www
vvv
uuu
wvu 
Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w:
)( wvuV 
Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen
del paralelepípedo generado por u, v y w.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO:
Ecuación vectorial de la recta: tvrr  0 : donde v es el
vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.
Ecuaciones simétricas de la recta:
0; 321
3
0
2
0
1
0






vvvcon
v
zz
v
yy
v
xx
Ecuaciones paramétricas de la recta:
30
20
10
tvzz
tvyy
tvxx



Ecuación vectorial del plano: 0)( 0  rrn donde n es
el vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).
Ecuación escalar del plano que pasa por
P0=(x0,y0,z0) y tiene como vector normal a
n =(a,b,c):
0)()()( 000  zzcyybxxa .
Ecuaciones paramétricas del plano:
330
220
110
sutvzz
sutvyy
sutvxx


 Distancia de un punto Q a un plano:
222
000
)(
cba
dczbyax
n
nPQ
PQcompD n





Distancia de un punto Q a una recta L está dada por:
u
uPQ
D



, donde P es un punto cualquiera de la recta.
SUPERFICIES:
Una superficie de revolución tiene la
ecuación:
x2
+ y2
= [r(z)]2
girando en torno al eje z
y2
+ z2
= [r(x)]2
girando en torno al eje x
x2
+ z2
= [r(y)]2
girando en torno al eje y
Superficies cuadráticas:
Ax2
+ By2
+ Cz2
+ Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0
Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una
hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular
recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide
elíptico, paraboloide hiperbólico.

2. FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL
Licenciado: Julio Cesar Barreto García 2 Materia: Matemática III
DERIVADAS PARCIALES:
Derivadas parciales de orden superior:
xyxyxy
yyyxxx
ff
yx
f
y
yxf
xy
ff
xy
f
x
yxf
yx
ff
yy
f
y
yxf
y
ff
xx
f
x
yxf
x
































































),(;),(
),(;),(
22
2
2
2
2
Gradiente de z=f(x,y) ),(),( yx ffyxf  .
Gradiente de w=f(x,y,z) ),,(),,( zyx fffzyxf 
Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector
normal a la superficie z está dado por:
),,(),,( zyx FFFzyxF 
La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la
dirección del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0)
está dada por:
)),(),,((),(
),(),(
000021
0000
yxfyxfuu
yxfuyxfD
yx
u


Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el
punto (x0,y0) entonces:
dyyxfdxyxfdzz yx ),(),( 0000 
La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)=
0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:
  0,,),,( 000000  zzyyxxzyxF
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano
tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:
  0,,)1),,(),,(( 0000000  zzyyxxyxfyxf yx
La ecuación de la recta normal a la superficie
F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:
tzyxFzztzyxFyytzyxFxx zyx ),,(;),,(;),,( 000000000000 
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la
recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:
tzztyxfyytyxfxx yx  0000000 ;),(;),(
Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:
dy
y
z
dx
x
z
dz






REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión)
Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz






REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión)
Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
























;
DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en
donde z=f(x,y), entonces:
z
F
y
F
F
F
y
z
z
F
x
F
F
F
x
z
z
y
z
x














;
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).
Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2
xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces:
1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)<0
2. f(x0,y0) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)>0
3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0 4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar
(minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá resolver el sistema:
0;0;0
)),((),(),,(












H
y
H
x
H
cyxhyxfyxHSEA
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS:




20;0
0,0)(tan2
0)(tan
0,0)(tan
;;;)(;)cos(
),,(
1
1
1
222













r
yxsixy
xsixy
yxsixy
ryxzzrsenyrx
zrSCILINDRICA














0,0)(tan2
0)(tan
0,0)(tan
);/(cos;
0;20,0);cos();()();cos()(
),,(
1
1
1
1222
yxsixy
xsixy
yxsixy
zzyx
zsensenysenx
ESFERICAS





3. FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL
Licenciado: Julio Cesar Barreto García 3 Materia: Matemática III
CAMBIO DE VARIABLE:
θdφdρ)dφsen(ρ))φcos(ρ),θ)sen(φsen(ρ),θ)cos(φsen(ρf(z)dxdydzy,f(x,:ESFERICAS
dzθdrdrz)),θrsen(),θf(rcos(z)dxdydzy,f(x,:SCILINDRICA
θdrdr))θrsen(),θf(rcos(y)dxdyf(x,POLARES
2
QS
R Q
R Q

 
 



SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:
  
    
.
)(
)()(
)('
)('')('
)('
)('
)(),(
''
''''''
)(
'1
''
)(
)()(
)()()(
)(
)()(
)()(
)()()(
)('
)('
)(
)('
)('
)(
)()()('')(
)(')(
)(')(
:,ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
ˆ)(ˆ)()(
2
3
2322
2
3
2
2
22
2
2
ESPACIOELEN
CURVASAAPLICANSESOLOSVECTORIALEPRODUCTOSCONFORMULASLASQUERECUERDE
tv
tNta
K
tr
trtr
tr
tT
K
ESPACIOELENOPLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS
tyytxxPORDADAC
yx
xyyx
K
xfyPORDADAC
y
y
K
PLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS
dt
ds
K
tv
tatv
atatNtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE
dt
sd
tv
tatv
tTtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE
tNtTtBBINORMALVECTOR
tT
tT
tNUNITARIOPRINCIPALNORMALVECTOR
tr
tr
tTUNITARIOTANGENTEVECTOR
tNatTatrtaNACELERACIOVECTOR
tr
dt
ds
tvRAPIDEZ
trtvVELOCIDADVECTOR
ENTONCESESPACIOELENCURVAktzjtyitxtr
PLANOELENCURVAjtyitxtr
TN
T
NT































     
R R
yx dAyxfyxfdS
SUPERFICIELADEAREA
22
),(),(1
LONGITUD DE ARCO
       
b
a
b
a
dttztytxdttrs
222
)(')(')(')('
INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO
REALIZADO)








CC
CC
b
aCC
PdzNdyMdxdrFENTONCESktzjtyitxtr
PORDADAVIENECYkPjNiMzyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI
NdyMdxdrFENTONCESjtyitxtr
PORDADAVIENECYjNiMyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI
dttrtztytxFTdsFdrF
ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
ˆˆˆ),,(
ˆ)(ˆ)()(
ˆˆ),(
)('))(),(),((

4. FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL
Licenciado: Julio Cesar Barreto García 4 Materia: Matemática III
INTEGRAL DE LÍNEA
   
      
 




C
b
a
C
b
a
dttztytxtztytxfdszyxf
ktzjtyitxtrPORDADAESTACSI
dtjtytxtytxfdsyxf
jtyitxtrPORDADAESTACSI
222
22
)(')(')('))(),(),((),,(
ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
)(')('))(),((),(
ˆ)(ˆ)()(
Sea F(x,y)=Mi + Nj un campo vectorial, F es
CONSERVATIVO si
x
N
y
M





SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, F es
CONSERVATIVO si el ROTOR (O ROTACIONAL) es
nulo, es decir:
0ˆˆˆ
ˆˆˆ
)( 








































y
M
x
N
k
z
M
x
P
j
z
N
y
P
i
PNM
zyx
kji
Frot
Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo
vectorial. las siguientes conclusiones son
equivalentes:





C
C
CERRADACCURVATODAPARAdrF
CAMINODELNTEINDEPENDIEESdrF
fALGUNAPARAfFESESTOVOCONSERVATIESF
0.3
.2
..1
ÁREA DE UNA SUPERFICIE
PARAMETRICA.
k
v
z
j
v
y
i
v
x
rk
u
z
j
u
y
i
u
x
rDONDE
dArrdSSUPERFICELADEAREA
vu
S D
vu
ˆˆˆ,ˆˆˆ:


















  
Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, si F es
CONSERVATIVO, entonces
))(),(())(),(( ayaxfbybxfdrfdrF
CC
  donde
F(x,y) es una función potencial de F, es decir:
),(),( yxfyxF 
Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, la
DIVERGENCIA de F es
y
N
x
M
yxdivF





),(
Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, la
DIVERGENCIA de F es
z
P
y
N
x
M
zyxdivF








),,(
TEOREMA DE GREEN
(O DE GREEN-RIEMAN)
Relaciona una integral doble
extendida a un dominio del plano
con una integral curvilínea sobre
la curva cerrada frontera de ese
dominio.




























RC
RRC
RC
dAFdivdsNF
dAkFrotdA
y
M
x
N
drF
dA
y
M
x
N
NdyMdx
)(
ˆ)(
TEOREMA DE LA
DIVERGENCIA (DE GAUSS-
OSTROGRADSKI).
Relaciona una integral triple
sobre una región sólida Q, con
una integral de superficie sobre la
superficie de Q
 
QS
dVFdivdSNF )(
INTEGRALES DE SUPERFICIE
   
   
 
 
 

 






R
vu
S
S D
R
yx
S
S R
yx
yx
vectorialFormadArrFdSNF
escalarFormadSvuzvuyvuxfdSzyxf
aparamétricForma
arribahacianormalvectorialFormadAkjyxgiyxgFdSNF
escalarFormadAyxgyxgyxgyxfdSzyxf
dAyxgyxgds
yxgz
)),(),,(),,((),,(
)(ˆˆ),(ˆ),(
),(),(1)),(,,(),,(
),(),(1
),(
22
22
TEOREMA DE STOKES (O DEL ROTOR).Establece la relación
entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la
integral de línea sobre una curva espacial cerrada que constituye el
borde de S.  
SC
dSNFrotdrF ))((
GRADIENTE
     











nx
xf
x
xf
xfgrad 0
1
0
0 ,,




LAPLACIANO:
2
2
2
1
2
nx
f
x
f
f





 